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第十七章 勾股定理 章节测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．（2023秋•高邮市期末）下列各组数中是勾股数的是
A． ， ， B．1，2，3 C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，41
【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．
【解答】解： 、 ， ， 不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
、 ， ，2，3不是勾股数，不符合题意；
、0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数，不符合题意；
、 ， 、40、41是勾股数，符合题意．
故选： ．
【点评】此题考查了勾股数，关键是掌握满足 的三个正整数，称为勾股数．
2．（22-23八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在 中， ，分别以 ， ， 为
边在三角形外部作正方形，若以 和 为边的正方形面积分别为5和3，则以 为边的正方形面积s
的值为（ ）A．64 B．8 C．2 D．34
【答案】B
【分析】本题考查了与勾股定理相关的图形面积问题，掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求得
的长度，即可求得正方形面积S．
【详解】解：由题意得 ，
，
故选：B．
3．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾
股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算
经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（
）
A． B． C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据面积公式，逐项推理论证判断即可．【详解】解：A．大正方形面积为： ，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：
，∴ ，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B．梯形的面积为： ，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组
成，则其面积为： ，∴ ，可以证明勾股定理，故本选项
不符合题意；
C．大正方形的面积为： ，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：
，∴ ，∴ 故本选项不符合题意；
D．大正方形的边长无法确定，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（22-23八年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在四边形 中， ， ，
，且 ，则四边形 的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，在 中得到 的值，然后再根据： ，可得 是直角三角
形，最后求得 和 的面积和就是所求四边形的面积．
【详解】解：连接 ，∵ ， ，
在 中， ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
在 中有： ，
∴ 是直角三角形， ，
∴四边形 的面积
，
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角
形，使面积的求解过程变得简单．
5．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图， ，点A在点O的北偏西40°方向，则点
B在点O的（ ）
A．北偏东40° B．北偏东50° C．东偏北60° D．东偏北70°
【答案】B
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，求出 ，然后再求出40°的余角即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
由题意得： ，
∴点B在点O的北偏东50°方向，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理，与方向角有关的计算．解题的关键是利用勾股定理逆定理得到
．
6．（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，湖的两岸有 两点，在与 成直角的 方向上的点 处
测得 米， 米，则 两点间的距离为（ ）
A．40米 B．30米 C．50米 D． 米
【答案】A
【分析】根据勾股定理直接求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，在 中， ，
米， 米，
两点间的距离为 （米），
故选：A．
【点睛】本题考查利用勾股定理解实际应用题，数形结合是解决问的关键．
7．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）如图， 为等腰直角三角形， ，以斜边 为直角边作
等腰直角三角形 ，再以 为直角边作等腰直角三角形 ， ，按此规律作下去，则 的长度
为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查等腰直角三角形性质、勾股定理、以及根据图形找规律，利用等腰直角三角形性质和勾
股定理得出 、 、 ， 根据其体现出来的规律，表示出 ，即可解题．
【详解】解： 为等腰直角三角形， ，
，
，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
的长度为 ，
故选：B．
8．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，在 的正方形网格中，以 为边画直角 ，使点C在
格点上，满足这样条件的点C的个数是（ ）A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据题意，根据格点作图方法以及勾股定理逆定理进行分类讨论①当 时，②当
时，③当 时，即可进行解答．
【详解】解：①当 时，如图，可作出2个点C，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形；
②当 时，如图，可作出4个点C，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形；③当 ，如图，可作出2个点C，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形；
综上∶以 为边画直角 ，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，格点作图，勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握格点作
图方法和勾股定理定理，解题时要注意找出所有符合条件的点．
9．（22-23八年级下·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中， ， ，以点 为圆心，
为半径画圆，交 轴于点 ， ，记点 ， 之间距离为 ，则数 的大小在哪两个相邻整数之间（
）
A． 与 之间 B． 与 之间 C． 与 之间 D． 与 之间【答案】C
