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专题 19.6 一次函数与几何综合五大题型（50 题)
【人教版】
【题型1 一次函数与几何变换的综合】
1．（24-25·陕西西安·二模）若把一次函数y＝kx+b的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度
后，恰好经过点A(4，0)和点B(0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（ ）
1 1 1 1
A．y＝﹣ x﹣1 B．y＝﹣ x+1 C．y＝ x+1 D．y＝ x﹣1
2 2 2 2
2．（24-25八年级·山东临沂·期末）已知A(1,4)，B(4,9)，将直线y=kx绕原点旋转，当直线y=kx与线段
AB有公共点时，则k的取值范围是 ．
3．（24-25八年级·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣4的图象分别交x、y
轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是
．
4．（24-25八年级·四川南充·期末）已知：如图，平面直角坐标系xOy中，B（0，1），OB＝OC＝OA，
A、C分别在x轴的正负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E．
（1）求∠OAB的度数及直线AB的解析式；
（2）若△OCD与△BDE的面积相等，求点D的坐标．
5．（24-25八年级·广西河池·期末）在平面直角坐标系xOy中，(1)点A(0，4)和点B(2，2)在一次函数y=kx+b (k≠0)的图象上．求该一次函数的解析式，并画出它
的图象；
(2)点C(1，2)向左平移3个单位长度，得到点D．若一次函数y=−2x+m的图象与线段CD有公共点，
求m的取值范围．
6．（24-25八年级·陕西渭南·期末）如图，直线l为y=−2x，OABC为长方形，点A在x轴上，点C在y轴
上，点B为(6,2)，平移直线l，得到直线y=kx+b．
(1)则k=______，当l经过点C时，b=______；
(2)当l与线段AB交于点P，与BC交于点Q．
①要保证l与AB一定有交点，求b的取值范围；
②用b表示BP的长．
7．（24-25八年级·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=x的图象与一次函数
y=kx−k的图象的交点为A(m，2)．(1)求m和k的值；
(2)直接写出使函数y=kx−k的值小于函数y=x的值的自变量x的取值范围；
(3)设一次函数y=kx−k的图象与x轴交于点C，将一次函数y=kx−k的图象向右平移2个单位长度，交
y=x的图象于点E，交x轴于点D，求四边形ACDE的面积．
8．（24-25八年级·江苏南通·期末）把一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）在x轴下方的图象沿x轴
向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V形”图象，例
如，如图1就是函数y=x的“V形”图象．
(1)请在图2中画出一次函数y=x+1的“V形”图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是______；
1
(2)在（1）的条件下，若直线y=− x+1与一次函数y=x+1的“V形”图象相交于B，C两点，求△ABC
3
的面积；
(3)一次函数 （k为常数）的“V形”图象经过 ， 两点，且 ，求k的取
y=kx−5k+4 (−1,y ) (3,y ) y >y
1 2 1 2值范围．
3
9．（24-25八年级·四川成都·期末）如图，直线y=kx+b经过点B(0,25)，与直线y= x交于点C(m,9)
4
，与x轴交于点A，点D为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E．
(1)求点A的坐标；
1
(2)当DE= OB时，求△CDE的面积；
2
(3)连接OD，当△OAD沿着OD折叠，使得点A的对应点A 落在直线OC上，求此时点D的坐标．
1
10．（24-25八年级·全国·课后作业）如图，直线l的解析式y=kx+3(k<0)与y轴交于点A，与x轴交于点
B，点C的坐标为(4,2)．
（1）点A的坐标为________；
（2）若将△AOB沿直线l折叠，能否使点O与点C重合？如果可以，请求此时直线l的解析式，如果不可
以，请说明理由；
（3）若点C在直线l的下方，求k的取值范围．
【题型2 一次函数与三角形的综合】
1
1.（24-25八年级·上海·期末）已知一次函数的图像l经过点A(0,−2)，正比例函数y= x的图像交于点
3
(3,a)．(1)求一次函数解析式；
(2)若将直线l进行平移，使平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为15，求平移后的直线解析式．
2．（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，由小正方形组成的8×8的网格，每个小正方形的顶点叫做格
点，三角形ABC的三个顶点都是格点．A(0,3)，B(1,−1)，C(4,0)．
(1)将三角形ABC进行平移，得到三角形DEF（点D与点A对应，点E与点B对应），点D的坐标为
(−4,1)，在网格图中画出三角形DEF，并直接写出点E，F的坐标；
(2)直接写出DF与x轴的交点P的坐标；
(3)请仅用无刻度直尺在y轴上画出点M，使得∠FDM=∠ACB．
