第19章 一次函数压轴题综合测试卷
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知(x ,y )，(x ,y )，(x ,y )为直线y=2x−4上的三个
1 1 2 2 3 3
点，且x <x <x ，则以下判断正确的是（ ）
1 2 3
A．若x x >0，则y y >0 B．若x x ＞0，则y y ＞0
1 3 1 2 1 2 1 3
C．若x x <0，则y y >0 D．若x x <0，则y y >0
2 3 2 3 2 3 1 2
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握数形结合的思想以及举反例的方法是解题的关键．
先求出此直线交y轴于(0,−4)，交x轴于(2,0)，画出图象，结合一次函数的增减性逐项判断即可解答，
【详解】解：当x=0时，y=−4，则此直线交y轴于(0,−4)，
当y=0时，y=2x−4，解得：x=2，则此直线交x轴于(2,0)，
当x<2时，y<0；当x>2时，y>0；
画出一次函数y=2x−4的图象如图所示：
，
A．若x x >0且x <x <x ，
1 3 1 2 3
∴x <x <x <0或0<x <x <x ，
1 2 3 1 2 3
当0<x <x <x 时，若0<x <2，x >x >2，则y <0，y >0，即y y <0，即A选项不符合题意；
1 2 3 1 3 2 1 2 1 2
B．若x x >0且x <x <x ，
1 2 1 2 3
∴0<x <x <x 或x <x <x <0或x <x <0<x ，
1 2 3 1 2 3 1 2 3
当0<x <x <x 时，若0<x <2，x >2，则y <0,y >0，即y y <0，即B选项不符合题意；
1 2 3 1 3 1 3 1 3C．若x x <0且x <x <x ，
2 3 1 2 3
∴x <x <0<x ，
1 2 3
当x <0，x >2，则y <0，y >0，即y y <0，即C选项不符合题意；
2 3 2 3 2 3
D．若x x <0且x <x <x ，
2 3 1 2 3
∴x <x <0<x ，
1 2 3
∴y <0，y <0，即y y >0，即D选项符合题意．
1 2 1 2
故选：D．
2．（3分）（24-25八年级·浙江湖州·期末）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于
点D．动点P从点A出发，沿着A→D→C的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，过点P作
PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于F．在此过程中四边形CEPF的面积y与运动时间x的函数关系图象如图
2所示，则AB的长是（ ）
A．4 B．2❑√6 C．2❑√2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图2中拐点的纵坐标3，得到四边形CEPF的面积y=3，此时
点P运动到点D，可证明四边形CEPF是正方形，面积为3，那么正方形的边长AP为❑√3，易得△AEP为等
腰直角三角形，即得到AP长为❑√6，进而求出AB长度为2❑√6，解题的关键理解拐点的纵坐标表示的意义
及动点此时所在的位置．
【详解】解：∵动点P从点A出发，沿着A→D→C的路径运动，
∴第一个拐点的位置在点D处，此时点P运动到点D，
∵图2中拐点的纵坐标3，
∴四边形CEPF的面积为3，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠CED=∠CFD=∠AED=90°，
∵∠ACB=90°，
∴ 四边形CEPF是矩形，
∵△ABC是等腰直角三角形，CD⊥AB，∴∠ACD=∠BCD，∠A=45°，AB=2AP，
∴DE=DF，∠ADE=45°，
∴四边形CEPF是正方形，AE=PE，
∴△AED是等腰直角三角形，
∵四边形CEPF的面积为3，
∴PE=❑√3，
∴AP=❑√3×❑√2=❑√6，
∴AB=2AP=2❑√6，
故选：B．
1
3．（3分）（24-25八年级上·广东深圳·期末）已知直线l :y=kx+b与直线l :y=− x+m都经过
1 2 2
( 4 12)
E − , ，直线l 交x轴于点A，交y轴于点B(0,4)，直线l 交y轴于点C，交x轴于点D．直线l ∥直
5 5 1 2 3
线l 且经过原点，且与直线l 交于点F．点P为x轴上任意一点，连接PC、PF．对于以下结论，错误的是
