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七年级下学期【压轴题 30 题专训】
1．（2023秋•历下区期末）【阅读探究】
（1）如图1，AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点M在AB，CD两平行线之间，∠AEM＝50°，
∠CFM＝20°，求∠EMF的度数．
解：过点M作MN∥AB，
所以∠EMN＝∠ AEM ．
因为AB∥CD，
所以MN∥CD．
所以∠FMN＝∠ CFM ．
因为∠AEM＝50°，∠CFM＝20°，
所以∠EMF＝∠EMN+∠FMN＝∠AEM+∠CFM＝50°+20°＝70°．
（2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将∠AEM和∠CFM“凑”在一起，得出角之间的关系，
使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中∠AEM，∠EMF和∠CFM之间存在一定的数量关
系，请直接写出它们之问的数量关系为 ∠ EMF ＝∠ AEM + ∠ CFM ．
【方法应用】
（3）如图2，AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点M在AB，CD两平行线之间，∠AEM＝
135°，∠CFM＝155°，求∠EMF的度数．
【应用拓展】
（4）如图3，AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点M在AB，CD两平行线之间，作∠AEM和
∠CFM的平分线EP，FP，交于点P（交点P在两平行线AB，CD之间），若∠EMF＝ °，则∠EPF的
α
度数为 （ 18 0 ﹣ ） °（用含 的式子表示）．
【分析】（1）根据平行线的性质作α答即可；
（2）由（1）可直接得出结论；
（3）过点M作MN∥AB并根据平行线的性质解答即可；（4）根据（2）及四边形的内角和解答即可．
【解答】解：（1）过点M作MN∥AB，
∴∠EMN＝∠AEM．
∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠FMN＝∠CFM．
∵∠AEM＝50°，∠CFM＝20°，
∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN＝∠AEM+∠CFM＝50°+20°＝70°．
故答案为：AEM，CFM．
（2）图1中∠AEM，∠EMF和∠CFM之间存在一定的数量关系，即∠EMF＝∠AEM+∠CFM．
故答案为：∠EMF＝∠AEM+∠CFM．
（3）过点M作MN∥AB．
∵MN∥AB，∠AEM＝135°，
∴∠EMN＝180°﹣∠AEM＝45°，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠FMN＝180°﹣∠CFM＝25°，
∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN＝45°+25°＝70°．
（4）根据（2），得∠EMF＝∠BEM+∠DFM＝ °，
∵EP，FP分别平分∠AEM和∠CFM， α
∴∠PEM＝ ∠AEM＝ （180°﹣∠BEM）＝90°﹣ ∠BEM，∠PFM＝ ∠CFM＝ （180°﹣
∠DFM）＝90°﹣ ∠DFM，
∵∠PEM+∠PFM+∠EMF+∠EPF＝360°，
∴90°﹣ ∠BEM+90°﹣ ∠DFM+ °+∠EPF＝360°，即 180°﹣ （∠BEM+∠DFM）+ °+∠EPF＝
α α360°，
∴180°﹣ °+ °+∠EPF＝360°，
α α
∴∠EPF＝（180﹣ ）°．
故答案为：（180﹣ ）．
2．（2023秋•镇巴县期末）【问题情境】已知，∠1＝∠2，EG平分∠AEC交BD于点G．
【问题探究】（1）如图1，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°，试判断EF与CD的位置关系，
并说明理由；
【问题解决】（2）如图2，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数；
【问题拓展】（3）如图2，若AB∥CD，试说明∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG．
【分析】（1）根据平行线的判定得AB∥EF，再根据平行线的性质、角平分线定义及角的和差计算可
得角相等，最后根据内错角相等判定两条直线平行；
（2）根据平行线的判定和性质得∠FEA的度数，再运用角平分线定义计算求得∠GEC的度数，进一步
求得∠FEC的度数，最后根据平行线的判定得EF∥CD，即可得出结论；
（3）分析思路同（2），只是把具体角的度数抽象为字母表示，通过列方程即可得出三者之间的关系．
【解答】（1）解：EF∥CD，理由如下：
∵∠1＝∠2，
∴AB∥EF，
∴∠AEF＝∠MAE，
∵∠MAE＝45°，∠FEG＝15°
∴∠AEG＝60°，
∵EG平分∠AEC，
∴∠CEG＝∠AEG＝60°，
∴∠CEF＝∠CEG+∠FEG＝75°，∠NCE＝75°，
∴∠NCE＝∠CEF，∴EF∥CD．
（2）解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥EF，
∴∠FEA+∠MAE＝180°，∠MAE＝140°，
∴∠FEA＝40°，∠FEG＝30°，
∴∠AEG＝70°，
∵EG平分∠AEC，
∴∠CEG＝∠AEG＝70°，
∴∠FEC＝100°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠NCE+∠FEC＝180°，
∴∠NCE＝80°．
（3）证明：∵∠1＝∠2，
∴AB∥EF，
∴∠MAE+∠FEA＝180°，
∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，
∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG，
∵EG平分∠AEC，
∴∠GEC＝∠AEG，
∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG，
∵AB∥CD，AB∥EF，
∴EF∥CD，
∴∠FEC+∠NCE＝180°，
∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180°，
∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE，
即∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG．
3．（2023秋•辽阳期末）综合与实践
【探索发现】（1）已知：如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP．
易证：∠APC＝∠BAP+∠PCD．
下面是两位同学添加辅助线的方法：小刚：如图2，过点P作PQ∥AB. 小红：如图3，延长AP交CD于点M.
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】（2）如图4，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点G是线段CF上一点，连接AG并
延长，交直线EF于点P，连接AC，EG，若∠PAC+∠PEG＝∠AGE，求证：AC∥EF；
【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，AB∥CD，AH平分∠PAC，FH平分∠PFC，AH与FH交点
H，若∠CAH＝25°，∠AHF＝∠AEG，∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG．求∠PFC的度数．
【分析】【探索发现】小刚的方法：先证AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质得∠APQ＝∠BAP，∠CPQ
＝∠PCD，据此即可得出结论；小红的方法：先由AB∥CD得∠BAP＝∠PMC，再根据三角形的外角定
理得∠APC＝∠PMC+∠PCD，据此即可得出结论；
【深入思考】先根据三角形的外角定理得∠AGE＝∠APE+∠PEG，再根据∠AGE＝∠PAC+∠PEG得
∠APE＝∠PAC，然后根据平行线的判定可得出结论；
【拓展延伸】设∠PEG＝ ，则∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG＝50°+3 ，进而可得∠AGE＝130°﹣3 ，根据
在（2）的条件下∠PAC+α∠PEG＝∠AGE，得50°+ ＝130°﹣3 ，α由此解出 ＝20°，设∠PFH＝α ，则
∠PFC＝2∠PFH＝2 ，再根据AB∥CD得∠AEF＝∠α PFC＝2 ，α进而得∠AEαG＝∠AHF＝∠AEG＝β2 ﹣
20°，然后根据在（2β）的条件下得AC∥EF，则∠AHF＝∠CβAH+∠PFH，由此得2 ﹣20°＝25°+ ，β据
此求出 即可得∠PFC的度数． β β
【解答】β【探索发现】解：小刚的证明如下：过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠PCD，
∴∠APQ+∠CPQ＝∠BAP+∠PCD，
即∠APC＝∠BAP+∠PCD；
小红的证明如下：
延长AP交CD于点M，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠PMC，
∵∠APC是△PCM的一个外角，
∴∠APC＝∠PMC+∠PCD，
即∠APC＝∠BAP+∠PCD；
【深入思考】证明：∵∠AGE是△PGE的一个外角，
∴∠AGE＝∠APE+∠PEG，
∵∠AGE＝∠PAC+∠PEG，
∴∠APE＝∠PAC，
∴AC∥EF；
【拓展延伸】解：∵AH平分∠PAC，∠CAH＝25°，
∴∠PAC＝2∠CAH＝50°，
设∠PEG＝ ，
∴∠PGE＝α2∠CAH+3∠PEG＝50°+3 ，
∴∠AGE＝180°﹣∠PGE＝130°﹣3 ，α
∵在（2）的条件下， α
∴∠PAC+∠PEG＝∠AGE，
∴50°+ ＝130°﹣3 ，
解得：α＝20°， α
∴∠PEαG＝20°，
设∠PFH＝ ，
∵FH平分∠βPFC，
∴∠PFC＝2∠PFH＝2 ，
∵AB∥CD， β∴∠AEF＝∠PFC＝2 ，
∴∠AEG＝∠AEF﹣∠βPEG＝2 ﹣20°，
∴∠AHF＝∠AEG＝2 ﹣20°，β
∵在（2）的条件下，β
∴AC∥EF，
∴∠AHF＝∠CAH+∠PFH，
即2 ﹣20°＝25°+ ，
解得β： ＝45°， β
∴∠PFβC＝2 ＝90°
4．（2023秋•夏β县期末）综合与探究
某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线a∥c，则b∥c．他们发现这个结论运用很广，请你
利用这个结论解决以下问题．
已知直线AB∥CD，点E在AB，CD之间，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ．
（1）如图1，作EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，∠EPF＝3∠BPF，∠EQF＝3∠DQF，求出∠F与∠E之间的数量关系；