3．（24-25八年级·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，M(a,b)，N(c,d)，对于任意的实数k≠0，
我们称P(ka+kc,kb+kd)为点M和点N的k系和点．
例如，已知M(2,3)，N(1,−2)，点M和点N的2系和点为K(6,2)．已知A(1,2)，B(2,0)．
(1)点A和点B的3系和点的坐标为__________；(2)已知点C(m,2)，若点B和点C的k系和点为点D(n,n)．
①求m的值；
②横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点，若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个
整点，则k的值为__________；
③若三角形BCD的面积为14．求点D的坐标．
1
4．（24-25八年级·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=− x+5的图象l 分别
2 1
与x轴、y轴交于A、B两点，正比例函数的图象l 与l 交于点C(m,4)．
2 1
(1)求m的值及l 的解析式．
2
(2)一次函数y=kx+1的图象为l ，且l ，l ，l 不能围成三角形，直接写出k的值．
3 1 2 3
5．（24-25八年级·福建福州·期中）在直角坐标系中，已知A(a,0)，B(b,3)且a，b满足
．
❑√a+b−10+(a−6) 2=0
(1)如图1，直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______；
(2)已知C(2,c)，当三角形CAB的面积等于三角形OAB面积时，求点C的坐标；
(3)如图2，已知点P为线段OA上的一动点，过点P作PQ∥AB交OB于点Q，点C是线段AB上的一点，连
接 、 、 ，若S 2，求点 的坐标．
QC PC BP △PQC = Q
S 3
△ABP
6．（24-25八年级·山东济南·期中）如图1所示，在三角形ABC中，AD是三角形的高，且AD＝8cm，BC＝10cm点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图2所示．
(1)由图2知，点E运动的时间为_____s，速度为______cm/s，点E停止运动时距离点C_____cm；
(2)求在点E的运动过程中，三角形ABE的面积y（cm²）与运动时间x（s）之间的关系式；
(3)当点E停止运动后，求三角形ABE的面积．
7．（24-25八年级·北京朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横纵坐标都为整数的点叫做
“整点坐标”．若正比例函数y=kx(k≠0)的图象与直线y=3及y轴围成三角形．
(1)当正比例函数y=kx(k≠0)的图象过点（1，1）
①k的值为 ．
②此时围成的三角形内（不包含三角形边上的点）的“整点坐标”有 个；写出“整点坐标” ．
(2)若在y轴右侧，由已知围成的三角形内（不包含三角形边上的点）有3个“整点坐标”，求k的取值范
围．
8．（24-25八年级·天津宝坻·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+b的图象与正
比例函数y=kx的图象都经过点B（3，1）
（1）求一次函数和正比例函数的表达式；
(2）若直线CD与正比例函数y=kx平行,且过点C（0，-4），与直线AB相交于点D，求点D的坐标.
（3）连接CB，求三角形BCD的面积.
1
9．（24-25八年级·北京·期末）在平面直角坐标系xOy中，直线1 :y= x与直线l 交于点A(3，n)将直线l
1 3 2 1
向下平移5个单位长度，得到直线l，直线l 与y轴交于点B，与直线l 交于点C，点C的纵坐标是-2，直
3 3 2
线l 与y轴交于点D．
2
（1）求直线l 的表达式；
2
（2）求三角形BDC的面积．
10．（24-25八年级·湖北恩施·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，A(a,0)，C(b,2)，过C作
轴，且满足 ．
CB⊥x (a+b) 2+❑√a−b+4=0(1)求三角形ABC的面积．
(2)若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度
数．
(3)在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存
在，请说明理由．
【题型3 一次函数与四边形的综合】
1．（24-25·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽为1的长方形，已知一次函数
y＝kx+b的图象经过点A与点B，则k与b的值为（ ）
3 3 3 3
A．k= ，b= B．k=− ，b=−
2 4 2 4
3 3 3 3
C．k=− ，b=− D．k= ，b=
4 2 4 2
2．（24-25八年级·辽宁·期末）如图，点B，C分别在直线y＝2x和直线y＝kx上，A、D是x轴上两点，若
四边形ABCD是长方形，且AB：AD＝1：3，则k的值是（ ）
2 2 2 2
A． B． C． D．
3 5 7 9
3．（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中有一个3×3的正方形网格，其右下角格点（小正方形的顶点）A的坐标为(−1,1)，左上角格点B的坐标为(−4,4)，若分布在直线y=−kx−k两侧的
格点数相同，则k的取值可以是（ ）.
