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专题 19.3 一次函数的性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 确定一次函数经过的象限】......................................................................................................................1
【题型2 确定一次函数的增减性】..........................................................................................................................2
【题型3 由一次函数经过的象限求字母的取值范围】.........................................................................................2
【题型4 由一次函数的增减性求字母的取值范围】.............................................................................................3
【题型5 比较一次函数值的大小】..........................................................................................................................3
【题型6 一次函数中的对称性问题】......................................................................................................................4
【题型7 由两直线的位置关系求解析式】..............................................................................................................5
【题型8 两直线的相交问题】..................................................................................................................................7
【题型9 由一次函数解决最值问题】......................................................................................................................8
【题型10 一次函数与几何图形的综合运用】.........................................................................................................9
知识点1：一次函数的图象与性质
一次函数 y=kx+b（k、b是常数，k≠0 )
k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；
性质
k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；
（2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；
直线y=kx+b
（k≠0）的位置与
（3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限；
k、b符号之间的关
（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；
系.
（5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；
（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
【题型1 确定一次函数经过的象限】
a c
【例1】（24-25九年级·上海宝山·期中）如果ab<0，ac<0，则直线y=− x− 不经过（ ）
b b
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式1-1】（24-25九年级·浙江杭州·期中）一次函数y=(m+1)x−2m+3的图象一定经过第
象限．【变式1-2】（24-25九年级·河北唐山·期中）一次函数y=(k+1)x+3的图像经过点P，且k>−1，则点P
的坐标不可能为（ ）
A．(5,4) B．(−1,2) C．(−2,−2) D．(5,−1)
a a c
【变式1-3】（24-25九年级·四川达州·期中）如果 ab>0， <0 则直线y=− x+ 不经过第
c b b
象限；
【题型2 确定一次函数的增减性】
【例2】（24-25九年级·河北石家庄·期中）如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，
其中点A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数( )
A．当x<2时，y随x的增大而增大 B．当x<2时，y随x的增大而减小
C．当 时， 随 的增大而增大 D．当 时，y随x的增大而减小
x>2 x≥2
【变式2-1】（24-25九年级·吉林长春·期末）下列一次函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y=2x B．y=2x+1 C．y=x−4 D．y=−x+3
2 1
【变式2-2】（24-25九年级·安徽蚌埠·期末）在一次函数 y=− x+ 的图像上任取不同两点P (x ,y )
3 3 1 1 1
， ，则 y −y 的正负情况是（ ）
P (x ,y ) 2 1
2 2 2 x −x
2 1
A．y −y B．y −y C．y −y D．y −y
2 1<0 2 1>0 2 1≤0 2 1≥0
x −x x −x x −x x −x
2 1 2 1 2 1 2 1
【变式2-3】（2024·浙江杭州·一模）若 ， 分别是一次函数 图象上两个不相
A(x ,y ) B(x ,y ) y=−4x+5
1 1 2 2
同的点，记 ，则W 0．（请用“＞”，“＝”或“＜”填写）
W =(x −x )(y −y )
1 2 1 2
【题型3 由一次函数经过的象限求字母的取值范围】
【例3】（24-25九年级·宁夏银川·期中）如果直线y=(2−k)x+k不经过第二象限，那么k的取值范围是（ ）．