（3）如图3，直接写出∠1，∠2，∠E，∠F，∠G之间的数量关系： ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ EFG ＝∠ E + ∠ G
．
【分析】（1）利用猪脚模型，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得：∠E＝∠APE+∠CQE，∠F＝∠BPF+∠DQF，从而利用平角定义可得
∠APE＝180°﹣4∠BPF，∠CQE＝180°﹣4∠DQF，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（3）过点F作FH∥AB，然后利用（1）的结论可得：∠E＝∠1+∠EFH，∠G＝∠2+∠GFH，最后利
用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE，
理由：∵EH∥AB，AB∥CD，
∴EH∥CD，
∵AB∥EH，∴∠APE＝∠PEH，
∵CD∥EH，
∴∠CQE＝∠HEQ，
∵∠PEQ＝∠PEH+∠HEQ，
∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE；
（2）4∠F+∠E＝360°，
理由：由（1）可得：∠E＝∠APE+∠CQE，∠F＝∠BPF+∠DQF，
∵∠EPF＝3∠BPF，∠EQF＝3∠DQF，
∴∠APE＝180°﹣∠EPF﹣∠BPF＝180°﹣4∠BPF，∠CQE＝180°﹣∠EQF﹣∠DQF＝180°﹣4∠DQF，
∴∠E＝∠APE+∠CQE
＝180°﹣4∠BPF+180°﹣4∠DQF
＝360°﹣4（∠BPF+∠DQF）
＝360°﹣4∠F，
∴4∠F+∠E＝360°；
（3）∠1+∠2+∠EFG＝∠E+∠G，
理由：过点F作FH∥AB，
由（1）可得：∠E＝∠1+∠EFH，∠G＝∠2+∠GFH，
∴∠E+∠G＝∠1+∠EFH+∠GFH+∠2
＝∠1+∠EFG+∠2，
∴∠1+∠2+∠EFG＝∠E+∠G，
故答案为：∠1+∠2+∠EFG＝∠E+∠G．
5．（2023秋•衡阳期末）如图1，直线AB与直线l ，l 分别交于C，D两点，点M在直线l 上，射线DE
1 2 2
平分∠ADM交直线l 于点Q，∠ACQ＝2∠CDQ．
1
（1）证明：l ∥l ；
1 2
（2）如图2，点P是CD上一点，射线QP交直线l 于点F，∠ACQ＝70°．
2
①若∠QFD＝20°，则直接写出∠FQD的度数是 15 ° ；②点N在射线DE上，满足∠QCN＝∠QFD，连接CN，请补全图形，探究∠CND与∠FQD满足的等
量关系，并证明．
【分析】（1）根据角平分线的定义、三角形内角和定理以及平行线的判定进行解答即可；
（2）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的外角性质进行计算即可；
②分两种情况画出相应的图形，根据图形中角的大小关系得出结论．
【解答】（1）证明：如图1，
∵DE平分∠ADM，
∴∠ADE＝∠EDM＝ ∠ADM，
又∵∠ACQ＝∠ADE+∠CQD，∠ACQ＝2∠CDQ．
∴∠EDM＝∠CQD，
∴l ∥l ；
1 2
（2）解：①∵l ∥l ，
1 2
∴∠ADM＝∠ACQ＝70°，
∵DE平分∠ADM，
∴∠ADE＝∠EDM＝ ∠ADM＝35°，
又∵∠EDM＝∠QFD+∠FQD，∴∠FQD＝35°﹣20°＝15°，
故答案为：15°；
②证明：∠CND＝∠FQD或∠CND+∠FQD＝70°，理由如下：
如图3，
∵l ∥l ，
1 2
∴∠NCQ＝∠CTD，
又∵∠QCN＝∠QFD，
∴∠CTD＝∠QFD，
∴NT∥FQ，
∴∠CND＝∠FQD；
如图4，由①可得∠CDQ＝∠CQD＝ ∠ACQ＝35°，
∵∠CND＝∠CQN+∠QCN，∠QCN＝∠QFD，
∴∠CND＝∠CQN+∠QFD，
∴∠CND＝35°+∠QFD，
即：∠CND﹣∠QFD＝35°，
∵∠QFD＝∠FQC＝∠CQD﹣∠FQD＝∠QDM﹣∠FQD＝35°﹣∠FQD，
∴∠CND﹣∠QFD＝∠CND﹣（35°﹣∠FQD）＝35°，
∴∠CND+∠FQD＝70°．
综上所述，∠CND与∠FQD满足的等量关系为∠CND＝∠FQD或∠CND+∠FQD＝70°．6．（2023秋•榆树市校级期末）【阅读理解】如图①，∠BAE与∠DCE的边AB与CD互相平行，另一组
边AE、CE交于点E，且点E在AB、CD之间，且在直线AC右侧，试说明：∠BAE+∠DCE＝∠AEC．
老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）．
解：如图②，过点E作EM∥AB．
∴∠BAE＝∠AEM 两直线平行，内错角相等 ．
∵AB∥CD 已知 ，
∴EM∥CD 平行于同一条直线的两条直线平行 ．
∴∠DCE＝∠CEM．
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEM+∠CEM． 等式的性质
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC．
【理解应用】如图③，当图①中的点E在直线AC左侧时，其它条件不变，若∠AEC＝120°
求∠BAE与∠DCE的和．
【拓展】∠BAE与∠DCE的边AB与CD互相平行，且点B、D在直线AC同侧，另一组边AE、CE交于
点E，且点E在AB、CD之间．若∠BAE的角平分线与∠DCE的角平分线交于点F，设∠E＝ ，请借助
图①和图③，用含 的代数式直接写出∠AFC的度数． α
α
【分析】【阅读理解】根据两直线平行，内错角相等得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行得
EM∥CD，进而得∠DCE＝∠CEM，然后根据等式的性质得∠BAE+∠DCE＝∠AEM+∠CEM，据此可得
出答案；
【理解应用】过点E作EN∥AB，根据平行线的性质得∠BAE+∠AEN＝180°，再证EN∥CD，进而得∠CEN+∠DCE＝180°，由此可得∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，然后根据∠AEC＝120°可得出∠BAE与
∠DCE的和是240°；
【拓展】分两种情况讨论如下：①当点E在直线AC右侧，设∠BAF＝ ，∠DCF＝ ，根据角平分线的
定义得∠EAF＝∠BAF＝ ，∠BAE＝2∠BAF＝2 ，∠ECF＝∠DCF＝β，∠DCE＝2θ∠DCF＝2 ，再根
据【阅读理解】的结论得β∠AEC＝∠BAE+∠DCEβ＝2（ + ），∠AFCθ＝∠BAF+∠DCF＝ + ，θ据此可
得∠AFC的度数；②当点E在直线AC左侧时，设∠βBAθF＝ ，∠DCF＝ ，根据角平分β线θ的定义得
∠EAF＝∠BAF＝ ，∠BAE＝2∠BAF＝2 ，∠ECF＝∠DCF＝β ，∠DCE＝θ2∠DCF＝2 ，由【阅读理
解】的结论得∠AFβC＝∠BAF+∠DCF＝ +β ，由【理解应用】的θ结论得∠BAE+∠AEC+∠θDCE＝360°，
进而得 + ＝180°﹣1/2 ，据此可得∠AFβCθ的度数，综上所述即可得出∠AFC的度数．
【解答】β解θ：【阅读理解α 】
如图②，过点E作EM∥AB．
∴∠BAE＝∠AEM（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD（已知），
∴EM∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠DCE＝∠CEM．
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEM+∠CEM（等式的性质）．
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC．
故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；平行于同一条直线的两条直线平行；等式的性质．
【理解应用】过点E作EN∥AB，如图③所示：
∴∠BAE+∠AEN＝180°，
∵AB∥CD，∴EN∥CD，
∴∠CEN+∠DCE＝180°，
∴∠BAE+∠AEN+∠CEN+∠DCE＝360°，
即∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，
∵∠AEC＝120°，
∴∠BAE+∠DCE＝360°﹣∠AEC＝360°﹣120°＝240°，
∴∠BAE与∠DCE的和是240°．
【拓展】分两种情况讨论如下：
①当点E在直线AC右侧，如图④所示：
设∠BAF＝ ，∠DCF＝ ，
∵AF是∠BβAE的角平分θ线，
∴∠EAF＝∠BAF＝ ，∠BAE＝2∠BAF＝2 ，
∵CF是∠DCE的角β平分线， β
∴∠ECF＝∠DCF＝ ，∠DCE＝2∠DCF＝2 ，
由【阅读理解】的结θ论得：∠AEC＝∠BAE+∠θ DCE＝2（ + ），
∠AFC＝∠BAF+∠DCF＝ + ， β θ
∴∠AEC＝2∠AFC， β θ
∵∠AEC＝ ，
α
∴∠AFC＝ ；
②当点E在直α线AC左侧时，如图⑤所示：
设∠BAF＝ ，∠DCF＝ ，
∵AF是∠BβAE的角平分θ线，∴∠EAF＝∠BAF＝ ，∠BAE＝2∠BAF＝2 ，
∵CF是∠DCE的角β平分线， β
∴∠ECF＝∠DCF＝ ，∠DCE＝2∠DCF＝2 ，
由【阅读理解】的结θ论得：∠AFC＝∠BAF+∠θ DCF＝ + ，
由【理解应用】的结论得：∠BAE+∠AEC+∠DCE＝3β60°θ，
∵∠AEC＝ ，
∴2 + +2 ＝α 360°，
β α θ
∴ + ＝180°﹣ ，
β θ α
∴∠AFC＝180°﹣ ．
α
综上所述：∠AFC的度数为 或180°﹣ ．
7．（2023秋•安溪县期末）大龙湖α 音乐喷泉灯α光秀成为茶乡一道美丽的风景．“灯光秀”为了强化灯光效
果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图 1所示，EF∥GH，AB⊥GH，灯A
射线从AF开始绕点A顺时针旋转至AE后立即回转，灯B射线从BG开始绕点B顺时针旋转至BH后立
即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯B转动的速度分别是a度/秒、b度/秒．且满足|a+b﹣4|+
（b﹣3）2＝0．
（1）填空：a＝ 1 ，b＝ 3 ；
（2）若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线到达AE之前，B灯转动几秒，两灯的
光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯B射线到达BH之前，两灯射出的光束交于点C．点D在射线AF
上，且∠ABC＝k•∠ACD，则在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值？若存在，请求出∠BCD
的度数和k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用非负数的性质，进而得出a、b的值；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当 0＜t≤90和当90＜t≤160时，
根据平行线的性质列式计算求解即可；（3）设灯B射线转动时间为t秒，根据∠CBH＝180°﹣3t，∠BAC＝90°﹣t，即可得出∠BCD＝（ ﹣
2）+180°﹣ ，当 ﹣2＝0时，在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵|a+b﹣4|+（b﹣3）2＝0，