1 2
（ ）
4
{
y=kx+b
)
{ x=− )
5
A．方程组 1 的解为 B．S =3
y=− x+m 12 △OFD
2 y=
5
(4 )
C．△AED为直角三角形 D．当PF+PC的值最小时，点P的坐标为 ,0
9
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，轴对称-最短路径问题，勾股定理及逆定理，正确地4
{
y=kx+b
)
{ x=− )
5
求得函数解析式是解题的关键．A、根据题意得到方程组 1 的解为 ，故不符合题
y=− x+m 12
2 y=
5
( 4 12)
意；B、把E − , ，B(0,4)代入y=kx+b解方程组得到直线l :y=2x+4，求得直线l 的解析式为
5 5 1 3
( 4 12) 1 1 (4 8)
y=2x，把E − , ，代入y=− x+m得得到直线l :y=− x+2，解方程组得到F , ，得到
5 5 2 2 2 5 5
1 8 16
D(4,0)，根据三角形的面积公式得到S = ×4× = ，故符合题意；C、解方程得到A(−2,0)，根
△OFD 2 5 5
据勾股定理和勾股定理的逆定理得到△AED为直角三角形；不符合题意；D、作点C故x轴的对称点C′连
接′❑F交x轴于P，此时，PF+PC的值最小，设直线C′P的解析式为y=mx+n，解方程组得到直线C′P
9 4 (4 )
的解析式为y= x−2，当y=0时，x= 得到P ,0 ，不符合题意，据此解答即可．
2 9 9
1 ( 4 12)
【详解】解：A、∵直线l :y=kx+b与直线l :y=− x+m都经过E − , ，
1 2 2 5 5
4
{
y=kx+b
)
{ x=− )
5
∴方程组 1 的解为 ，故此选项正确，不符合题意；
y=− x+m 12
2 y=
5
( 4 12)
B、∵直线l 交x轴于点A，交y轴于点B(0,4)，直线l :y=kx+b经过E − , ，
1 1 5 5
{ − 4 k+b= 12 ) {k=2)
∴ 5 5 ，解得， ，
b=4
b=4
∴直线l :y=2x+4，
1
∵直线l ∥直线l 且经过原点，
3 1
∴直线l 的解析式为y=2x，
3
( 4 12) 1 12 1 ( 4)
把E − , 代入y=− x+m得， =− × − +m，
5 5 2 5 2 5
∴m=2，
1
∴直线l :y=− x+2，
2 24
{ y=− 1 x+2) { x= 5 )
解 2 得 ，
8
y=2x y=
5
(4 8)
∴F , ，
5 5
1 1
在y=− x+2中，令y=0，则− x+2=0，解得x=4，
2 2
∴D(4,0)，
1 8 16
∴S = ×4× = ，故此选项错误，符合题意；
△OFD 2 5 5
C、在y=2x+4中，令y=0，则2x+4=0，
∴x=−2，
∴A(−2,0)，
∴AE2= ( −2+ 4) 2 + (12) 2 = 36 ，DE2= ( 4+ 4) 2 + (12) 2 = 144 ，
5 5 5 5 5 5
AD2=(−2−4) 2=36，
∴AE2+DE2=AD2，
∴∠AED=90°，
∴△AED为直角三角形，故此选项正确，不符合题意；
D、∵直线l 交y轴于点C，
2
∴C(0,2)，
如图，过点C作x轴的对称点C′连接C′F交x轴于P，此时，PF+PC的值最小，
设直线′❑P的解析式为y=mx+n，
∵′❑(0,−2)，{
n=−2
)
∴ 4 8 ，
m+n=
5 5
{ m= 9 )
∴ 2 ，
n=−2
9
∴直线C′P的解析式为y= x−2，
2
4
当y=0时，x= ，
9
(4 )
∴P ,0 ，故此选项正确，不符合题意；
9
故选：B．
4．（3分）（24-25八年级·重庆忠县·期末）如图，已知点A的坐标为(−4,5)，OA=AB，点B在y轴的正
半轴上，边长为2❑√5的正方形OCDE绕点O旋转，当D、B、E三点共线时，AC=（ ）
A．❑√5 B．❑√5或2❑√5 C．2❑√5或❑√85 D．❑√5或❑√85
【答案】D
【分析】当点D在BE上时，过A作AP⊥y轴于P，过C作CH⊥x轴于H，过E作EF⊥x轴于F，先求
b
得点B坐标， 设C(a,b)，则直线OC的表达式为y= x，证明△CHO≌△OFE(AAS)得到点E坐标，进
a
b b2
而利用待定系数法求得直线BE的函数表达式为y= x−a− ，由点B坐标和勾股定理求得a=−2，
a a
b=4（负值已舍去），则C(−2,4)，再利用两点坐标距离公式求解即可；当点E在BD上时，同理可求