A．k≤0 B．k<2 C．0≤k<2 D．k<0
【变式3-1】（24-25九年级·河南驻马店·期中）已知点A(−1,2)、B(3,2)，若一次函数y=−x+b的图象
与线段AB有交点，则b的取值范围为 ．
【变式3-2】（2024九年级·全国·专题练习）平面直角坐标系中，过点(−2,3)的直线l经过一、二、三象
限，若点(0,a)，(−1,b)，(c,−1)都在直线l上，则下列判断正确的是（ ）
A．a0，对于任意的函数
值y，都满足−M≤ y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数
的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．若函数y=−x+1 (a≤x≤b，b>a)的边界值是
2，且这个函数的最大值也是2，则b的取值范围是 ．
【变式4-1】（2024·山东临沂·模拟预测）若一次函数y=(k−2)x−1的函数值y随x的增大而增大，则k
值可能是（ ）
5 3 1
A．1 B． C． D．−
2 2 2
【变式4-2】（2024·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当a≤x≤a+3（其中a为常数）时．函数
y=x−1的最小值为2a+4，则满足条件的a的值为（ ）
3
A．－5 B．－2 C．− D．－1
2
【变式4-3】（24-25九年级·福建福州·期末）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为
．在我的图象上有两点 ， 且 ， ，当
y=kx+b(k≠0) A(x ,y ) B(x ,y ) x ≠x m=(x −x )(y −y ) k>0
1 1 2 2 1 2 2 1 2 1时，m的取值范围是( )
A．m>0 B．m≥0 C．m=0 D．m<0
【题型5 比较一次函数值的大小】
【例5】（24-25九年级·山东聊城·期末）一次函数y=−x+b的图象上三个点的坐标分别为
( 1 )
− ,y ,(−1,y )，(2,y )，则y ,y ,y 的大小关系是（ ）
3 1 2 3 1 2 3
A．y ”“<”或“=”）
【变式5-3】（24-25九年级·福建厦门·期末）点M(a,2)、N(b,3)是一次函数y=2x−3图像上两点，则
a b（填“>”、“=”或”<”）．
【题型6 一次函数中的对称性问题】
【例6】（24-25九年级·陕西西安·开学考试）若直线 y=kx+2与直线 y=−3x+b关于直线 x=−1对
称，则 k、b值分别为（ ）
A．k=−3、b=−2 B．k=3、b=−2
C．k=3、b=−4 D．k=3、b=4
【变式6-1】（24-25九年级·福建宁德·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A(2,m)在第一象限，若
点A关于x轴的对称点B在直线y=−x+1上，则m的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【变式6-2】（24-25九年级·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，A(−3,0),B(1,4)，直线BC交x轴于(4,0)，过点A作AD∥BC交y轴于点D．
(1)求直线BC和直线AD的关系式；
(2)点M在直线AD上，且△ABM与△ABO的面积相等，求点M的坐标．
【变式6-3】（2024·江西南昌·一模）定义：若两个函数的图象关于直线y＝x对称，则称这两个函数互为
反函数．请写出函数y＝2x+1的反函数的解析式 ．
知识点2：两直线的位置关系
同一平面直角坐标系中两直线 ， 的位置关系：
的关系 与 的关系
与 相交
， 与 相交于y轴上的一点
， 与 平行
【题型7 由两直线的位置关系求解析式】
【例7】（24-25九年级·福建南平·期末）探究活动一：
如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，发现在直线AB上的三点A(1,3)，B(2,5)，
5−3 9−3
C(4,9)，有k = =2，k = =2，k =k ，兴趣小组提出猜想：若直线y=kx+b(k≠0)上任
AB 2−1 AC 4−1 AB AC
意两点 ， ，则 y −y 是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成
P(x ,y) Q(x ,y ) (x ≠x ) k = 2 1
1 2 2 1 2 PQ x −x
2 1立，k 是定值，并且是直线y=kx+b(k≠0)中的k，叫做这条直线的斜率．
PQ
（1）请你应用以上规律直接写出过S(−2,−2)，T(4,2)两点的直线ST的斜率k =______．
ST
探究活动二：
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相
垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．
（2）如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，且D(2,2)，E(1,4)，F(4,3)．请求出直线DE与直线DF的
斜率之积．并写出你发现的结论．
综合应用：
（3）如图3，M(1,2)，N(4,5)，请结合探究活动二的结论，求出过点N且与直线MN垂直的直线的解析
式．
【变式7-1】（24-25九年级·辽宁鞍山·阶段练习）函数y=kx+b(k≠0)的图象平行于直线y=3x+2，且交
y轴于点(0,−1)，则其函数表达式是 ．
1
【变式7-2】（2024·河北石家庄·一模）某个一次函数的图象与直线y= x+3平行，与x轴，y轴的交点分
2
别为A，B，并且过点(−2,−4)，则在线段AB上（包括点A，B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式7-3】（24-25九年级·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标
规律时，发现直线 上的任意三点 ， ， （ ），满足
y=kx+b A(x ,y ) B(x ,y ) C(x ,y ) x ≠x ≠x
1 1 2 2 3 3 1 2 3
y −y y −y ，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线 上任意
1 2= 1 3=k y=kx+b
x −x x −x
1 2 1 3
两点的坐标 ， ，（ ），都有y −y ．例如： ， 为直线
A(x ,y ) B(x ,y ) x ≠x 1 2=k P(1,3) Q(2,4) y=x+2
1 1 2 2 1 2 x −x
1 2
3−4
上两点，则k= =1．