∴a+b﹣4＝0，b﹣3＝0，
∴a＝1，b＝3，
故答案为：1，3；
（2）设B灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t≤90时，如图，
∵EF//GH
∴∠FAC＝∠ACG，
∵AC//BD，
∴∠GBD＝∠ACG，
∴∠GBD＝∠FAC，
∴3t＝1×（20+t），
解得：t＝10；
②当90＜t≤160时，如图，
∵PQ⊥MN，
∴∠FAC+∠ACG＝180°，
∵AC//BD，∴∠HBD＝∠ACG，
∴∠FAC+∠HBD＝180°，
∴1×（20+t）+（3t﹣180）＝180，
解得：t＝85，
综上所述，当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC＝2∠BCD，
理由：设灯B射线转动时间为t秒，
∵∠CBH＝180°﹣3t，
∴∠ABC＝90°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣90°，
又∵∠BAC＝90°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣2t，而∠ABC＝k•∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACD+∠BCA＝ t﹣ +（180°﹣2t）＝（ ﹣2）t+180﹣ ，
∴当 ﹣2＝0时，在转动过程中是否存在一点D，使得k为定值，
此时k＝ ，∠BCD＝180°﹣ ＝120°．
8．（2023秋•江阴市期末）定义：从∠ （90°＜ ＜180°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射
线将∠ 分得的两个角中有一个角与∠α 互为补α角，则称该射线为∠ 的“好线”．
如图，α点O在直线AB上，OC、OD在直α 线AB上方，且OC⊥OD，射α 线OE是∠AOD的“好线”．
（1）若∠BOD＝26°，且OE在∠COD内部，则∠COE＝ 38 ° 或 6 4 °；
（2）若OE恰好平分∠AOC，请求出∠BOD的度数；
（3）若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，请画出图形，探究∠EOF与∠DOG的数量关
系，并说明理由．【分析】（1）分两种情况，即当∠DOE+∠AOD＝180°和∠AOE+∠AOD＝180°时，分别画出相应的图
形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可；
（2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可；
（3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用∠BOD表示∠EOF，∠DOG，进而答案即可．
【解答】解：（1）如图1﹣1，由于射线OE是∠AOD的“好线”，
当∠DOE+∠AOD＝180°时，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠DOE＝∠BOD＝26°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠COE＝90°﹣26°＝64°，
如图1﹣2，由于射线OE是∠AOD的“好线”，
当∠AOE+∠AOD＝180°时，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠AOE＝∠BOD＝26°，
∴∠COE＝180°﹣26°﹣26°﹣90°＝38°，
因此∠COE＝38°或∠COE＝64°，
故答案为：38°或64；
（2）若OE恰好平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE＝∠BOD，
∴∠BOD＝ ×（180°﹣90°）＝30°；
（3）∠EOF＝2∠DOG或∠EOF+∠DOG＝45°，理由如下：
如图2﹣1，由于射线OE是∠AOD的“好线”，
当∠AOE+∠AOD＝180°时，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠AOE＝∠BOD，
∵OF是∠AOE的平分线，∴∠EOF＝ ∠AOE＝ ∠BOD，
∴OG是∠BOC的平分线，
∴∠BOG＝ ∠BOC＝ ×（90°+∠BOD）＝45°+ ∠BOD，
∴∠DOG＝∠BOG﹣∠BOD＝45°﹣ ∠BOD，
∴∠EOF+∠DOG＝45°，
如图2﹣2，由于射线OE是∠AOD的“好线”，
当∠AOE+∠AOD＝180°时，
∵∠AOD+∠EOD＝180°，
∴∠DOE＝∠BOD，
∴∠DOG＝ ∠BOC﹣∠BOD
＝ （90°+∠BOD）﹣∠BOD
＝45°﹣ ∠BOD，
∠EOF＝ ∠AOE＝ ×（180°﹣2∠BOD）
＝90°﹣∠BOD，
∴∠EOF＝2∠DOG，
综上所述∠EOF＝2∠DOG或∠EOF+∠DOG＝45°．9．（2023秋•孝南区期末）如图1，直线AB与CD相交于点O，∠BOD＝50°，OE平分∠BOD，∠EOF＝
55°，OG平分∠AOF．
（1）图中与∠BOE互补的角是 ∠ AOE 和∠ COE ；
（2）求∠DOG的度数；
（3）如图2，若射线OM从射线OF的位置出发，绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转一周，当旋转时
间为t秒时，OD，OM，OG三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请你直
接写出旋转时间t的值．（旋转过程中∠DOM，∠GOM，∠DOG都只考虑小于180°的角）
【分析】（1）根据补角的定义，进行判断即可；
（2）利用 180°﹣∠BOD 求出∠AOD，利用角平分线求出∠DOE，∠EOF﹣∠ODE 求出∠DOF，
∠AOD﹣∠FOD求出∠AOF，角平分线，求出∠GOF，∠GOF+∠DOF即可得解；
（3）分OM平分∠DOG，OG平分∠DOM，OD平分∠GOM三种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵∠BOE+∠AOE＝180°，∠DOE+∠COE＝180°，
∴∠BOE+∠COE＝180°，
∴∠BOE互补的角是：∠AOE和∠COE；
故答案为：∠AOE和∠COE；
（2）∵∠BOD＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝130°，∵OE平分∠BOD，
∴ ，
∵∠EOF＝55°，
∴∠DOF＝∠EOF﹣∠ODE＝30°，
∴∠AOF＝∠AOD﹣∠FOD＝100°
∵OG平分∠AOF，
∴ ，
∴∠DOG＝∠GOF+∠DOF＝80°；
（3）①当OM平分∠DOG时，
∵∠DOG＝80°，
∴ ，即：30°+∠FOM＝40°，
∴∠FOM＝10°，
∴t＝10°÷10°＝1；
②OG平分∠DOM时，
则：∠GOM＝∠DOG＝80°，
∴∠FOM＝∠MOG+∠FOG＝80°+50°＝130°
∴t＝130°÷10°＝13；
③当OD平分∠GOM时：
则：∠DOM＝∠DOG＝80°，
∴∠FOM＝∠DOF+∠DOM＝110°，
∴点M旋转的角度为：360°﹣∠FOM＝250°，
∴t＝250°÷10°＝25；
综上：t的值为：1或13或25．10．（2023秋•梁溪区期末）如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且∠AOB
＝120°，∠COD＝70°．
（1）如图1，若OC平分∠BOD，求∠AOD的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，OE平分∠AOD，过点O作射线OG⊥OB，求∠EOG的度数；
（3）如图3，若在∠BOC内部作一条射线OH，若∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，试判断
∠AOE与∠DOE的数量关系．
【分析】（1）根据角平分线定义和周角是360°可得∠AOC的度数；
（2）分两种情况：当OG在EF下方时；当OG在EF上方时，计算即可；
（3）由∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，设∠DOE＝5 ，则∠FOH＝ ，再结合角平分线的
性质可用 表达出∠COH∠BOC的度数，求出∠AOE与∠DOE的度α数． α
【解答】解α：（1）∵OC平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠COD＝2×70°＝140°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOD＝360°﹣120°﹣140°＝100°．
（2）当OG在EF下方时，∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，
∴ ，
∵OG⊥OB，
∴∠BOG＝90°，
∴∠AOG＝∠AOB﹣∠BOG＝120°﹣90°＝30°，
∴∠EOG＝∠AOG+∠AOE＝80°．
当OG在EF上方时，
∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，
∴ ，
∵OG⊥OB，
∴∠BOG＝90°，
∵∠AOE+∠AOB+∠BOG+∠EOG＝360°，∠AOB＝120°，
∴∠EOG＝360°﹣50°﹣120°﹣90°＝100°；
（3）设∠DOE＝5 ，则∠FOH＝ ，
α α∴∠COH＝180°﹣∠DOE﹣∠COD﹣∠FOH＝110°﹣6 ，
∴∠BOC＝275°﹣15 ， α
∴∠AOD＝360°﹣∠αCOD﹣∠BOC﹣∠AOB＝360°﹣70°﹣（275°﹣15 ）﹣120°＝15 ﹣105°，
∴∠AOE＝10 ﹣105°， α α
∴∠AOE＝2∠αDOE﹣105°．
11．（2023春•昌平区期末）如图1，对于两条直线l ，l 被第三条直线l 所截的同旁内角∠ ，∠ 满足
1 2 3
∠ ＝∠ +30°，则称∠ 是∠ 的关联角． α β
（β1）已知α ∠ 是∠ 的关β 联角α．
①当∠ ＝50β°时，α∠ ＝ 8 0 °；
②当2∠α ﹣∠ ＝45°β时，直线l
1
，l
2
的位置关系为 平行 ；
（2）如图α2，已β知∠AGH是∠CHG的关联角，点O是直线EF上一定点．
①求证：∠DHG是∠BGH的关联角；
②过点O的直线MN分别交直线CD，AB于点P，Q，且∠CHG＝80°．当∠EOP是图中某角的关联角
时，写出所有符合条件的∠EOP的度数为 140 ° 、 145 ° 或 155 ° ．
【分析】（1）①根据关联角所满足的关系式∠ ＝∠ +30°即可解答，
②解∠ ＝∠ +30°与2∠ ﹣∠ ＝45°构成的方程β 组，α根据∠ 和∠ 的关系来确定直线l
1
，l
2
的位置关
系． β α α β α β
（2）①由∠AGH与∠BGH、∠CHG与∠DHG的互补关系，求出∠DHG与∠BGH之间的大小关系，进而命题得以证明．
②根据直线MN过点O的形式可分4种情况，每种情况均有2个角与∠EOP互为同旁内角，因此共有4
种情况，分别解出∠EOP的度数即可．
【解答】解：（1）①∵∠ 是∠ 的关联角，∠ ＝50°，
∴∠ ＝∠ +30°＝50°+30°＝β80°．α α
故答β案为：α80．