解．
【详解】解：根据题意，分两种情况：
当点D在BE上时，如图，过A作AP⊥y轴于P，过C作CH⊥x轴于H，过E作EF⊥x轴于F，∵A的坐标为(−4,5)，OA=AB，
∴BP=OP=5，则OB=10，
∴B(0,10)，
b
设C(a,b)，则直线OC的函数表达式为y= x，
a
∵四边形OCDE是边长为2❑√5的正方形，
∴OC=OE=2❑√5，OC∥DE，∠COE=90°，
∴∠COH+∠EOF=∠EOF+∠OEF=90°，
∴∠COH=∠OEF，又∠CHO=∠OFE=90°，
∴△CHO≌△OFE(AAS)，
∴OF=CH=b，EF=OH=−a，
∴E(b,−a)，
∵OC∥DE，
b
∴设直线BE的函数表达式为y= x+t，
a
b2 b2
将E(b,−a)代入，得−a= +t，解得t=−a− ，
a a
b b2
∴直线BE的函数表达式为y= x−a− ，
a a
由题意，点B在直线BE上，
b2
∴−a− =10，则a2+b2=−10a，
a
∵OC2=a2+b2=(2❑√5) 2=20，
∴a=−2，b=4（负值已舍去），
∴C(−2,4)，∴AC=❑√(−2+4) 2+(4−5) 2=❑√5；
当点E在BD上时，如图，
b
设C(a,b)，同理可求得直线OC的函数表达式为y= x，E(b,−a)，直线BE的函数表达式为
a
b b2
y= x−a− ，
a a
由题意，点B在直线BE上，
b2
∴−a− =10，则a2+b2=−10a，
a
∵OC2=a2+b2=(2❑√5) 2=20，
∴a=−2，b=−4（正值已舍去），
∴C(−2,−4)，
∴AC=❑√(−2+4) 2+(−4−5) 2=❑√85；
综上，AC=❑√5或❑√85，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解
析式、正方形的性质、勾股定理、旋转的性质等知识，利用数形结合、分类讨论及函数思想是解答的关
键．
5．（3分）（24-25八年级上·陕西铜川·期末）已知在平面直角坐标系中，直线
l :y=kx+b(k、b为常数,且k≠0)经过(−1,2)、(1,8)两点，将直线l 向下平移2个单位长度得到直线l
1 1 2
，下列关于直线l 的说法中，正确的是（ ）
2
A．与坐标轴围成的三角形面积为1 B．不经过第四象限
C．经过坐标原点 D．当x=2时，y的值为7【答案】B
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图象与性质．把点(−1,2)、(1,8)向下
平移2个单位长度，得到点(−1,0)、(1,6)，利用待定系数法求出直线l 的解析式是y=3x+3，根据一次函
2
数的解析式y=3x+3的解析式可知直线与坐标轴的交点坐标，从而可求直线与坐标轴围成的三角形的面
积；根据直线的走向和与y轴的交点可知直线不经过第四象限；根据直线l 与y轴交点纵坐标为3，可知直
2
线不过原点；把x=2代入解析式可以求出y=9．
【详解】解：把点(−1,2)、(1,8)向下平移2个单位长度，
得到点(−1,0)、(1,6)，
把点(−1,0)、(1,6)代入y=kx+b，
{−k+b=0)
可得： ，
k+b=6
{k=3)
解得： ，
b=3
∴直线l 的解析式为y=3x+3，
2
当x=0时，y=3，
∴直线l 与y轴的交点坐标为(0,3)，
2
当y=0，可得：3x+3=0，
解得：x=−1，
1 3
∴与坐标轴围成的面积是 ×1×3= ，
2 2
故A选项错误；
直线l 的解析式为y=3x+3，
2
∵3>0，
∴y随x的增大而增大，
且直线y=3x+3与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴直线y=3x+3经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故B选项正确；
∵直线y=3x+3与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴不经过坐标原点，
故C选项错误；
当x=2时，可得：y=3x+3=3×2+3=9，
故D选项错误．故选：B ．
6．（3分）（24-25八年级下·湖北武汉·期末）1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出
定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被
