专题 16.7 二次根式章末八大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
【题型1 二次根式双重非负性的运用】..................................................................................................................1
【题型2 复合二次根式的化简】..............................................................................................................................1
【题型3 二次根式的运算与求值技巧】..................................................................................................................3
【题型4 二次根式中的新定义问题】......................................................................................................................3
【题型5 利用分母有理化求值】..............................................................................................................................4
【题型6 二次根式中的阅读理解类问题】..............................................................................................................6
【题型7 二次根式的规律探究】..............................................................................................................................8
【题型8 二次根式的实际应用】..............................................................................................................................9
【题型1 二次根式双重非负性的运用】
【例1】（2023春·天津和平·八年级耀华中学校考期中）若实数a，b，c满足关系式
√a-199+√199-a=√2a+b-c+√b-6，则c＝ ．
【变式1-1】（2023春·全国·八年级期中）已知实数x，y，a，b满足
√3x- y-7+√x-2y-4=√a+b-2022×√2022-a-b．求a+b的值及7x- y2023的值．
【变式1-2】（2023春·湖北恩施·八年级校联考阶段练习）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：
，则 的值是（ ）
√x3 (y-x) 3+√x3 (z-x) 3=√y-x-√x-z x3+ y3+z3﹣3xyz
A．0 B．1 C．3 D．条件不足，无法计算
【变式1-3】（2023秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）已知m,x,y是两两不相等的实数，
且满足 ，则3x2+xy- y2的值为 ．
√m(x-m)+√m(y-m)=√x-m-√m- y
x2-xy+5 y2
【题型2 复合二次根式的化简】
【例2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）像√4-2√3，√√48-√45…这样的根式叫做复合二
次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：＝ ＝ ＝ ＝ ．
√4-2√3 √3-2√3+1 √ (√3) 2-2×√3×1+12 √ (√3-1) 2 √3-1
再如：
√5+2√6=√3+2√6+2=√ (√3) 2+2√3×√2+(√2) 2 =√ (√3+√2) 2= √3 +√2
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：√12+2√35；
(2)化简：√17-4√15；
(3)若 ，且a，m，n为正整数，求a的值．
a+6√5=(m+√5n) 2
【变式2-1】（2023秋·上海·八年级期中）当 时， √x-2√3 √x+2√3 的值为（ ）
x=4 -
√x2-4√3x+12 √x2+4√3x+12
A．1 B．√3 C．2 D．3
【变式2-2】（2023春·广东韶关·八年级校考期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的
式子可以写成另一个式子的平方，如 ，善于思考的小明进行了以下探索：
3+2√2=(1+√2) 2
设 （其中a、b、m、n均为正整数），则有 ，
a+√2b=(m+√2n) 2 a+√2b=m2+2√2mn+2n2
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分a+√2b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝
a+√6b=(m+√6n) 2
，b＝ ；
（2）若 ，且a、m、n均为正整数，求a的值；
a+4√3=(m+√3n) 2
（3）化简： ．
√7-√21+√80
【变式2-3】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以
写成另一个式子的平方，
如： ，善于思考的康康进行了以下探索：
3+2√2=(1+√2) 2
设 （其中 、 、m、n均为正整数），
a+b√2=(m+n√2) 2 a b则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2（有理数和无理数分别对应相等），
∴a=m2+2n2，b=2mn，这样康康就找到了一种把式子a+b√2化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示a、b，得：
a+b√3=(c+d√3) 2 c d a=
________，b=________；
(2)若 ，且 、 均为正整数，试化简： ；
7-4√3=(e-f √3) 2 e f 7-4√3
(3)化简： ．
√7+√21-√80
【题型3 二次根式的运算与求值技巧】
1√ 1 1
【例3】（2023·八年级单元测试）若a= √2+ - √2，求a2+√a4+a+1的值.
2 8 8
【变式3-1】（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）若实数x，y满足（x﹣ ）（y﹣
√x2-2016
）＝2016．
√y2-2016
（1）求x，y之间的数量关系；
（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．
【变式3-2】（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）若x，y是实数，且y＝
1 2
√4x-1+√1-4x+ ，求（ x√9x+√4xy）﹣（√x3+√25xy）的值．
3 3
1+√1994
【变式3-3】（2023春·浙江·八年级专题练习）当x= 时，多项式(4x3-1997x-1994) 2019的值
2
为( ).