②由题意可得方程组 ，解得 ，
∴∠ +∠ ＝75°+105°＝180°，
∴l
1
∥αl
2
．β
故答案为：平行．
（2）①证明：∵∠AGH是∠CHG的关联角，
∴∠AGH＝∠CHG+30°，
又∵∠DHG＝180°﹣∠CHG，∠BGH＝180°﹣∠AGH，
∴∠DHG﹣∠BGH＝180°﹣∠CHG﹣（180°﹣∠AGH）＝∠AGH﹣∠CHG＝30°，
∴∠DHG＝∠BGH+30°，
∴∠DHG是∠BGH的关联角．
②当直线MN位于如图所示位置时：
∵∠AGH是∠CHG的关联角，∠CHG＝80°，
∴∠AGH＝∠CHG+30°＝80°+30°＝110°．
若∠EOP是∠AGO的关联角，则∠EOP＝∠AGO+30°＝110°+30°＝140°．
若∠EOP 是∠CPO 的关联角，则∠EOP＝∠CPO+30°＝80°+180°﹣∠EOP+30°＝290°﹣∠EOP，得
∠EOP＝145°．
当直线MN位于如图所示位置时：∵∠AGH＝110°，∠CHG＝80°，
∴∠BGH＝180°﹣∠AGH＝180°﹣110°＝70°，∠GHD＝180°﹣∠CHG＝180°﹣80°＝100°
若∠EOP是∠BGO的关联角，则∠EOP＝∠BGO+30°＝70°+30°＝100°．
∵∠EOP＝∠GHD+∠OPH＝100°+∠OPH＞100°，
∴∠EOP＝100°（舍去）．
若∠EOP是∠DPO的关联角，则∠EOP＝∠DPO+30°＝100°+180°﹣∠EOP+30°＝310°﹣∠EOP，得
∠EOP＝155°．
故答案为：140°、145°或155°．
12．（2023秋•渝北区期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC＝60°．已知∠MON＝60°，
∠MON绕点O在平面内旋转，旋转前，边OM与射线OB重合，边ON与射线OD重合．将∠MON绕
点O按每秒12°的速度沿顺时针方向旋转一周．
（1）如图1，从∠MON旋转开始至ON边与射线OC重合时，共需多少秒？
（2）∠MON旋转至如图2所示位置时，试说明∠CON与∠AOM有何数量关系，并说明理由；
（3）如图3，已知∠POQ＝60°，∠POQ绕点O在平面内旋转，旋转前，边OP与射线OC重合，边
OQ与射线OA重合．若在∠MON旋转过程中，∠POQ绕点O以每秒3°的速度绕点O沿逆时针方向旋
转，当∠MON停止旋转时，∠POQ也停止旋转，旋转过程中，当边ON所在直线恰好平分锐角∠POQ
时，求出旋转时间．【分析】（1）先推导找出旋转的角度为180°，再除以旋转速度得解；
（2）利用∠AOC＝∠MON＝60°得到∠AOC+∠AON＝∠MON+∠AON，从而得解；
（3）设时间为t秒，分ON平分∠POQ和ON的反向延长线ON′平分∠POQ两种情况讨论分别列出方
程求解即可．
【解答】解：（1）∵∠COD＝180°，
∴从∠MON旋转开始至ON边与射线OC重合时，共旋转了180°，
∴所需时间是：180°¸12＝15（秒），
答：∠MON旋转开始至ON边与射线OC重合时，共需15秒．
（2）∠CON与∠AOM的数量关系是：∠CON＝∠AOM（相等），理由如下：
∵∠AOC＝∠MON＝60°，
∴∠AOC+∠AON＝∠MON+∠AON，即∠CON＝∠AOM；
（3）设时间为t秒，
∵将∠MON绕点O按每秒12°的速度沿顺时针方向旋转一周．
∴当0＜t≤15时，∠BOM＝12t°，当15＜t≤30时，∠BOM＝360°﹣12t°．
又∵∠POQ绕点O以每秒3°的速度绕点O沿逆时针方向旋转，
∴∠COP＝3t°，
①如图，当ON平分∠POQ时，0＜t≤15，∠BOM＝12t°，
∵ON平分∠POQ，∠POQ＝60°，
∴∠PON＝∠NOQ＝ ∠POQ＝30°，
∴∠QOM＝∠MON﹣∠NOQ＝30°，
又∵∠BOM＝12t°，∠COP＝3t°，∠AOC＝60°，
∴∠COP+∠POQ+∠QOM+∠BOM＝3t°+60°+30°+12t°＝180°+∠AOC＝240°，
解得：t＝10；
②如图，当ON的反向延长线ON′平分∠POQ时，15＜t≤30，∠BOM＝360°﹣12t°，∵ON的反向延长线ON′平分∠POQ，∠POQ＝60°，
∴∠PON′＝∠N′OQ＝ ∠POQ＝30°，
又∵∠COP＝3t°，
∴∠CON′＝∠COP+∠PON′＝3t°+30°，
又∵∠BOM＝360°﹣12t°，∠MON＝60°，
∴∠BON＝∠BOM﹣∠MON＝360°﹣12t°﹣30°＝330°﹣12t°，
∴∠CON＝180°﹣∠AOC﹣∠BON＝180°﹣60°﹣（330°﹣12t°）＝12t°﹣180°，
又∵∠CON+∠CON′＝180°，即（3t°+30°）+（12t°﹣180°）＝180°，
∴解得：t＝22；
综上所述：t＝10或22．
13．（2023秋•福鼎市期中）综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起
一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上
画了一条数轴，进行如图操作探究：
（1）操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣3.5的点与表示数 3.5
的点重合；
（2）操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，则数轴上表示﹣2的点与表示数 6
的点重合，表示数m的点与表示数 （ 4 ﹣ m ） 的点重合（用含m的代数式表示）；
（3）操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从﹣1到5）的一段纸带（如图①），将纸带按图②所示
向左折叠，剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为a个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪
切处剪切，得到三条长度相等的纸带，请直接写出图③剪切处对应的点所表示的数（用含a的代数式
表示）．【分析】（1）折叠纸面，若表示1的点与表示﹣1的点重合，中心点表示的数为0，即0与﹣1之间的
距离等于0与1之间的距离，于是可得表示﹣3.5的点与表示3.5的点重合；
（2）折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2，可得出所求即可；
（3）根据题意画出草图，通过计算可得出剪切处对应的点所表示的数的值．
【解答】解：（1）由题意得：对折中心点表示的数为0，因此表示﹣3.5的点与表示3.5的点重合；
故答案为：3.5；
（2）折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2，
﹣2与2之间的距离为：2﹣（﹣2）＝4，则表示与﹣2的点重合的点为：2+4＝6；
m与2之间的距离为：2﹣m，则表示与m的点重合的点为：2+2﹣m＝4﹣m；
故答案为：6，（4﹣m）；
（3）如图，由题意得AE＝5﹣（﹣1）＝6，BE＝6﹣a，
∴ ，
∴剪切处D对应的点所表示的数＝ ；
剪切处C对应的点所表示的数＝ ；
综上：图③剪切处对应的点所表示的数为 或 ．
14．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图（1），在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为6，点C
为数轴上原点左侧一点，且满足BC＝15．
（1）点C表示的数是 ﹣ 9 ；线段AC的长度是 1 1 ；
（2）如图（1），动点P从点A出发，沿数轴向右运动且初始速度为1个单位/秒，到达B点后以2倍的
初始速度返回点A；在点P出发的同时，动点Q从点C出发，沿数轴向右运动，在运动的过程中速度保
持不变为3个单位/秒，当点P返回点A时P、Q两点同时停止运动；设运动的时间为t秒，当 PQ＝AP
时，求此时动点P在数轴上所对应的数；
（3）如图（2），CF＝5，数轴上方有一个正方形ABDE，动点M沿A﹣E﹣D﹣B﹣A的顺序以2个单
位/秒的速度匀速绕正方形运动一周，再回到A点时停止运动；在点C的正上方8个单位长度处有一点G，三角形FCG为直角三角形；设运动的时间为m秒，当点M在线段AE上时，三角形FGM的面积等
于 24+ 5 m ；当点M在线段DE上时，三角形FGM的面积等于 8 m +1 8 ；当点M在线段BD上时，
三角形FGM的面积等于 70 ﹣ 5 m ；当点M在线段AB上时，三角形FGM的面积等于 88 ﹣ 8 m
（用含m的代数式表示）．
【分析】（1）由A表示的数为2，点B表示的数为6，BC＝15则C点表示的数为6﹣15＝﹣9，CA＝2
﹣（﹣9）＝11；
（2）动点P从点A出发，沿数轴向右运动且初始速度为 1个单位/秒，则 P表示的数为 2+t（0＜
t≤4），返回时P表示的数为：6﹣2（t﹣4）＝14﹣2t，（4≤t≤6），又动点Q从点C出发，沿数轴向
右运动，在运动的过程中速度保持不变为 3个单位/秒，则Q表示的数为：﹣9+3t，表示出PQ以及
AP，根据 PQ＝AP建立方程求解即可；
（3）利用割补法即面积法，梯形面积减去两直角三角形的面积即可．
【解答】解：（1）∵点B表示的数为6，BC＝15．
∴点C表示的数是6﹣15＝﹣9，
∵点A表示的数为2，
∴线段AC的长度是：2﹣（﹣9）＝11，
故答案为：﹣9，11；
（2）∵动点P从点A出发，沿数轴向右运动且初始速度为1个单位/秒，
当0＜t≤4时，
则P表示的数为2+t，
当点P返回点A时4＜t≤6时，
则P表示的数为：6﹣2（t﹣4）＝14﹣2t，又∵动点Q从点C出发，沿数轴向右运动，
在运动的过程中速度保持不变为3个单位/秒，
则Q表示的数为：﹣9+3t，（0＜t≤6），
故当0＜t≤4时，QP＝2+t﹣（﹣9+3t）＝11﹣2t．
AP＝2+t﹣2＝t，
∵ PQ＝AP，
∴ （11﹣2t）＝t，
解得：t＝ ，此时P对应数为：2+ ＝
故当4＜t≤6时，
则QP＝ ＝ ，
AP＝14﹣2t﹣2＝12﹣2t，
∵ PQ＝AP，
∴ ＝12﹣2t，
解得：t＝﹣1（舍去），t＝ ，此时P对应数为：14﹣2× ＝ ，
综上所述：P对应数为 或 ；
（3）由已知正方形ABDE边长为4，
∵动点M沿A﹣E﹣D﹣B﹣A的顺序以2个单位/秒匀速绕正方形运动一周，
故当0s＜m≤4s时，M在AE边上，
则m s时，AM＝2m，
根据已知：四边形CGMA为直角梯形，AG＝8，AC＝11，
∴S梯形CGMA ＝ （CG+AM）•AC＝ （8+2m）×11＝11m+44，
∵CF＝5，AC＝11，
∴AF＝AC﹣CF＝6，
∴S△CGF ＝ CG•CF＝ ×8×5＝20，S△AMF ＝ AM•AF＝ ×2m×6＝6m，
∵S△CFM ＝S梯形CGMA ﹣S△CGF ﹣S△AMF ，
∴S△CFM ＝11m+44﹣20﹣6m＝24+5m；
当点M在DE上时，即2≤m≤4时，
如图：
作MN⊥AB于N，则MN＝AB＝4，ME＝AN，m s时，ME＝2m﹣AE＝2m﹣4，∴AN＝2m﹣4，
∴NF＝AF+AN＝6+2m﹣4＝2m+2，
∴CN＝AC+AN＝11+2m﹣4＝2m+7，
∴S梯形CGMA ＝ （CG+NM）•NC＝ （8+4）（2m+7）＝12m+42，
∴S△CGF ＝ CG•CF＝ ×8×5＝20，S△NMF ＝ NM•NF＝ ×（2m+2）×4＝4m+4，
∵S△CFM ＝S梯形CGMA ﹣S△CGF ﹣S△NMF ，
∴S△CFM ＝12m+42﹣20﹣（4m+4）＝8m+18；
当点M在DB上时，即4≤m≤6时，