1−2(1)已知直线y=kx+b经过A(2,3)，B(4,−2)两点，请直接写出k=______．
(2)如图，直线y ⊥y 于点A，直线y ，y 分别交y轴于B，C两点，A，B，C三点坐标如图所示．请用
1 2 1 2
上述方法求出k k 的值．
1 2
【题型8 两直线的相交问题】
【例8】（24-25九年级·四川自贡·阶段练习）已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图像经过点A(9,0)，且与正
比例函数y=−2x交于点B(3,m)，求点B 的坐标及一次函数的解析式．
【变式8-1】（24-25九年级·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线y =−2x+3和y =mx−1分别交y轴于点A
1 2
，B，两直线交于点C(1,n)．
（1）求m，n的值；
（2）求△ABC的面积．
2
【变式8-2】（24-25九年级·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=− x+2与x
1
3
轴、y轴分别相交于点A和点B，直线y=kx+b(k≠0)经过点C(1，0)且与线段AB交于点P，并把△ABO分
2
成两部分．
(1)求A、 B的坐标；
(2)求△ABO的面积；(3)若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式．
【变式8-3】（24-25九年级·安徽芜湖·阶段练习）如图，已知直线AB:y =kx+3分别与y轴，x轴交于A
1
，B两点，直线CD:y =ax+b分别与x轴，y轴交于点C(−6,0)，点D，两直线的交点M为(−4,−1)．
2
(1)求k，a，b的值．
(2)连接OM，试说明S +S =S ．（表示几何图形的面积）．
△BCM △AOB △DOM
1
(3)若x轴上存在点P，使得S = S （S表示几何图形的面积），求出此时点P的坐标．
三角形APM 2 三角形ADM
【题型9 由一次函数解决最值问题】
【例9】（24-25九年级·四川内江·期中）对于几个实数a、b、c，我们规定符号min{a,b,c}表示a、b、c
{ 1 4 )
中较小的数，如：min{2,−1,4}=−1．按照这个规定，已知函数：y=min x, x+1,− x+5 ，则y
3 5
的最大值是 ．
1
【变式9-1】（2024·四川南充·二模）如图，直线y=kx+3与直线y=− x交于点A(−2,1)，与y轴交于点
2
1
B，点M(m,y )在线段AB上，点N(1−m,y )在直线y=− x上，则y −y 的最小值为 ．
1 2 2 1 2【变式9-2】（24-25九年级·北京海淀·期中）在平面直角坐标系xoy中，已知点M(4,3)，N(−3,2)，
P(−2,−2)．
(1)若一次函数y=2x+b的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值；
1
(2)当k> 时，在图中用阴影表示直线y=kx+1运动的区域，并判断在点M，N，P中直线y=kx+1不可能
4
经过的点是 ．
【变式9-3】（24-25九年级·天津蓟州·期末）如图，直线l :y =x+1与x轴交于点A，直线l :y =kx+4与
1 1 2 2
x轴交于点B(4,0)，直线l 与直线l 相交于点M．
1 2
(1)求直线l 的解析式及点M的坐标；
2(2)点P是直线l 上的一点．
1
①当S =5时，求点P的坐标；
△ABP
②点Q是x轴上一动点，在①的条件下，当QP+QM取最小值时，直接写出点Q的坐标．
【题型10 一次函数与几何图形的综合运用】
【例10】（24-25九年级·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为
A(2,0)，B(0,4)，C(−3,2)．
(1)求三角形ABC的面积．
(2)若点 P 的坐标为(m，0)，
①请直接写出线段AP的长为 ；(用含m的式子表示)
②当 S =2S 时，求m的值．
△PAB △ABC
(3)若AC交y轴于点 M，求点 M的坐标．
【变式10-1】（2024·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽为1的长方形，已知
一次函数y＝kx+b的图象经过点A与点B，则k与b的值为（ ）
3 3 3 3
A．k= ，b= B．k=− ，b=−
2 4 2 4
3 3 3 3
C．k=− ，b=− D．k= ，b=
4 2 4 2
【变式10-2】（2024·陕西·一模）问题探究：
（1）将一直角梯形ABCD放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）
中，梯形ABCD的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形ABCD分成面积相等的两部
分；（画出一种即可）
（2）如图2，l ∥l ，点A、D在l 上，点B、C在l 上，连接AC、BD，交于点O，连接AB、CD．试说
1 2 1 2明：S =S ；
△AOB △DOC
问题解决：
（3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形ABCDE是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y
轴正半轴上，CD边在x轴正半轴上，AE平行于x轴，AE的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种
需求，需在CD上找一点Q，使PQ将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿
PQ修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）．
①请你利用有刻度的直尺在图中画出PQ的位置，并简要说明作图过程；
②若点A的坐标为(2,4)，OB=1，OC=4，OD=12，AE=6，请求出直线PQ的解析式．
【变式10-3】（24-25九年级·山西大同·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为
a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足 ．
(a+4) 2+❑√b−6=0
(1)如图1，求点A的坐标；
(2)如图2，过点A作x轴的垂线，点B为垂足．若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长
度可以得到对应点C，连接CA，CB，请直接写出点B，C的坐标并求出三角形ABC的面积．
(3)在（2）的条件下，记与x轴交点为点D，点P在y轴上，连接，，若三角形的面积与三角形的面积相
等，直接写出点P的坐标．