A．1 B．-1 C．22002 D．-22001
【题型4 二次根式中的新定义问题】
【例4】（2023春·重庆江津·八年级校联考期中）对于任意非负数m、n，若定义新运算：m∯n=¿，在下
1 1 1
列说法中：①27∯12=√3；② + +⋯+ =2023∯1；③
1∯2 2∯3 2022∯2023
；④若 ，则 的取值范围为 ，其中正确的有
(x∯y)(y∯x)=|x- y| x2 ∯(x2-4x+4)=2 x 0≤x≤1（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4-1】（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值
记为f (x)，
z
1 1
即：当n为非负整数时，如果n- ≤x<n+ ，则f (x)=n．
2 2 z
如： ， ， ，
f (0)=f (0.48)=0 f (0.64)=f (1.49)=1 f (4)=f (3.68)=4 ⋯
z z z z z z
试解决下列问题：
① ；② ；
f (√3)= f (√32+3)=
z z
1 1 1
③ + + +⋯
f (√12+1)⋅f (√22+2) f (√22+2)⋅f (√32+3) f (√32+3)⋅f (√42+4)
z z z z z z
1
+ = ．
f (√20172+2017)⋅f (√20182+2018)
z z
【变式4-2】（2023春·八年级单元测试）将n个0或 排列在一起组成一个数组，记为 ，
√2 A=(t ,t ,⋯,t )
1 2 n
其中 ， ，…， 取0或 ，称A是一个n元完美数组（ 且n为整数）．例如： ， 都
t t t √2 n≥2 (0,√2) (√2,√2)
1 2 n
是2元完美数组， ， 都是4元完美数组．
(√2,0,0,0) (√2,0,0,√2)
定义以下两个新运算：
新运算1：对于x* y=(x+ y)-|x- y|，
新运算2：对于任意两个n元完美数组 和 ，
M=(x ,x ,⋯,x ) N=(y ,y ,⋯,y )
1 2 n 1 2 n
1
M⊕N= (x * y +x * y +⋯+x * y )．例如：对于3元完美数组
2 1 1 2 2 n n
1
M=(√2,√2,√2)和N=(0,0,√2)，有M⊕N= ×(0+0+2√2)=√2．
2
(1)①在 ， ， 中是2元完美数组的有______；
(√3,√2) (√2,0) (√2,√2,0)
②设 ， ，则 ______；
A=(√2,0,√2) B=(√2,0,0) A⊕B=(2)已知完美数组 ，求出所有4元完美数组N，使得 ；
M=(√2,√2,√2,0) M⊕N=2√2
(3)现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D满足C⊕D=0，
则m的最大可能值是______．
【变式4-3】（2023春·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期中）定义：我们将 与
(√a+√b) (√a-√b)
称为一对“对偶式”．因为
，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”
(√a+√b)(√a-√b)=(√a) 2-(√b) 2=a-b
来解决．
例如：已知√18-x-√11-x=1，求√18-x+√11-x的值，可以这样解答：
因为 ，
(√18-x-√11-x)×(√18-x+√11-x)=(√18-x) 2-(√11-x) 2=18-x-11+x=7
所以√18-x+√11-x=7．
(1)已知：√20-x+√4-x=8，求：
①√20-x-√4-x=________；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：√20-x+√4-x=8；
(2)代数式√10-x+√x-2中x的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________；
1 1 1 1
(3)计算： + + +⋯+ ．
3√1+√3 5√3+3√5 7√5+5√7 2023√2021+2021√2023
【题型5 利用分母有理化求值】
【例5】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）阅读下列材料，然后回答问题．
2
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，可以将其进一步化简：
√3+1
2 2(√3-1) 2(√3-1) 2(√3-1) 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
= = = =√3-1
√3+1 (√3+1)(√3-1) (√3) 2-1 2
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
1 1 1 1
(1)计算： + + +⋯+ ．
√3+1 √5+√3 √7+√5 √2019+√2017
√m+1-√m √m+1+√m
(2)已知m是正整数，a= ，b= ，a+b+3ab=2021，求m．
√m+1+√m √m+1-√m
(3)已知 ，则 的值为?