【分析】结合已知条件求得 ， 的长度，然后利用勾股定理求得 的长度，继而求得 的长度，
然后估算出它在哪两个连续整数之间即可．
【详解】解：由题意可得 ， ， ，
则 ，
那么 ，
∵ ， ，
∴ ，
即数d的大小在7与8之间，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的估算，直角坐标系及勾股定理，结合已知条件求得CD的长度是解题的关键．
10．（22-23八年级下·山西阳泉·期中）如图，有一只喜鹊在一棵 高的小树 上觅食，它的巢筑在与该
树水平距离（ ）为 的一棵 高的大树 上，喜鹊的巢位于树顶下方 的 处，当它听到巢中幼
鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为 ，那么它要飞回巢中所需的时间至少是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过 作 于 ，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案．
【详解】解：过 作 于 ，如图所示：由题意可知， ，
根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为 ，由勾股定理可得
，
它要飞回巢中所需的时间至少是 （ ），
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的
关键．
第Ⅱ卷
二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．（22-23八年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角
形，其中 ， ， ， ，则 ．
【答案】9
【分析】根据勾股定理得到 ， 的值，即可得到答案，
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：9；【点睛】本题考查勾股定理应用，解题的关键是熟练掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方．
12．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2
的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查勾股定理，在数轴上表示无理数．
根据勾股定理可求得正方形对角线的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点A表示的数即可．
【详解】解：由勾股定理得：
正方形的对角线为 ，
设点A表示的数为x，
则 ，
∵ ，
∴ ，
即点A表示的数是 ．
故答案为： ．
13．（22-23八年级下·河南驻马店·期中）如图，一只蚂蚁从长、宽、高分别为9cm，7cm，5cm的长方体
纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是 cm．【答案】15
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可分展开前面和右面，展开
前面和上面，展开左面和上面三种情况进行分类求解即可
【详解】解：当展开前面和右面时，最短路线长 ；
当展开前面和上面时，最短路线长 ；
当展开左面和上面时，最短路线长 ，
∵ ，
∴它所走的最短路线的长是15cm，
故答案为：15．
14．（22-23八年级下·广东珠海·期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如
图，入校学生要求沿着直线 单向单排通过校门口，测温仪C与直线 的距离为 ，已知测温仪的有
效测温距离为 ，则学生沿直线 行走时测温的区域长度为
【答案】 /8米
【分析】设有效测温距离为 的长，连接 、 ，推理出 ，过点 作 于 ，易
知 ，然后在分别求出 、 的长，进而可得 的长．
【详解】解：设有效测温距离为 的长，连接 、 ，过点 作 于 ，
∵测温仪的有效测温距离为 ，
∴ ，
又测温仪 与直线 的距离为 ，
在 中，据勾股定理得：，
同理得 ，
∴ ，
即学生沿直线 行走时测温的区域长度为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际
问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想
的应用．
15．（22-23八年级下·湖北咸宁·阶段练习）如图，数轴上点 表示的数为 ，则 的值是 ．
【答案】 /
【分析】根据勾股定理以及数轴上的点表示的数是解决本题的关键．
【详解】解：由题意得， ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查勾股定理、数轴上的点表示实数，熟练掌握勾股定理以及数轴上的点表示的数是解
决本题的关键．
16．（23-24八年级下·北京西城·开学考试）直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边上的高为
．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形面积公式，根据勾股定理得出斜边长为 ，再根据面积相等，
即可得出斜边上的高．
【详解】解：根据勾股定理可得：斜边长为 ，
根据面积相等，设斜边上的高为 ，则 ，解得： ，
故答案为： ．
17．（21-22八年级下·陕西安康·期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有标号为①、②、
③的三个三角形(顶点均在格点上)，其中是直角三角形，且边长符合勾股数的有 个．
【答案】0
【分析】根据满足 的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【详解】解：由勾股定理可得：
图③中的各边分别为 ，不是正整数，不符合勾股数；
图②中的各边分别为2、2、 ，不是正整数，不符合勾股数；
图①中的各边分别为 ，不是正整数，不符合勾股数；
故答案为：0．
【点睛】此题考查勾股定理和勾股数的概念，关键是根据勾股定理得出各边数值解答．
18．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在垂直于地面的墙上离地面 的 点斜放一个长 的梯
子，由于摆放不小心，梯子在墙上下滑 ，则梯子在地面上滑出的距离 的长度是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，如果直角三角形两直角边分别为 ， ，斜边为 ，那么
；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，首先在 中利用勾股定理计算出
的长，在 中利用勾股定理求出 的长，根据 即可得到答案，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键．
【详解】解：设垂直于地面的位置为 点，如图所示：
由题意得： ， ， ，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
故答案为： ．
三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分）
19．（22-23八年级下·湖南湘西·期中）如图，在 中， ， ， ， ；
斜边上的高 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】根据面积法得到 ，变形得到 ，则 ，再根据勾股定理得出 ，
代入化简即可．
【详解】解：证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，分式的基本性质，解题的关键是利用面积法得出 ．