如图：m s时，BM＝12﹣2m，
则S梯形CGMA ＝ （CG+BM）•BC＝ （8+12﹣2m）×15＝150﹣15m，
∵S△CGF ＝ CG•CF＝20，S△BMF ＝ BM•BF＝ ×（12﹣2m）×10＝60﹣10m，
∴S△CFM ＝S梯形CGMA ﹣S△CGF ﹣S△NMF ，
即S△CFM ＝150﹣15m﹣20﹣60+10m＝70﹣5m；
当M在AB上时即6≤m≤8时，
如图：
m s时，AM＝16﹣2m，
∵AF＝6，
∴MF＝AF+AM＝6+16﹣2m＝22﹣2m，
∵CG⊥CB，CG＝8，
∴S△CFM ＝ MF•CG＝ （22﹣2m）×8＝88﹣8m，
故答案为：24+5m；8m﹣2；50﹣5m；88﹣8m．
15．（2023秋•上城区校级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，
揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 2 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
① 表示的点与数 ﹣ 2 ﹣ 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示
的数分别是 ﹣ 5 和 3 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部
分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为 1：1：2，则折痕处对应的点所表示
的数可能是 或 或 ．
【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出﹣2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为﹣1，
①设 表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；
②因为AB＝8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为﹣1，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，
所以设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，得a+a+2a＝9，a＝ ，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同
理可得出如图2、3对应的x的值．
【解答】解：操作一，
（1）∵表示的点1与﹣1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
则﹣2表示的点与2表示的点重合，
故答案为：2；
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，则折痕表示的点为﹣1，
①设 表示的点与数a表示的点重合，
则 ﹣（﹣1）＝﹣1﹣a，
a＝﹣2﹣ ；
②∵数轴上A、B两点之间距离为8，
∴数轴上A、B两点到折痕﹣1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A、B两点表示的数分别是﹣5和3；
故答案为：①﹣2﹣ ，②﹣5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，
设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，
a+a+2a＝9，
a＝ ，
∴AB＝ ，BC＝ ，CD＝ ，
x＝﹣1+ + ＝ ，
如图2，当AB：BC：CD＝1：2：1时，
设AB＝a，BC＝2a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a＝ ，
∴AB＝ ，BC＝ ，CD＝ ，
x＝﹣1+ + ＝ ，
如图3，当AB：BC：CD＝2：1：1时，设AB＝2a，BC＝a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a＝ ，
∴AB＝ ，BC＝CD＝ ，
x＝﹣1+ + ＝ ，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
16．（2023秋•运城期末）数轴是初中数学教材中数形结合的第一个实例，它包括原点，正方向和长度单
位三要素，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示．
（1）数轴上某一个点所对应的数为2，另一个点对应的数为﹣8，则这两点之间的距离为 1 0 ；
（2）数轴上的数﹣10对应的点为A，点B位于A点的右边，距A点m个长度单位，C为线段AB上的
一点，AC＝2BC，电子蚂蚁P、Q分别从A、B同时出发，相向而行，P的速度为3个长度单位/秒，Q
的速度为2个长度单位/秒．
①当P、Q距C点距离相同时，求运动时间t；
② 若 电 子 蚂 蚁 Q 通 过 C 点 1 秒 后 与 电 子 蚂 蚁 P 相 遇 ， 求 m 的 值 ．
【分析】（1）根据两点间的距离公式求解即可；（2）①根据P、Q距C点距离相同，列出方程可求时间t；
②根据电子蚂蚁Q通过C点1秒后与电子蚂蚁P相遇，由时间的等量关系列出方程可求m的值．
【解答】解：（1）2﹣（﹣8）＝10．
故这两点之间的距离为10．
故答案为：10；
（2）①依题意有：
m﹣3t＝ m﹣2t，
解得t＝ m；
或3t+2t＝m，
解得t＝ m．
故运动时间t为 m或 m．
②依题意有：
＝ ，
解得m＝30．
故m的值为30．
17．（2023秋•顺德区校级月考）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是2
个单位长度，长方形ABCD的长AD是4个单位长度，长方形EFGH的长EH是8个单位长度，点E在
数轴上表示的数是m，且E、D两点之间的距离为n个单位长度．若|m﹣5|+（n﹣13）2＝0，回答下列问
题．
（1）填空：点H在数轴上表示的数是 1 3 ；点A在数轴上表示的数是 ﹣ 1 2 ；
（2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N， ，点M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，
点N以每秒3个单位长度的速度同时向左匀速运动，经过几秒后，有OM＝ON；
（3）若长方形ABCD以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，当两个长方形重
叠部分的面积为6时，求长方形ABCD运动的时间．【分析】（1）根据非负数的性质得出m，n的值，由数轴上两点间距离即可求得两点对应的有理数；
（2）设运动时间为x秒，首先可求得两点对应的数，分两种情况：当两点相遇时，由相遇问题知识即
可解决；当两点分别在原点O的两侧时，则这两个数互为相反数，其和为0，可求得x的值；
（3）分两种情况：AB边在长方形EFGH的边EF的左边且距离EF1个单位长度时；CD边在长方形
EFGH的边GH的右边且距离GH1个单位长度时；无论哪种情况均可求得长方形ABCD运动的距离，则
可求得运动的时间．
【解答】解：（1）∵|m﹣5|+（n﹣13）2＝0，
∴m＝5，n＝13，
∵EH＝8，则点H对应的有理数为：5+8＝13；
由于点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为13个单位长度，AD＝4，
则AE＝13+4＝17，
所以点A表示的数为：5﹣17＝﹣12，
故答案为：13，﹣12；
（2）设运动时间为x秒，
因 ， ，则点M、N对应的数为﹣12+2＝﹣10、5+2＝7，MN＝7﹣（﹣
10）＝17，
由题意知，它们运动x秒后M、N点对应的数分别为：﹣10+4x、7﹣3x，
当OM＝ON时有两种情况：
若M、N两点相遇，则两点运动的距离之和为17，即4x+3x＝17，解得 ；
若M、N两点在原点的两侧，则它们对应的数互为相反数，即﹣10+4x+7﹣3x＝0，
解得：x＝3；
综上，当OM＝ON时，x的值为 或3；
（3）当AB边在长方形EFGH的边EF的左边且距离EF为1个单位长度时，即AE＝1时，如图1所示；
则ED＝4﹣1＝3，重叠部分面积为3×2＝6；
此时长方形ABCD的运动距离为：13+3＝16，运动时间为：16÷4＝4（秒）；
当CD边在长方形EFGH的边GH的右边且距离GH1个单位长度时，即HD＝1时；AH＝4﹣1＝3，重叠部分面积为3×2＝6；
此时长方形ABCD的运动距离为：13+8+1＝22，运动时间为：22÷4＝5.5（秒）；
综上，长方形ABCD的运动的时间为4秒或5.5秒．
18．（2023秋•盐都区期末）如图1，A、B、C是数轴上的点，∠DCE＝90°（C与O重合，D点在数轴的
正半轴上）．
（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF＝ 45 ° ；
（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移n（0＜n＜3）个单位后，再绕顶点C逆时针旋转30n
度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝ ．
①当n＝1时， ＝ 30 ° ； α
②猜想∠BCE和α 的数量关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）如图3，开始α∠D
1
C
1
E
1
与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴向右平移n（0＜n＜3）个单位，再绕顶点
C逆时针旋转30n度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝ ，与此同时，将∠D C E 沿数轴向左平移n
1 1 1
（0＜n＜3）个单位，再绕顶点C 顺时针旋转30n度，作CαF 平分∠AC E ，记∠D C F ＝ 若 ， 满
1 1 1 1 1 1 1 1
足| ﹣ |＝50°，请求出n的值． β α β
α β【分析】（1）因为CF平分∠ACE，所以∠AOF＝ ∠ACE，已知∠ACE＝∠DCE＝90°，可得∠AOF
的度数；
（2）①n＝1时，即∠DCE沿数轴的正半轴向右平移1个单位，绕顶点C逆时针旋转30°，可得∠ACE
的度数，因为CF平分∠ACE，可得∠ACF的度数，因为 ＝∠DCF＝∠ACF﹣∠ACD，可得 的值；
②∠BCE＝180°﹣∠ACD﹣∠DCE， ＝∠DCF＝∠ACF﹣α∠ACD，化简可得∠BCE和 的数α量关系；
（3）分别表示出 、 的度数，根据|α﹣ |＝50°，可解得n的值． α
【解答】解：（1）α∵βCF平分∠ACE，α∠βACE＝∠DCE＝90°，
∴∠AOF＝ ∠ACE＝45°，
故答案为：45°；
（2）①n＝1时，即∠DCE沿数轴的正半轴向右平移1个单位，绕顶点C逆时针旋转30°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝120°，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF＝ ∠ACE＝60°，
∴ ＝∠DCF＝∠ACF﹣∠ACD＝30°，