称为欧拉线．如图，已知△OAB的三个顶点分别为O(0,0)，A(2,4)，B(6,0)，则△OAB的欧拉线的解析
式为（ ）
x 20
A．y=2x−2 B．y= C．y=−x+4 D．y=−2x+
3 3
【答案】C
【分析】先根据中线的定义和待定系数法求解析式，求出△OAB三条中线的交点点G的坐标，再根据线段
垂直平分线的性质以及两点之间的距离公式求出△OAB三角形三边的垂直平分线的交点W(3,1)，再运用待
定系数法即可求解；
【详解】解：设AB,OB边上的中线为OD,AE交于点G，
则点D,E的坐标分别为(4,2)、(3,0)，
{2m+n=4) {m=−4)
设直线AE的表达式为y=mx+n，则 ，解得 ，
3m+n=0 n=12
故直线AE的表达式为y=−4x+12①，
1
由点O,D的坐标，同理可得直线OD的表达式为y= x②，
2
8
{ x= )
3 (8 4)
联立①②并解得 故点G的坐标为 , ；
4 3 3
y=
3
设△OAB三角形三边的垂直平分线的交点，为W(a,b)，则AW =OW =BW，
∴(a−2) 2+(b−4) 2=(a−6) 2+(b−0) 2=(a−0) 2+(b−0) 2，
解得a=3,b=1．可得W(3,1)．
(8 4)
设该三角形的欧拉线方程为y=kx+c，将W(3,1)，G , 代入可得：
3 3{1=3k+c
) {k=−1)
4 8 ，解得： ，
= k+c c=4
3 3
则该三角形的欧拉线方程为y=−x+4，
故选：C．
【点睛】该题主要考查了三角形中线的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间的距离公式，中点坐标公
式，待定系数法求一次函数解析式以及函数交点求解等知识点，解题的关键是求出点G和点W．
7．（3分）（24-25八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，直线l :y=−2x+4，直线
1
l :y=kx−1(k>0)，若l ，l 与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（ ）
2 1 2
1 1
A．2 B．1 C． D．
3 2
【答案】D
【分析】此题主要考查了两直线与y轴围成的图形面积问题．熟练掌握一次函数图象和性质，三角形面积
公式，待定系数法求函数解析式，是解题关键．
设l 交y轴于点A，l 交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作CD⊥y轴于点D，求出A(0,4)，
1 2
B(0,−1)，得到AB=4+1=5，根据l ，l 与y轴围成的三角形的面积为5，得到CD=2，代入y=−2x+4
1 2
1
求得C(2,0)，代入y=kx−1，即得k= ．
2
【详解】解：设l 交y轴于点A，l 交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作CD⊥y轴于点D，
1 2
∵y=−2x+4中，x=0时，y=4；y=kx−1中，x=0时，y=−1．
∴A(0,4)，B(0,−1)，
∴AB=4+1=5，
1
∵S = AB⋅CD=5，
△ABC 2
∴CD=2，
在y=−2x+4中，当x=2时，y=−2×2+4=0，
∴C(2,0)，
代入y=kx−1，
得，0=2k−1，
1
解得，k= ．
2
故选：D．8．（3分）（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为
2，则称点A为“和二点”．例如：点B(−1.2,0.8)到x轴、y轴距离和为2，则点B是“和二点”，点
C(1，1),D(−0.5，−1.5)也是“和二点”．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l经过点E(−3,−4)，且
图象l上存在“和二点”，则k的取值范围为（ ）
2 4 4 2
A． ≤k≤2 B． ≤k≤2 C． ≤k≤4 D． ≤k≤4
3 5 5 3
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象及性质．取E(−2,0)，F(2,0)，G(0,−2)连EG，FG,EG取点P，
PM⊥x轴PN⊥y轴，垂直分别为M,N ,PN=OM，可得△OEG，△OFG均为等腰直角三角形，从而
得△PEM为等腰直角三角形进而得PM+PN=OE=2，继而得到线EG上的点为“成双点”，线FG上的