5 7 3
A． B． C．2 D．
2 4 2
4．（24-25八年级·山东淄博·期中）如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°,B(4,4)，点D在边AB上，
AD=2BD，点C为OA的中点，点P为边OB上的动点，若使四边形PCAD周长最小，则点P的坐标为
（ ）
(4 4) (3 3) (9 9) (12 12)
A． , B． , C． , D． ,
3 3 2 2 5 5 5 5
5．（24-25八年级·安徽芜湖·阶段练习）如图所示，以长方形ABCD的边AD的中点为原点建立平面直角坐
标系，且AD位于x轴上，AB=CD=2，AD=BC=4，过定点P(0，2)和动点Q(a，0)的直线解析式为y=kx+2．
（1）若PQ经过点D，则k ．
（2）若PQ与长方形ABCD的边有公共点，且函数y随x的增大而增大，则k的取值范围为 ．6．（24-25八年级·河南驻马店·期末）将6×6的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小
正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是 1，正方形ABCD的顶点都在格点上，若直线
y=kx(k≠0)与正方形ABCD有两个公共点，则k的取值范围是 ．
7．（24-25八年级·安徽芜湖·期末）如图，八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原
点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为 ．
8．（24-25八年级·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =x+2的图象与x轴，y轴分
1
1
别交于点A， B,y =− x+b的图象与x轴，y轴分别交于点D,E，且两个函数图象相交于点C(m,5)．
2 3
(1)填空：b=______；
(2)求△ACD的面积；
(3)在线段AD上是否存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4:21？若存在，诸求出
点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．（24-25八年级·重庆巫山·期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，
BC⊥CD，BC=CD=2AD=4，连接AC，点E从点B出发，沿折线B→C→D，运动，到点D时停止
运动，连接AE，设点E的运动路程为x，△ACE的面积为y ．
1
(1)请直接写出y 关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
1
(2)在给定的平面直角坐标系中画出y 的函数图象，并写出该函数的一条性质；
1
1
(3)y =− x+5的函数图象如图所示，请根据图象直接写出y y 的解集；
1 2
(3)若直线l 上存在一点C，使得△ADC的面积等于△APO的面积的2倍，求出点C的坐标．
13．（24-25八年级·上海·阶段练习）已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x
轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由
2
(3)在（2）的条件下，是否在正比例函数y=kx上存在一点M，使得S = S .若存在，请求出点M
ΔAPM 3 ΔOPM
的坐标；若不存在，请说明理由
4．（24-25八年级·山东威海·期末）已知，点A(1，m)在直线y=3x−4上，过点A的直线交y轴于点
B(0，4)．
(1)求m的值和直线AB的函数表达式；
(2)点 分别在直线 ，直线 上．若 ，判断 是否存
C(n−1，y )，D(n+1，y ) y=3x−4 AB n≥3 p= y −y
1 2 2 1
在最值，若存在，求出最值，若不存在，请说明理由．
5．（24-25八年级·陕西商洛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l 的函数解析式为y=x−1，与
1
x轴，y轴分别交于点A，点B，直线l 的函数解析式为y=kx+b，与x轴，y轴分别交于点C(6,0)，点D，
2
8
直线l 与l 交于点E，已知点E的横坐标为 ．
1 2 3
(1)求直线l 的函数解析式；
2
(2)若直线l 上存在点P，使得S =6，请求出点P的坐标；
2 △OCP
(3)已知M是线段BE上的动点，过点M作直线MN平行于y轴，交直线l 于点N，过点M作y轴的垂线，
2
交y轴于点Q，是否存在点M，使Rt△MNQ的两条直角边之比为1:2？若存在，请求出满足条件的所有点
M的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（24-25八年级·河南安阳·期末）如图，直线l 的函数表达式为y=x+1，且l 分别交x轴、y轴于点A，
1 1
B；直线l 的函数表达式为y=kx+b，l 经过点C(0,−1)，分别交x轴、直线l 于点D，E，且E点坐标为
2 2 1
(n,3)．(1)则k=_____，b=______；
(2)直接写出不等式kx+b>x+1的解集；
(3)点P是y轴上一动点，是否存在点P，使得△PDE的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
7．（24-25八年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，点A在y轴上，点B在x轴上，点C(a,b)在第
三象限， ， ，若a，b满足
AC⊥AB AC=AB |a+2)+(b+3) 2=0
(1)如图1，求点A，B，C的坐标；
(2)D为x轴上一点，过点A作AE⊥AD且AE=AD（A，D，E三点按顺时针方向排列），连接EC，写出
线段EC，OB，OD之间的数量关系的所有情况，并选择其中一种加以证明；
(3)如图2，将线段AB平移，与x，y轴分别交于点M，N，在过点C且与x轴垂直的直线上存在点P，使得
△MNP为等腰直角三角形（MN为直角边），请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
8．（24-25八年级·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点C(0，6)的直线AB与直线OA
相交于点A(4，2)．(1)求直线AB的函数表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使PA+PC的值最小，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点P的坐
标；
9．（24-25八年级·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+6与x轴和y轴分别交于
点B和点C，与直线OA相交于点A(4,2)，动点M在线段OA和射线AC上运动．
(1)求点B和点C的坐标．
(2)求△OAC的面积．
1
(3)是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC面积的 ？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说
4
明理由．
10．（24-25八年级·北京密云·期末）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，给出如下定义：点N为
图形G上任意一点，当点P是线段MN的中点时，称点P是点M和图形G的“中立点”．(1)已知点A(4,0)，若点P是点A和原点的中立点，则点P的坐标为 ；
(2)已知点B(−2,3),C(1,3),D(−2,0)．
①连接BC，求点D和线段BC的中立点E的横坐标x 的取值范围；
E
②点F为第一、三象限角平分线上的一点，在的边上存在点F和的中立点，直接写出点F的横坐标的取值
范围．