故α答案为：30°；
②由题意得，∠BCE＝180°﹣∠ACD﹣∠DCE＝（90﹣30n）°，
＝∠DCF＝∠ACF﹣∠ACD＝ ∠ACE﹣∠ACD＝ （∠ACD+∠DCE）﹣∠ACD＝ （90﹣30n）°，
α∴∠BCE＝2 ；
α
（3） ＝∠DCF＝∠ACF﹣∠ACD＝ ∠ACE﹣∠ACD＝ （∠ACD+∠DCE）﹣∠ACD＝（45﹣15n）
°， α
＝∠D C F ＝∠D C A+∠AC F ＝∠D C A+ ∠AC E ＝∠D C A+ （∠D C E ﹣∠D C A）＝
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
β（45+15n）°，
∵ ， 满足| ﹣ |＝50°，
∴α|（4β5﹣15nα）°β﹣（45+15n）°|＝50°，（0＜n＜3）
解得：n＝ ．
19．（2023春•江油市期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C（0，a），D（b，a），其中a，b满足关系式|a+2|+（b﹣a+1）2＝0．
（1）a＝ ﹣ 2 ，b＝ ﹣ 3 ；
（2）如图2，若AC⊥BC，BQ平分∠ABC交AC于点Q，交OC于点P，求证：∠CPQ＝∠CQP；
（3）如图3，若点A、点B分别在x轴负半轴和正半轴上运动，∠ACB的角平分线交x轴于点M，点N
在x轴上，且∠BCM＝∠DCN，请补全图形，探究 的值的变化情况，并直接写出结论（不要求
写出探究过程）．
【分析】（1）根据非负数的性质可得a和b的值，
（2）根据角平分线的定义可得∠OBP＝∠CBQ，再根据三角形的内角和定理可得∠BPO＝∠CQP，最
后由对顶角相等和等量代换可得结论，
（3）设∠DCN＝∠BCF＝x，∠ACD＝y，分别求出∠OCM，∠ACN即可求解．
【解答】（1）解：如图1中，
∵|a+2|+（b﹣a+1）2＝0，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
故答案为：﹣2，﹣3；
（2）证明：如图2中，
∵BQ平分∠CBA，
∴∠OBP＝∠CBQ，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BOP＝∠BCQ＝90°，
∴∠BPO＝∠CQP，
∵∠CPQ＝∠BPO，
∴∠CQP＝∠CPQ；（3）解：如图3，结论：定值＝ ．
理由：设∠DCN＝∠BCF＝x，∠ACD＝y，
∴∠ACB＝180°﹣x﹣y，∠ACN＝x﹣y，
∵CM平分∠ACB，
∴∠MCB＝ （180°﹣x﹣y），
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCF＝x，
∴∠BCO＝90°﹣x，
∴∠OCM＝ （180°﹣x﹣y）﹣（90°﹣x）＝
∴ ＝ ．
20．（2023春•雨花区月考）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P （x ，y ）与P （x ，y ），我们
1 1 1 2 2 2
重新定义这两点的“距离”．
①当|y
1
﹣y
2
|≤|x
1
﹣x
2
|时，|x
1
﹣x
2
|为点P
1
与点P
2
的“远距离”D远 ，即D远 （P
1
，P
2
）＝|x
1
﹣x
2
|；当|x
1
﹣
x
2
|＜|y
1
﹣y
2
|时，以|y
1
﹣y
2
|为点P
1
与点P
2
的“远距离”D远 ，即D远 （P
1
，P
2
）＝|y
1
﹣y
2
|．
②点P
1
与点P
2
的“总距离”D总 为|x
1
﹣x
2
|与|y
1
﹣y
2
|的和，即D总 （P
1
，P
2
）＝|x
1
﹣x
2
|+|y
1
﹣y
2
|．根据以上材料，解决下列问题：
（1）已知A（3，2）则D远 （A，O）＝ 3 ，D总 （A，O）＝ 5 ；
（2）若点B（x，5﹣x）在第一象限，且D远 （B，O）＝3．求点B的坐标．
（3）若点C（x，y）（x≥0，y≥0），且D总 （C，O）＝4，已知点M（4，0），N（0，﹣2），点C
向左平移2x个单位得到点E，且S△EMN ＝10，求点C的坐标．
【分析】（1）根据新定义直接代入求解即可得到答案；
（2）根据新定义分两类讨论列式求解即可得到答案；
（3）根据新定义的得到C点坐标关系，结合平移得到点E的坐标，根据S△EMN ＝10列式得到x，y的关
系，求解即可得到答案．
【解答】解：（1）∵A（3，2），O（0，0），
∴|3﹣0|＝3＞|2﹣0|＝2，
∴D远 （A，O）＝3，D总 （A，O）＝3+2＝5，
故答案为：3，5；
（2）∵B（x，5﹣x）在第一象限，
∴ ，
解得：0＜x＜5，
∵O（0，0），
∴|x﹣0|＝x，|5﹣x﹣0|＝5﹣x，
①当5﹣x≤x时，即 ，
∵D远 （B，O）＝3，
∴x＝3，
∴点B坐标为B（3，2），
②当5﹣x＞x时，即 ，
∵D远 （B，O）＝3，
∴5﹣x＝3，
解得：x＝2；
∴点B坐标为B（2，3），
综上所述点B坐标为：B（3，2）或B（2，3）；（3）∵点C（x，y）（x≥0，y≥0），且D总 （C，O）＝4，
∴x+y＝4，
∵点C向左平移2x个单位得到点E，
∴E（﹣x，y），
∵M（4，0），N（0，﹣2），S△EMN ＝10
∴S△EMN ＝S△OME +S△OMN ﹣S△ONE ＝10，
∴ ，
联立解得： ，
∴点C的坐标为：C（2，2）；
21．（2023春•茅箭区期中）问题背景：（1）平面直角坐标系中，已知点A（x ，y ），点B（x ，y ），
1 1 2 2
点C是线段AB的中点，则点C的坐标为（ ， ），如：A（﹣1，1），B（3，3），则
AB的中点C的坐标为（ ， ）即点C的坐标为（1，2）．
解决问题：
（1）已知A（6，﹣2），B（﹣3，﹣3），则线段AB的中点M的坐标是： （ ） ．
（2）若点P（﹣3，7），线段PQ的中点坐标为（﹣1，5），则点Q的坐标是： （ 1 ， 3 ） ．
（3）已知三点E（4，﹣2），F（﹣3，﹣1），G（﹣1，﹣4），第四个点H（x，y）与点E，点F、点
G中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线没的中点重合，求点H的坐标．
【分析】（1）根据题意，即可得到各中点的坐标：
（2）根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律；
（3）利用（2）中的规律进行分类讨论即可答题．
【解答】解：（1）∵A（6，﹣2），B（﹣3，﹣3），则线段AB的中点M的坐标是（ ），
即（ ），
故答案为：（ ）．（2）设点Q的坐标（a，b），由题意得，
，
解得a＝1，b＝3，
∴点Q的坐标（1，3），
故答案为：（1，3）；
（3）（分类讨论：①HE与FG中点重合时，
， ，
∴x＝﹣8，y＝﹣3，
此时H（﹣8，﹣3）；
②HF与EG中点重合时，
，
∴x＝6，y＝﹣5，
此时H（6，﹣5）；
③HG与EF中点重合时，
，
∴x＝2，y＝1，
此时H（2，1），
∴点H的坐标为：（﹣8，﹣3）（6，﹣5）或（2，1）．
22．（2023秋•沛县校级期末）【材料阅读】
如图1，数轴上的点A、B表示的数分别为﹣1、7，C是线段AB的中点．
（1）点C表示的数是 3 ；
（2）若点P、Q分别从点C、B同时出发，以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度沿数轴正方向运
动，则t秒后，点P、Q表示的数分别是 3+ 3 t 、 7+ t （用含t的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若P、Q两点之间的距离为2，求t的值．
【方法迁移】
如图2，∠AOB＝140°，OC平分∠AOB．现有射线OP、OQ分别从OC、OB同时出发，以每秒15°和每
秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当OP旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线
OP、OQ的夹角为30°？
【生活运用】周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为90°，经过 分钟后，分
针与时针的夹角首次变成45°．
【分析】（1）利用线段中点的定义解答即可；
（2）利用距离＝速度×时间关系式解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法列出关于t的方程解答即可；
【方法迁移】利用（3）中的方法和角平分线的定义解答即可；
【生活运用】设经过x分钟后，分针与时针的夹角首次变成45°，利用（3）中的方法列方程解答即可．
【解答】解：（1）设点C表示的数是x，
∵AC＝BC，
∴x﹣（﹣1）＝7﹣x，
解得：x＝3，
∴点C表示的数是3．
故答案为：3；
（2）t秒后，点P、Q表示的数分别是3t+3，7+t，
故答案为：3t+3，7+t；
（3）∵P、Q两点之间的距离为2，
∴（7+t）﹣（3t+3）＝2或（3t+3）﹣（7+t）＝2．
解得：t＝1或t＝3．
∴若P、Q两点之间的距离为2，t的值为1秒或3秒．
【方法迁移】∵∠AOB＝140°，OC平分∠AOB，
∴∠COB＝ ∠AOB＝70°，
设经过x秒后，射线OP、OQ的夹角为30°，
∴70°﹣15°x+10°x＝30°或15°x﹣70°﹣10°x＝30°，
解得：x＝8或x＝20．
∵射线OP、OQ分别从OC、OB同时出发，以每秒15°和每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当OP旋转一周时，这两条射线都停止旋转，
∴0°≤15°x≤360°，
∴0≤x≤24．
∴经过8秒或20秒后，射线OP、OQ的夹角为30°．
【生活运用】设经过x分钟后，分针与时针的夹角首次变成45°，
∵分针每分钟旋转6°，时针每分钟旋转0.5°，
∴90°﹣6°x+0.5°x＝45°，
解得：x＝ ，
∴经过 分钟后，分针与时针的夹角首次变成45°．
故答案为： ．
23．（2023秋•泰州期中）如图1，已知数轴上从左向右依次有四点A、B、C、D，其中AB＝CD＝ BC，
点D对应的数是14．
（1）若BC＝8，则点A对应的数是 ﹣ 6 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，若一小球甲在数轴上从点A处以2单位/秒的速度向右运动，同时另一
小球乙从点D处以7单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点 E和点B处各放一
块挡板，其中AE＝2BE，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方
向运动，设运动的时间为t秒，问：t为何值时，甲、乙两小球之间的距离为4个单位．
（3）在（2）的条件下，将线段AB、DC分别绕点B、点C竖直向上折起，连接线段AD，围成如图3
的长方形ABCD中，点P从点C出发，以2单位/s的速度沿点C﹣D﹣A﹣E匀速运动，最终到达点E．
设点P运动时间为t秒，问：t为何值时，△PCE的面积为18？
【分析】（1）根据已知条件分别求出AB、CD的长，再根据点A的位置即可求出点A表示的数；
（2）分相向而行和相背而行两种情况分类讨论，用时间＝路程÷速度和即可求出时间；
（3）分点P在CD上，AD上，AB上三种情况逐一求解．【解答】解：（1）
∵AB＝CD＝ BC，BC＝8，
∴AB＝CD＝ ×8＝6，