点为“成双点”，可得到当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与线EG或线FG有交点时，一次函数
y=kx+b(k≠0)的图象l上存在“成双点”，再分别求出当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点E时，
当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l经过点G时，k的值，即可求解．
【详解】解：取E(−2,0)，F(2,0)，G(0,−2)连EG，FG,EG取点P，PM⊥x轴PN⊥y轴，垂直分
别为M,N ,PN=OM，∵OE=OF=OG=2，
∴△OEG，△OFG均为等腰直角三角形，
∴∠OEG=45°，
∴△PEM为等腰直角三角形，
∴PM=EM，
∴PM+PN=OE=2，
∴点P是“成双点”，即线EG上的点为“成双点”，同理线FG上的点为“成双点”，
∴当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与线EG或线FG有交点时，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l上存在
“成双点”，
∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l经过点E(−3,−4)，
∴−3k+b=−4，
解得：b=3k−4，
∴一次函数解析式为b=kx+3k−4，
当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点E时，
∴−2k+3k−4=0，解得：k=4，
当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l经过点G时，
2
∴3k−4=−2，解得：k= ，
3
2
∴k的取值范围： ≤k≤4，
3
故选：D．9．（3分）（24-25八年级上·河南周口·期末）正方形A B C O，A B C C ，A B C C ，…按如图所
1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2
示的方式放置，点A ，A ，A ，…和点C ，C ，C ，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B 的纵坐
1 2 3 1 2 3 2024
标是（ ）
A．22024 B．22023 C．22024+1 D．22023+1
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与几何综合和正方形性质，由题意可得出A 、B 的纵坐标相同，根据点A ，
n n 1
A ，A ，…在直线y=x+1上和正方形性质，推出点A ，A ，A ，A 的坐标，根据坐标找出点的坐标规
2 3 1 2 3 4
律为A 的坐标为(2n−1−1,2n−1)，利用规律表示出A 的坐标，即可解题．
n 2024
【详解】解：由题知，四边形A B C C 为正方形，
n n n n−1
∴A B ∥x轴，即A 、B 的纵坐标相同，
n n n n
当x=0时，y=0+1=1，即A (0,1)，
1
∴OA =1，则OC =OA =1，
1 1 1
当x=1时，y=1+1=2，
∴A 的坐标为(1,2)，
2
同理可得A 的坐标为(3,4)，A 的坐标为(7,8)，
3 4
∴ A 的坐标为(2n−1−1,2n−1)，
n
∴ A 的坐标为(22023−1,22023)，
2024
∴点B 的纵坐标是22023，
2024
故选：B．
10．（3分）（24-25八年级·四川内江·阶段练习）如图，一次函数y=x+4的图象与x轴，y轴分别交于点
A,B，点C是线段AO上一定点，点E,F分别为直线y=x+4和y轴上的两个动点，当△CEF周长的最小值
为6时，点C的坐标为（ ）A．(−1,0) B．(−❑√2,0) C．(−❑√3,0) D．(−2,0)
【答案】B
【分析】作C关于y轴的对称点G，作C关于直线y=x+4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交
y轴于F，此时△CEF周长最小，由y=x+4得A(−4,0)，B(0,4)，，∠BAC=45°，根据C、D关于AB
对称，进而得出∠DAC=90°，设C(−c,0)，则AD=AC=−c+4,OG=OC=c，进而根据勾股定理即
可求解．