√15+x2-√26-x2=1 √15+x2+√26-x2【变式5-1】（2023秋·山西临汾·八年级校联考期末）阅读下列解题过程：
1 1×(√5-√4) √5-√4
= = =√5-√4
√5+√4 (√5+√4)(√5-√4) (√5) 2-(√4) 2
1 1×(√6-√5) √6-√5
= = =√6-√5
√6+√5 (√6+√5)(√6-√5) (√6) 2-(√5) 2
请回答下列问题：
1
（1）观察上面的解答过程，请写出 =______；
√n+1+√n
1 1 1 1 1
（2）利用上面的解法，请化简： + + +⋅⋅⋅+ +
1+√2 √2+√3 √3+√4 √2019+√2020 √2020+√2021
（3）√12-√11和√13-√12的值哪个较大，请说明理由．
【变式5-2】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）（1）观察下列各式的特点：
√2-1>√3-√2，
√3-√2>2-√3，
2-√3>√5-2，
√5-2>√6-√5，
…
根据以上规律可知：√2021-√2020______√2022-√2021（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
1 √2-1
= =√2-1，
√2+1 (√2+1)(√2-1)
1 √3-√2
= =√3-√2，
√3+√2 (√3+√2)(√3-√2)
1 √4-√3
= ＝√4-√3，
√4+√3 (√4+√3)(√4-√3)
…
1
根据观察，请写出式子 （n≥2，且n是正整数）的化简过程．
√n+√n-1
1 1 1 1
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：| - |+| - |+|
√2+1 √3+√2 √3+√2 √4+√3
1 1 1 1
- |+•••+| - |．
√4+√3 √5+√4 √100+√99 √101+√100【变式5-3】（2023春·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
(√7-√6)(√7+√6) 1 ，
√7-√6= =
√7+√6 √7+√6
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较√7-√6和√6-√5的大小．可以先将它们分子有理化如下：
1 1
√7-√6= ， √6-√5= ，
√7+√6 √6+√5
因为√7+√6>√6+√5，所以√7-√6<√6-√5．
再例如：求y=√x+2-√x-2的最大值．做法如下：
4
解：由x+2≥0,x-2≥0可知x≥2，而y=√x+2-√x-2= ，
√x+2+√x-2
当x=2时，分母√x+2+√x-2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较3√2-4和2√3-√10的大小；
（2）求y=√1-x+√1+x-√x的最大值和最小值．
【题型6 二次根式中的阅读理解类问题】
a+b
【例6】（2023春·湖北随州·八年级统考期末）阅读材料：基本不等式√ab≤ (a>0，b>0)当且仅当
2
a+b
a=b时，等号成立，其中我们把 叫做正数a，b的算术平均数，√ab叫做正数a，b的几何平均数，它
2
1
是解决最大（小）值问题的有力工具，例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+ 有最小值？最小值
x
是多少？
1
1 x+ √ 1 1 1 1
解：∵x＞0， ＞0，∴ x ≥ x· ，∴x+ ≥2，当且仅当x＝ 时，即x=1时，有x+ 有最小值为
x x x x x
2
2．
请根据阅读材料解答下列问题：
4
（1）填空：当x>0时，设y=x+ ，则当且仅当x=____时，y有最____值为_______；
x1
（2）若x＞0，函数y=2x+ ，当x为何值时，函数有最值？并求出其最值．
x
【变式6-1】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，
a
通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当a,b都是正数时，①若 >1，则a>b；
b
a a
②若 =1，则a=b；③ <1，则a<b．
b b
我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”．
(1)请用上述方法比较5√7与7√5的大小；
√a+1 √a+2
(2)写出 与 （a为正整数）的大小关系，并证明你的结论．
√a+2 √a+3
【变式6-2】（2023秋·陕西榆林·八年级统考期中）阅读并回答下面问题：
计算： ．
(√2+√3+1) 2+(√2-√3-1) 2
设x=√2+√3，y=√2-√3．
原式
=(x+1) 2+(y-1) 2
=(x2+2x+1)+(y2-2y+1)
=x2+ y2+2(x- y)+2．
因为x=√2+√3，y=√2-√3，
所以x2+ y2=10，x- y=2√3．
原式=10+2×2√3+2=12+4√3．
(1)填空：① __________；
(√3+√5)(√3-√5)=
② __________．
(√3+√5) 2+(√3-√5) 2=
(2)请仿照上面的方法计算： ．
(√3+√5+2) 2+(√3-√5-2) 2
【变式6-3】（2023春·贵州遵义·八年级统考期末）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有
用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为
显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条