∵点D对应的数是14，
∴点B是原点，
∴点A表示的数是﹣6，
故答案为：﹣6；
（2）∵AE＝2BE，AB＝6，
∴AE＝4，BE＝2，
当甲、乙两个小球相向而行时，可得（14+6﹣4）÷（2+7）＝ ；
当甲、乙两个小球相背而行相距4个单位时，
∵AD＝AB+BD＝20，BE＝2，可得（14+6﹣2+2）÷（2+7）＝ ；
故答案为： 或
（3）
如上图，当点P在CD上时，
∵CP＝2t，AD＝BC＝8，
∴ ×2t×8＝18．
解得，t＝ ；如上图，当点P在AD上时，PD＝2t﹣6，
∴S△PCE ＝S梯形AECD ﹣S△AEP ﹣S△CDP ＝ ﹣ ﹣ ，即﹣
﹣ ＝18，
解得，t＝6；
当点P在AB上时，
4×8× ＝16，不合题意．
综上所述，△PCE的面积为18时，t的值为 或6．
24．（2023秋•宁波期中）【阅读理解】
|5﹣2|表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣1|
可以理解为x与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，|x+2|＝|x﹣（﹣2）|就表示x在数轴上对应的
点到表示﹣2的点的距离．
（1）【尝试应用】
①数轴上表示﹣6和3的两点之间的距离是 9 （写出最后结果）；
②若|x﹣（﹣3）|＝4，则x＝ 1 或﹣ 7 ；
（2）【动手探究】
伦伦在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示﹣6的点与表示2的点重合．
①则表示16的点与表示 ﹣ 2 0 的点重合；
②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为 ，且A，B两点经过折叠后重合，则A表示的
数是 ，B表示的数是 ；
③若点A表示的数为a，点B表示的数为b（A在B的左侧），且A，B两点经折叠刚好重合，那么a与
b之间的数量关系是 a + b ＝﹣ 4 ；
（3）【拓展延伸】
当|x+3|+|x﹣2|+|y+1|+|y﹣5|＝11时，x•y的最小值是 ﹣ 1 5 ．
【分析】（1）①根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可；
②根据绝对值的定义进行计算即可；
（2）①先求出“折合点”在数轴上所表示的数，再根据数轴上两点距离的计算方法列方程求解即可；②设点A在数轴上所表示的数为a，则点B在数轴上所表示的数为a+ ，由于“折合点”所表示的数
为﹣2，所以 ＝﹣2，求解即可；
③根据“折合点”所表示的数的计算方法即可得出a与b的数量关系；
（3）根据|x+3|+|x﹣2|+|y+1|+|y﹣5|＝11，可得到x，y的取值范围，再计算xy的最小值即可．
【解答】解：（1）①数轴上表示﹣6和3的两点之间的距离是|3﹣（﹣6）|＝9，
故答案为：9；
②若|x﹣（﹣3）|＝4，则x﹣（﹣3）＝4或﹣3﹣x＝4，
解得x＝1或x＝﹣7，
故答案为：1或﹣7；
（2）①由于经过折叠，数轴上表示﹣6的点与表示2的点重合，
所以“折合点”在数轴上所表示的数为 ＝﹣2，
设数轴上示16的点与表示数x的点重合，则 ＝﹣2，
解得x＝﹣20，
即表示16的点与表示﹣20的点重合，
故答案为：﹣20；
②设点A在数轴上所表示的数为a，则点B在数轴上所表示的数为a+ ，由于“折合点”所表示的数
为﹣2，
所以 ＝﹣2，
解得a＝ ，
即点A在数轴上所表示的数为 ，
所以点B在数轴上所表示的数为 + ＝ ，
故答案为： ， ；
若点A表示的数为a，点B表示的数为b（A在B的左侧），且A，B两点经折叠刚好重合，那么a与b之间的数量关系是 ＝﹣2，
即a+b＝﹣4，
故答案为：a+b＝﹣4；
（3）由于|x+3|+|x﹣2|的最小值是3﹣（﹣2）＝5，此时﹣3≤x≤2；|y+1|+|y﹣5|的最小值为1﹣（﹣5）
＝6，此时﹣1≤y≤5，而|x+3|+|x﹣2|+|y+1|+|y﹣5|＝11，
所以当x＝﹣3，y＝5时，xy的值最小，最小值为﹣3×5＝﹣15，
故答案为：﹣15．
25．（2023•九龙坡区校级开学）如图，点M，N在数轴上分别位于原点O的左右两边，点M表示的数是
a，点N表示的数是b，且a，b满足（a+4）2+|b﹣8|＝0．点A、B、C是线段ON的四等分点，分别以线
段OA、AB、BC为边向数轴的上方作正方形OAED，正方形ABFE，正方形BCGF．
（1）直接写出a，b的值：a＝ ﹣ 4 ，b＝ 8 ；
（2）如图1，若动点P从点M出发以每秒3个单位长度的速度沿折线M﹣O﹣D﹣G运动，同时动点Q
从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿折线N﹣C﹣G﹣D运动，当点P到达点G时P，Q两点同时停
止运动，设点P的运动时间为t，求线段PQ＝1时t的值；
（3）如图2，若动点P从点M出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点P到达点O
时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线O﹣D﹣G﹣D运动，点P到达点O的同时动点Q从点N出发
以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点Q首次到达点C后立即以每秒3个单位长度的速
度在点C和点O之间往返运动，过动点Q作直线l垂直ON，在运动过程中，直线l与线段DG的交点为
H．当点P第二次到达点D时P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t，直接写出线段PH＝2
时t的值．
【分析】（1）根据非负数的性质可得解；（2）根据相遇前和相遇后PQ＝1，列方程求解即可；
（3）根据点Q到达O点前和返回后，点P在QH的左右两侧，根据PH＝2找出等量关系列出方程求解
即可．
【解答】解：（1）∵（a+4）2+|b﹣8|＝0，且（a+4）2≥0，|b﹣8|≥0，
∴a+4＝0，b﹣8＝0，
∴a＝﹣4，b＝8，
故答案为：﹣4，8；
（2）∵a＝﹣4，b＝8．∴M表示的数是﹣4，N表示的数是8，
∴ON＝8，
∵点A、B、C是线段ON的四等分点，
∴ ，
又四边形OAED，ABFE，BCGF是正方形，
∴OD＝DE＝EF＝FG＝2，
若P，Q相遇前PQ＝1，则有，3t+1+2t＝4+10+2，
解得，t＝3；
若P，Q相遇后PQ＝1，则有3t﹣1+2t＝4+10+2，
解得，t＝ ，
综上，线段PQ＝1时，t＝ 或t＝3，
（3）点Q从C到O运动时间为6÷3＝2（秒），
点P从点M运动到点G所需时间为：4÷4+8÷2＝5（秒），从点G到点D所需时间为6÷2＝3（秒），
则点P第二次到达点D所需时间为5+3＝8（秒），
故点Q运动总时间为8﹣1＝7（秒），
①当点Q向O运动时，点P在QH左侧时，则有4+2（t﹣1）+2+3（t﹣2）+2＝4+2+6+2．
解得， ；
②当点Q向O运动时，点P在QH右侧时，则有2（t﹣1）﹣2+3（t﹣2）＝8，
解得， ；
③当点Q从O向C运动时，点P在QH右侧时，则有3（t﹣4）+2+2（t﹣5）＝6，解得， ，
④当点Q从O向C运动时，点P在QH左侧时，则有2（t﹣5）﹣2＝3（t﹣4）﹣6，
解得，t＝6，
综上，线段PH＝2时t的值为 ， ， 或6．
26．（2023秋•衡东县期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图 1的几何
图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的
数量关系．
（1）如图1，AB∥CD，M是AB、CD之间的一点，连接BM，DM，则有∠B+∠D＝∠BMD．请你证明
这个结论．
（2）【运用】如图2，AB∥CD，M、N是AB、CD之间的两点，且2∠M＝3∠N，请你利用（1）中
“猪蹄模型”的结论，找出∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）【延伸】如图3，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，EN、FG分别平分∠BEM和∠CFM，且
EN∥MG．如果∠EMF＝ ，那么∠MGF等于多少？（用含 的代数式表示，请直接写出结论，无需证
明） α α
【分析】（1）如图，过 M作MN∥AB．得AB∥MN∥CD，故∠B＝∠BMN，∠D＝∠BMN，因此
∠B+∠D＝∠BMN+∠DMN＝∠BMD．
（2）延长NM交AB于E，延长MN交CD于F．利用三角形外角∠BMN＝∠MNC﹣∠C+∠B，由
2∠BMN＝3∠MNC，得∠MNC＝ ∠BMN，再计算即可．
（3）由角平分线得∠MEN＝∠BEN＝x，∠CFG＝∠MFG＝y，由“猪蹄模型”得∠AEM+∠MFC＝
∠EMF，再利用平行线和三角形内角和计算即可．
【解答】（1）证明：如图，过M作MN∥AB．∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠B＝∠BMN，∠D＝∠BMN，
∴∠B+∠D＝∠BMN+∠DMN＝∠BMD．
（2）解：∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系： ∠BMN＝∠B﹣∠C．
理由如下：
如图：延长NM交AB于E，延长MN交CD于F．
∵AB∥CD，
∴∠BEM＝∠NFC，
∵∠BMN＝∠BEM+∠B，
∴∠BMN＝∠NFC+∠B，
∵∠NFC＝∠MNC﹣∠C，
∴∠BMN＝∠MNC﹣∠C+∠B，
∵2∠BMN＝3∠MNC，
∴∠MNC＝ ∠BMN，
∴∠BMN＝ ∠BMN﹣∠C+∠B，
∴ ∠BMN＝∠B﹣∠C．
答：∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系： ∠BMN＝∠B﹣∠C．
（3）证明：∵EN、FG分别平分∠BEM和∠CFM，
∴∠MEN＝∠BEN＝x，∠CFG＝∠MFG＝y，
由（1）结论得：∠AEM+∠MFC＝∠EMF，∴180°﹣2x+2y＝ ，
α
∴x﹣y＝90°﹣ ．
∵MG∥EN，
∴∠GMF+∠EMF+∠MEN＝180°，
∴∠GMF＝180°﹣ ﹣x，
由三角形内角和得：α
∠MGF＝180°﹣∠GMF﹣∠GFM＝180°﹣（180°﹣ ﹣x）﹣y＝ +x﹣y＝ +（90°﹣ ）＝90°+ ．
α α α α α
答：∠MGF等于90°+ ．
27．（2023秋•修水县期末）α 综合与探究
问题情境
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已
知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP
和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
探索发现
“快乐小组”经过探索后发现：
（1）当∠A＝60°时，∠CBD＝∠A．请说明理由．
（2）不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，用含∠A的式子表示∠CBD为
∠ CBD ＝ ．
操作探究
（3）“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地
发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都
保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