20．（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在 中， 于点 ， ，
．
(1)求 的长；
(2)求证： 是直角三角形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确应用勾股定理是解题关键．
（ ）利用勾股定理求出 的长，再利用勾股定理求出 的长即可；
（ ）根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，在 中， ，
在 中， ；
（2）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
21．（22-23八年级下·广西钦州·阶段练习）如图，某社区要在 所在的直线上建一图书室，点 和点
为社区附近的两所学校，作 于点 ， 于点 ，已知 ， ，
．
(1)尺规作图：要求图书室 到两所学校的距离相等，请在图中作出点 ；
(2)在（1）的条件下，求 的距离．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）作出线段 的垂直平分线，与线段 的交点即为所求点 ；（2）利用 ，结合
勾股定理建立等量关系即可求解．
【详解】（1）解：作图如下，点E为所求；
（2）解：连接EC，ED，设 ，则 ．
∵ ， ，
又∵ ，∴ ．
∴ ．
解得 ．即 的距离为 ．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的尺规作图及性质，勾股定理等知识点．掌握相关结论是解题关键．
22．（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图， 中， ， 为 中点，点 在
边上（点 不与点 ， 重合），连接 ，过点 作 交 于点 ，连接 ．
(1)求证：
(2)若 ， ， ，直接写出线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长 至 使 ，连接 ，证明 ，从而得 ， ，
由 得 为 中垂线，故 ，在 中根据勾股定理即可的结论；
（2）结合（1）中的结论可得 ， ，在 中利用勾股定理即可解决．
【详解】（1）证明：作 ， 交 延长线于 ，连接，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
（2）解：设 ，
， ， ，
则 ，
，
，
，即： ，
由（1）知： ， ， ，
， ，
，
，
即： ，
解得： ，
即： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质，其中倍长中线是解决问题的关键．
23．（22-23八年级下·河南商丘·期末）在王屋山景区附近的公路旁有一块山地正在开发，现有一 处需要
爆破，已知点 与公路上的停靠站 的距离为150米，与公路上的另一停靠站 的距离为200米，且
，如图所示．为了安全起见，爆破时点 周围半径125米范围内不得进入，则在进行爆破时，公
路 段是否需要暂时封锁？请说明理由．
【答案】需要暂时封锁，见解析
【分析】本题需要判断点C到 的距离是否小于125米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过
C作 于D，然后根据勾股定理在直角 中即可求出 的长度，然后利用三角形的公式即可
求出 ，然后和125米比较大小即可判断需要暂时封锁．
【详解】解：需要暂时封锁
理由如下：如图，过点C作 于点D．∵ 米， 米， ，
在 中， ，
∴ （米）．
∵ ，
∴ （米）．
∵ ，
∴在进行爆破时，公路 段需要暂时封锁．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
24．（21-22八年级下·福建厦门·期末）如图，在港口A的正东3海里有一艘搜救艇B，正南4海里有一艘
搜救艇D，东偏南方向有一艘轮船C．
(1)若B与C的距离为12海里，D与C的距离为13海里，求点D到直线BC的距离；
(2)当轮船C航行到点D的正东方向时，恰好在点B的东南方向．此时，轮船由于机械故障无法前行，只好
请求救援．若两艘搜救艇速度一样，救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援能更快到达轮船出事点？
【答案】(1)点D到直线BC的距离为BD的长度，即5海里
(2)派遣轮船B前往救援能更快到达轮船出事点
【分析】（1）先由勾股定理可得BD=5，再由勾股定理逆定理可得 BDC是直角三角形，知∠CBD=90°，
则点D到直线BC的距离是5海里； △
（2）正确画图，计算CD和BC的长，哪条路程小，就用哪个搜救艇．
【详解】（1）解∶如图，连接BD，依题意可得，AD⊥AB，
根据勾股定理可得∶BD＝ ．.
∵BD＝5，BC＝12，DC＝13，
根据勾股定理的逆定理可得∶BD2＋BC2＝CD2，
∴BD⊥BC，.
∴点D到直线BC的距离为BD的长度，即5海里．
（2）解：如图，过点B作BE⊥CD于点E．
依题意可得，四边形ABED是矩形，故BE＝4，DE＝3．
∵点C在点B的东南方向，
∴∠CBE＝45°，
又∵BE⊥CD，∠BEC＝90°，
∴∠BCE＝45°，
∴BE＝EC＝4，
∴DC＝DE＋EC＝7．
∵BE⊥CD，根据勾股定理可得∶BC＝ ．
∵ ≈1.414，
∴4 ≈5.656＜7．
当两艘搜救艇速度一样时，派遣轮船B前往救援能更快到达轮船出事点．【点睛】本题考查的是勾股定理及方向角，掌握勾股定理、方向角的概念是解题的关键．
25．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，是边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶
点叫做格点．
(1)直接写出 的形状；
(2)仅用无刻度的直尺画图（画图结果用实线，画图过程用虚线）；
①在图（1）中的 上画点D，连接 ，使 ；
②在图（1）中的 上画点E，连接 ，使 ；
③在图（2）中的 上画点G，使 ．
【答案】(1)直角三角形
(2)①见解析；②见解析；③见解析
【分析】本题为格点作图题，考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质等知识，利用数形结合的
思想是解题关键．
（1）根据勾股定理及其逆定理求解判断即可；
（2）①作线段 的垂直平分线交 于点D，点D即为所求；
②设 的垂直平分线交 于点R，在 或 上，截取 或 ，连接 ， 即可；
③取格点T，连接 交 于点G，点G即为所求．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形；（2）解：①如图，点D即为所求；
②如图，点E或点 ，即为所求；
③如图，点G即为所求．
26．（21-22八年级下·广东广州·期中）七年级松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图所示的风
筝的高度 ，测得如下数据：
①测得 的长度为8米：（注： ）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米．(1)求风筝的高度 ；
(2)若松松同学想风筝沿 方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)风筝的高度 为16.6米
(2)他应该往回收线7米
【分析】（1）利用勾股定理求出 的长，再加上 的长度，即可求出 的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）在 中，
由勾股定理得， ，
所以， （负值舍去），
所以， 米，
答：风筝的高度 为16.6米；
（2）如图，
由题意得， ，
，，
，
他应该往回收线7米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