件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简： ．
(√1-3x) 2-|1-x|
1
解：隐含条件1-3x≥0,，解得x≤ ，
3
∴1-x>0，
∴原式=1-3x-(1-x)=1-3x-1+x=-2x．
(1)试化简： ；
√(x-3) 2-(√2-x) 2
(2)已知a、b满足 ，求 的值．
√(2-a) 2=a+3,√a-b+1=a-b+1 ab
【题型7 二次根式的规律探究】
【例7】（2023春·安徽滁州·八年级校联考期末）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
① ；② ；③ ；④ __________；…
√13=1 √13+23=3 √13+23+33=6 √13+23+33+43=
（2）深入探究，观察下列等式：
(1+2)×2 (1+3)×3 (1+4)×4
①1+2= ；②1+2+3= ；③1+2+3+4= ；…
2 2 2
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
1+2+3+⋯+n+(n+1)=__________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
① ；
√13+23+33+…+993+1003
②113+123+133+…+193+203．
【变式7-1】（2023春·湖北随州·八年级统考期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（
）．A． B． C． D．
√n2-1 √n2-2 √n2-3 √n2-4
【变式7-2】（2023春·湖北随州·八年级统考期末）观察下列各式：
√ 1 1 =1+ 1 ，√ 1 1 =1+ 1 ，√ 1 1 =1+ 1 ，……
1+ + 1+ + 1+ +
12 22 1×2 22 32 2×3 32 42 3×4
请利用你所发现的规律，
计算√ 1 1 +√ 1 1 +√ 1 1 +…+√ 1 1 ，其结果为 ．
1+ + 1+ + 1+ + 1+ +
12 22 22 32 32 42 20202 20212
√ 2 √2 √ 3 √3
【变式7-3】（2023春·广西南宁·八年级南宁二中校联考期末）已知： 2 =2 ； 3 =3 ；
3 3 8 8
√ 4 √ 4 √ 5 √ 5
4 =4 ； 5 =5 ……按此规律，请表示出第2021个式子 ．
15 15 24 24
【题型8 二次根式的实际应用】
【例8】（2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）我国南宋时期数
学家泰九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，
a+b+c
即三角形的三边长分别为a，b，c，记p= ，则其面积√p(p-a)(p-b)(p-c)．这个公式也被称为
2
海伦-秦九韶公式．
(1)当三角形的三边a=3，b=5，c=6时，请你利用公式计算出三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长依次为√5、√6，√7，请求出三角形的面积；
(3)若p=8，a=4，求此时三角形面积的最大值．
【变式8-1】（2023春·陕西安康·八年级统考阶段练习）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长
BC为√72米，宽AB为√32米，现要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部
分），每个长方形花坛的长为 米，宽为 米．
(√8+1) (√8-1)
(1)求长方形ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通
道，则购买地砖需要花费多少元？
【变式8-2】（2023秋·四川资阳·八年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而
55 6
只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知 =7 ，
7 7
6
但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是7 的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际
7
问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取
出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为[x]．这里[x]=x-a，[x]+a=x，
其中 是一个整数， ，a称为实数x的小数部分，记作 ，所以有 ．例如，
[x] 0≤a<1 {Z } x=[x]+{Z }
x x
[-14.3]=-15，{Z }=0.45．
2.45
关于取整运算有部分性质如下：
①x-1<[x]⩽x
②若n为整数，则[x+n]=[x]+n
请根据以上材料，解决问题：
(1)[√10]=___________；若m=[-π]，n={Z }，则m2+mn=___________；
-π
1 1 1 1
(2)记M= + + +⋯+ ，求[M]；
√2+1 √3+√2 2+√3 √2022+√2021
3x+4 6x-7
(3)解方程：[ ]= ．
9 3
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁，乙容器中装有浓度为b的果
汁，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，
两容器内的果汁浓度相同，则m的值为 ．