（4）点P继续在射线AM上运动，当运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠ABC+ ∠A的结果．
【分析】（1）由平行线的性质及角平分线的定义可得结论．（2）证明方法同（1）问．
（3）由平行线的性质及角平分线的定义可得结论．
（4）由平行线的性质可得∠ACB＝∠CBN，结合条件∠ACB＝∠CBN，可得∠ABC＝∠DBN，再由角平
分线的定义、平行线的性质及三角形的内角和定理等可求得答案．
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
又∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP＝ ∠ABP，∠DBP＝ ∠PBN，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝ ∠ABP+ ∠PBN＝ ∠ABN＝60°，
∴∠CBD＝∠A．
（2）∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP＝ ∠ABP，∠DBP＝ ∠PBN，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝ ∠ABP+ ∠PBN＝ ∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A，
∴∠CBD＝ ．
（3）∠APB＝2∠ADB 理由如下：
∵BD分别平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠NBD，
∵AM∥BN，
∴∠PBN＝∠APB，∠NBD＝∠ADB，
∴∠APB＝2∠ADB．
（4）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴2∠ABC＝ ∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∴2∠ABC+ ∠A＝ （∠A+∠ABN）＝ ×180°＝90°．
28．（2023秋•市中区期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 C重合放在一起，其中∠A＝
30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）如图1，∠1与∠3的数量关系是 ∠ 1 ＝∠ 2 ，理由是 同角的余角相等 ；
（2）如图1，若∠BCE＝120°，求∠2的度数；
（3）如图2，将三角尺ABC固定不动，改变三角尺DCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，
当点D在直线BC的上方时，探究以下问题：
①当DE∥AB时，求出∠BCD的度数；
②这两块三角尺还存在一组边互相平行的情况，请直接∠BCD角度所有可能的值．
【分析】（1）由∠ACB＝∠DCE＝90°得∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，据此可得出答案；
（2）由∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°得∠1+2∠2+∠3＝180°，再根据∠BCE＝120°得∠1+∠2+∠3＝
120°，据此可得出∠2的度数；
（3）①延长BC交DE于点F，由平行线的性质得∠DFC＝180°﹣∠B＝120°，进而得∠D＝∠E＝
45°，则∠DCF＝15°，再根据邻补角的定义可得∠BCD的度数；
②依题意有以下五种情况（Ⅰ）当CE∥AB时，（Ⅱ）当DE∥BC时，（Ⅲ）当CD∥AB时，（Ⅳ）
当DE∥AC时，（Ⅴ）当DE∥AB时，根据每一种情况画出图形，利用平行线的性质可得出∠BCD的度数．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2．
故答案为：∠1＝∠2；同角的余角相等．
（2）∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1+2∠2+∠3＝180°，
又∵∠BCE＝120°，
∴∠1+∠2+∠3＝120°，
∴∠2＝60°；
（3）①延长BC交DE于点F，如图1所示：
∵∠B＝60°，DE∥AB，点D在直线BC的上方，
∴∠DFC＝180°﹣∠B＝120°，
∵∠D＝∠E＝45°，
∴∠DCF＝180°﹣（∠DFC+∠D）＝180°﹣（120°+45°）＝15°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCF＝165°；
②∵改变三角尺DCE的位置，且点D在直线BC的上方，
∴当两块三角尺存在一组边互相平行的情况有以下五种：
（Ⅰ）当CE∥AB时，如图2所示：则∠ACE＝∠A＝30°，
由（1）可知：∠BCD＝∠ACE＝30°；
（Ⅱ）当DE∥BC时，如图3所示：
则∠BCD＝∠D＝45°；
（Ⅲ）当CD∥AB时，如图4所示：
则∠ACD＝∠A＝30°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°；
（Ⅳ）当DE∥AC时，如图5所示：则∠ACD＝∠D＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝135°；
（Ⅴ）当DE∥AB时，与（3）①相同，∠BCD＝165°．
综上所述：∠BCD的度数为30°或45°或120°或135°或165°．
29．（2023秋•建宁县期末）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角
之间数量关系的数学活动．
（1）如图1，EF∥MN，点A，B分别为直线EF，MN上的一点，点 P为平行线间一点且∠PAF＝
130°，∠PBN＝120°，求∠APB度数；
问题迁移
（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM，ON于点A，D，直线n
分别交OM，ON于点B，C，点P在射线OM上运动．
①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设∠ADP＝∠ ，∠BCP＝∠ ．则∠CPD，
∠ ，∠ 之间有何数量关系？请说明理由； α β
②α若点βP不在线段AB上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出∠CPD，∠ ，
∠ 间的数量关系． α
【β分析】（1）过P作PT∥EF，由PT∥EF∥MN，得∠PAF+∠APT＝180°，∠TPB+∠PBN＝180°，即
得∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°，把∠PAF＝130°，∠PBN＝120°代入即可求出∠APB度数；
（2）①过P作PE∥AD交CD于E，由AD∥PE∥BC，得∠ ＝∠DPE，∠ ＝∠CPE，故∠CPD＝
∠DPE+∠CPE＝∠ +∠ ； α β
α β②分两种情况：当P在BA延长线时，此时∠CPD＝∠ ﹣∠ ；当P在BO之间时，此时∠CPD＝∠
﹣∠ ． β α α
【解β答】解：（1）∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°，理由如下：
过P作PT∥EF，如图：
∵EF∥MN，
∴PT∥EF∥MN，
∴∠PAF+∠APT＝180°，∠TPB+∠PBN＝180°，
∴∠PAF+∠APT+∠TPB+∠PBN＝360°，
即∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°，
∵∠PAF＝130°，∠PBN＝120°，
∴∠APB＝360°﹣∠PAF﹣∠PBN＝360°﹣130°﹣120°＝110°；
（2）①∠CPD＝∠ +∠ ，理由如下：
过P作PE∥AD交CDα 于Eβ，如图：
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠ ＝∠DPE，∠ ＝∠CPE，
∴∠αCPD＝∠DPE+∠β CPE＝∠ +∠ ；
②当P在BA延长线时，如图：α β此时∠CPD＝∠ ﹣∠ ；
当P在BO之间时β，如α图：
此时∠CPD＝∠ ﹣∠ ．
30．（2023秋•沙坪α坝区期β 末）已知AB∥CD，点P是平面内一点，过点P作射线PN、PM，PM与AB相
交于点B．
（1）如图1，若点P为直线CD上一点，∠ABM＝45°，∠CPN＝30°，求∠MPN的度数；
（2）如图2，若点P为直线AB、CD之间区域的一点，射线PN交CD于点E，∠ABM和∠CEP的角平
分线交于点F．请说明：2∠BFE+∠MPN＝180°；
（3）如图3，若点P、H是直线CD上的点，连接HB并延长交∠MPN的角平分线于点Q，射线PN交
AB于点G，设∠BGP＝ ．当∠PHB＝∠PBH时，请直接用含 的代数式表示∠PQH．
【分析】（1）运用平行α线性质即可； α
（2）过点F作FK∥AB，过点P作PR∥AB，运用平行线性质、角平分线定义及三角形内角和定理等即
可证得结论；
（3）分两种情况：当点H在点P的左侧时，当点H在点P的右侧时，分别求得∠PQH即可．【解答】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠CPM＝∠ABM，
∵∠ABM＝45°，
∴∠CPM＝45°．
∵∠MPN＝∠CPM+∠CPN，∠CPN＝30°，
∴∠MPN＝45°+30°＝75°．
（2）证明：过点F作FK∥AB，过点P作PR∥AB，
∴∠KFB＝∠ABF，∠RPM＝∠ABM，
∵AB∥CD，
∴FK∥CD，PR∥CD，
∴∠KFE＝∠CEF，∠CEP+∠EPR＝180°．
∵BF平分∠ABM，
∴∠ABM＝2∠ABF，
同理可得：∠CEP＝2∠CEF．
设∠CEF＝x，∠ABF＝y，
∴∠KFE＝∠CEF＝x，∠CEP＝2∠CEF＝2x，
∠KFB＝∠ABF＝y，∠ABM＝2∠ABF＝2y，
∴∠EPR＝180°﹣∠CEP＝180°﹣2x，∠RPM＝∠ABM＝2y，
∴∠MPN＝∠EPR+∠RPM＝180°﹣2x+2y＝180°﹣2（x﹣y），
∵∠BFE＝∠KFE﹣∠KFB＝x﹣y，
∴∠MPN＝180°﹣2∠BFE，
∴2∠BFE+∠MPN＝180°．
（3）解： 或 ．
当点H在点P的左侧时，如图，∵AB∥CD，
∴∠DPG＝∠BGP＝ ，
∵∠BPD＝∠PHB+∠αPBH，∠PHB＝∠PBH，
∴∠BPD＝2∠PHB＝2∠PBH，
∴∠PHB＝∠PBH＝ ∠BPD＝ ∠MPN+ ，
∵PQ平分∠MPN， α
∴∠MPQ＝∠NPQ＝ ∠MPN，
∴∠PBH＝∠MPQ+ ，
∵∠PBH＝∠MPQ+∠αPQH，
∴∠PQH＝ ；
当点H在点Pα的右侧时，如图，
∵AB∥CD，
∴∠DPG＝∠BGP＝ ，
∵∠BPC＝∠PHB+∠αPBH，∠PHB＝∠PBH，
∴∠BPC＝2∠PHB＝2∠PBH，
∴∠PHB＝∠PBH＝ ∠BPC＝ （180°﹣∠MPN﹣ ），
∵PQ平分∠MPN， α
∴∠MPQ＝∠NPQ＝ ∠MPN，∴∠PHB＝∠PBH＝90°﹣∠MPQ﹣ ，
∵∠BPC+∠MPQ＝∠PQH+∠PHB，α
∴∠PQH＝∠BPC+∠MPQ﹣∠PHB＝2∠PHB+∠MPQ﹣∠PHB＝90°﹣∠MPQ﹣ +∠MPQ＝90°﹣
； α
α
综上所述，∠PQH＝ 或90°﹣ ．
α α
