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专题 12.7 全等三角形章末八大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
【题型1 由全等三角形的判定与性质求最值】.....................................................................................................1
【题型2 由全等三角形的判定与性质探究线段的和差关系】.............................................................................2
【题型3 由全等三角形的判定与性质求面积】.....................................................................................................4
【题型4 尺规作图与全等三角形的综合】..............................................................................................................5
【题型5 三角形的三边关系与全等三角形的综合】.............................................................................................8
【题型6 全等三角形的动态问题】........................................................................................................................10
【题型7 全等三角形与坐标系的综合运用】.......................................................................................................12
【题型8 全等三角形中的多结论问题】................................................................................................................14
【题型1 由全等三角形的判定与性质求最值】
【例1】（2023春·北京朝阳·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E为
AB边上的两个动点，且AD=BE，连接CD，CE，若AC=2，则CD+CE的最小值为 ．
【变式1-1】（2023春·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，M为BC的中点，H为AB上
一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC=8，AB=6，则四边形ACGH周长的最小值
是 ．
【变式1-2】（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，BD平分∠ABC．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 ．
【变式1-3】（2023春·八年级课时练习）如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
AB=5，AD平分∠BAC，N是AC上一动点（不与A,C重合），M是AD上一动点（不与A,D重合），
则CM+MN的最小值为 ．
【题型2 由全等三角形的判定与性质探究线段的和差关系】
【例2】（2023春·河南郑州·七年级统考期末）回答问题
（1）【初步探索】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD
上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系，小王同学探究此问题
的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，
可得出结论，他的结论是 ；
（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD
上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）【拓展延伸】已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD，若点E在CB的延长线
上，点F在CD的延长线上，如图3，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
【变式2-1】（2023春·上海·七年级期末）已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线
BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F．(1)如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由．
(2)如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说
明理由．
(3)当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接
写出线段BD，CF之间的数量关系．
【变式2-2】（2023春·陕西西安·八年级西安益新中学校考阶段练习）（1）某学习小组在探究三角形全等
时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经
过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在
△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任
意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边
AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是
EG的中点．
【变式2-3】（2023春·上海静安·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=10.5°，AD是∠BAC
的平分线，过点A作DA的垂线交BC延长线于点M，若BM=BA+AC，则∠ABC的度数是【题型3 由全等三角形的判定与性质求面积】
【例3】（2023春·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，BC=10，AC-AB=5，AD是
∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S 的最大值为 ．
△BDC
【变式3-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD，连接AC、BD，
∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，若AD=5，则△ABD的面积等于 ．
【变式3-2】（2023春·江苏南京·八年级南京市科利华中学校考期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为S 、S 、
1 2
S 、S ，若S +S +S =12，则S = ．
3 4 1 2 3 4【变式3-3】（2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，
D为射线CB上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．连接BE交直线AC于M，
若 ，则S 的值为 ．
2AC=7CM △ADB
S
△AEM
【题型4 尺规作图与全等三角形的综合】
【例4】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC
（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半
径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的
度数为 ．
【变式4-1】（2023·全国·八年级专题练习）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它
们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两
边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的
角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，
DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）．
(1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）：
①画EF=BC；②在线段EF的上方画∠F=∠C；
③画DE=AB；
④顺次连接相应顶点得所求三角形．
(2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与
△ABC明显不全等；
(3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______．
【变式4-2】（2023春·山西·八年级统考阶段练习）综合与实践：在综合实践课上，老师让同学们在已知三
角形的基础上，经过画图，探究三角形边之间存在的关系．如图，已知点D在ΔABC的边BC的延长线上，
过点D作∠BDM=∠B且DM//AB，在DM上截取DE=AB，再作∠DEF=∠A交线段BC于点F．
实践操作
（1）尺规作图：作出符合上述条件的图形；
探究发现
（2）勤奋小组在作出图形后，发现AC//EF，AC=EF，请说明理由；
探究应用
（3）缜密小组在勤奋小组探究的基础上，测得DF=5，CF=1，求线段BD的长．
【变式4-3】（2023春·北京·八年级校考期中）尺规作图之旅
下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造
出许多带有美感的图形．尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．
【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔
细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的 画×．
（1）过一点作一条直线．( )
（2）过两点作一条直线．( )
（3）画一条长为3㎝的线段．( )
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．( )
【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，
我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的
背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．
已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'使∠A'O'B'=∠AOB
作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O' A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O' A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，____________________；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB．
说理：由作法得已知：OC=O'C',OD=O'D',CD=C'D'
求证：∠A'O'B'=∠AOB
证明：∵¿
∴ΔOCD≅ΔO'C'D'( )
所以∠A'O'B'=∠AOB( )【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l与直线外一点A．
求作：过点A的直线l'，使得l//l'．
【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥
有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的
设计意图．
【题型5 三角形的三边关系与全等三角形的综合】
【例5】（2023春·广东广州·八年级统考期中）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，过点A作
AE⊥AB．连接BE，CE，M为平面内一动点．
(1)如图1，若BC＝4，则S ＝ ．
△EBC(2)如图2，点M在BE上，且CM⊥BE于M，过点A作AF⊥BE于F，D为AC中点，连接FD并延长，
交CM于点H．求证：MF＝MH；
(3)如图3，连接BM，EM，过点B作BM'⊥BM于点B，且满足BM'＝BM，连接AM'，MM'，过
点B作BG⊥CE于点G，若S ＝18，EM＝3，BG＝4，求线段AM'的长度的取值范围．
△ABC
【变式5-1】（2023春·四川乐山·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BC=12，AD平分∠BAC，点E
为AC中点，AD与BE相交于点F．
(1)若∠ABC=40°，∠C=80°，求∠ADB的度数；
(2)如图1，若AB=10，求线段BE的长的取值范围；
(3)如图2，过点B作BH⊥AD交AD延长线于点H，设△BFH，△AEF的面积分别为S ，S ，若
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AB-AC=4，试求S -S 的最大值．
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【变式5-2】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段AD，BC交于点E，连接AB，CD，判断AD+BC与AB+CD的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，在OA，OB上截取OE=OF，连接PE，PF．求证：
PE=PF；
(3)如图3，在△ABC中，AB>AC，P为角平分线AD上异于端点的一动点，求证：PB-PC>BD-CD．
【变式5-3】（2023春·湖南长沙·八年级统考期中）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:
在△ABC中，AB=7，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）:①延长AD到Q使得DQ=AD；
②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4