【详解】解：作C关于y轴的对称点G，作C关于直线y=x+4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E
，交y轴于F，如图：
∴ DE=CE CF=GF
， ，
∴ CE+CF+EF=DE+GF+EF=DG，此时△CEF周长最小为6，
由y=x+4得A(−4,0)，B(0,4)，
∴ OA=OB，△AOB是等腰直角三角形，
∵C、D关于AB对称，
∴ ∠DAB=∠BAC=45°，
∴ ∠DAC=90°，
设C(−c,0)，则AD=AC=−c+4,OG=OC=c
∴ AG=AO+OG=4+c
在Rt△ADG中，DG=❑√AD2+AG2=6即62=(4−c) 2+(4+c) 2
解得：c=❑√2（负值舍去）
即C(−❑√2,0)
故选：B．
【点睛】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定△CEF周长最小
时，E、F的位置．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数y=ax−3−a(a≠0)．
（1）当y=−3时，则x= ；
（2）当−4≤ y≤−1时，自变量x的负整数值恰好有2个，则a的取值范围为 ．
2 1 1 1
【答案】 1 − ≤a<− 或 <a≤
3 2 4 3
【分析】此题考查了一次函数的性质、一元一次不等式组等知识，分情况讨论是关键．
（1）将y=−3代入解答即可；
（2）分两种情况结合不等式组的解集分别进行解答即可．
【详解】（1）当y=−3时，−3=ax−3−a，
∴ax−a=0，
则a(x−1)=0，
∵a≠0，
∴x−1=0，
解得x=1，
故答案为：1
（2）①当a>0时，y随着x的增大而增大，
∴当−4≤ y≤−1时，可得−4≤ax−3−a≤−1，
1 2
解得1− ≤x≤1+ ，
a a
∵自变量x的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是−2,−1，
1
{ −3<1− ≤−2)
a
则
2
1+ ≥−1
a1 1
解得 <a≤ ，
4 3
②当a<0时，y随着x的增大而减小，
∴当−4≤ y≤−1时，可得−4≤ax−3−a≤−1，
2 1
解得1+ ≤x≤1− ，
a a
∵自变量x的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是−2,−1，
2
{ −3<1+ ≤−2)
a
则
1
1− ≥−1
a
2 1
解得− ≤a<− ，
3 2
2 1 1 1
综上可知，a的取值范围为− ≤a<− 或 <a≤
3 2 4 3
2 1 1 1
故答案为：− ≤a<− 或 <a≤
3 2 4 3
12．（3分）（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知等腰直角△ABC的顶点B，C分别在x、y轴
上，∠ABC=90∘，点B的坐标是(−1,0)，C的坐标是(0,3)则直线AC的函数关系式为 ．
1
【答案】y= x+3
2
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
过A点作AD⊥x轴于D点，如图，先证明△ABD≅△BCO得到AD=OB=1，BD=CO=3，再写出
A(−4,1)，然后利用待定系数法求直线AC的解析式，熟知一线三等角原理是解题的关键．
【详解】解：过A点作AD⊥x轴于D点，如图，∵B(−1,0) C(0,3)
， ，
∴OB=1，OC=3，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴AB=BC，
∵∠ABD+∠OBC=90°，∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠ABD=∠BCO，
在△ABD和△BCO中，
{∠ADB=∠COB
)
∠ABD=∠BCO ，
AB=BC
∴ △ABD≌△BCO(AAS)，
∴AD=OB=1，BD=CO=3，
∴A(−4,1)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
{−4k+b=1)
把A(−4,1)，C(0,3)分别代入得 ，
b=3
{ k= 1 )
解得 2 ，
b=3
1
∴直线AC的解析式为y= x+3．
2
1
故答案为：y= x+3．
2
13．（3分）（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系xOy中，函数y=mx+n(m≠0)与
y=−mx+3的图象交于点(3,1)．
（1）m+n的值为 ；
（2）当x>3时，对于x的每一个值，函数y=kx(k≠0)的值既大于函数y=mx+n(m≠0)的值，也大于函
数y=−mx+3的值，则k的取值范围为 ．1 2
【答案】 − k≥
3 3
【分析】本题考查了两条直线相交或平行的问题，涉及待定系数法求函数解析式，掌握数形结合法是解题
的关键．
2 2 1
先将点(3,1)分别代入函数解析式即可求出n=−1,m= ，则m+n=−1+ =− ，此时两条直线的函数解
3 3 3
2 2
析式分别为y= x−1与y=− x+3，数形结合找出平行的临界状态即可求解．
3 3
【详解】解：（1）∵函数y=mx+n(m≠0)与y=−mx+3的图象交于点(3,1)，
∴3m+n=1,−3m+3=1，
2
解得：n=−1,m= ，
3
2 1
∴m+n=−1+ =− ，
3 3
1
故答案为：− ；
3
（2）∵当x>3时，对于x的每一个值，函数y=kx(k≠0)的值既大于函数y=mx+n(m≠0)的值，也大于
函数y=−mx+3的值，如图：
2 2
∵直线y= x−1与y=− x+3交于点(3,1)，
3 3
2 2
由图可知当x>3时，函数y= x−1的值大于函数y=− x+3的值，
3 3
2
∴要满足题意，只需函数y=kx(k≠0)的值大于函数y= x−1的值即可，
3
2 2
∵当直线y=kx(k≠0)平行于直线y= x−1时，符合题意，此时k=
3 32
∴满足题意，k≥ ，
3
2
故答案为：k≥ ．
3
14．（3分）（24-25八年级下·湖北武汉·期末）直线y=kx−1与函数y=|x−1)+|x−2)的图像有且只有两
个公共点，则k的取值范围是 ．
【答案】1<k<2
【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；先把函数
y=|x−1)+|x−2)化为分段函数的形式，再求解当y=kx−1过(2,1)时，当y=kx−1过(1,1)时，k的值，再
结合函数图象可得答案．
【详解】解：当x>2时，
y=|x−1)+|x−2)=x−1+x−2=2x−3，
当1≤x≤2时，
y=|x−1)+|x−2)=x−1+2−x=1，
当x<1时，
y=|x−1)+|x−2)=1−x+2−x=3−2x；
而y=kx−1过(0,−1)，
如图，
当y=kx−1过(2,1)时，
∴2k−1=1，
解得：k=1，
当y=kx−1过(1,1)时，
∴k−1=1，
解得：k=2，此时y=2x−1的图象与y=2x−3的图象平行，
∴直线y=kx−1与函数y=|x−1)+|x−2)的图象有且只有两个公共点，k的取值范围是1<k<2；
故答案为：1<k<2
15．（3分）（24-25八年级上·浙江湖州·期末）当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展
迅速．
（1）如图1，一束激光从点C出发，射向x轴上的点P，经过反射后射向点M，已知光线的反射满足反射
定律（即反射角i=入射角i）．若点C(0,2)，点P(1,0)，则直线MP与y轴的交点Q的坐标为
1
（2）如图2，线段AB是一根激光感应器，其函数表达式为y=− x+8(1≤x≤10)，从点C(0,2)射出的激
2
光射向位于x轴上的镜面DE，经过反射后MN恰好覆盖线段AB上的4个整数点（横纵坐标都为整数的
点），则DE的最小值为 ．
20
【答案】 (0,−2)
9
【分析】本题考查了一次函数的几何应用、三角形全等的判定与性质等知识，较难的是题（2），正确找
出临界位置是解题关键．
（1）先证出△POQ≌△POC，再根据全等三角形的性质可得OQ=OC=2，由此即可得；
（2）先求出线段AB上共有5个整数点：(2,7)，(4,6)，(6,5)，(8,4)，(10,3)，再找出两个临界位置：①当
点M的坐标为M(2,7)，点N的坐标为N(8,4)时，②当点M的坐标为M(4,6)，点N的坐标为N(10,3)时，
分别求出点D,E的坐标，由此即可得．
【详解】解：（1）如图，由题意得：∠1=∠2，由对顶角相等得：∠OPQ=∠2，
∴∠OPQ=∠1，
∵OP⊥CQ，
∴∠POQ=∠POC=90°，
∵C(0,2)，
∴OC=2，
在△POQ和△POC中，
{
∠OPQ=∠1
)
OP=OP ，
∠POQ=∠POC=90°
∴△POQ≌△POC(ASA)，
∴OQ=OC=2，
∵点Q位于y轴的负半轴上，
∴直线MP与y轴的交点Q的坐标为(0,−2)，
故答案为：(0,−2)．
1
（2）对于函数y=− x+8(1≤x≤10)，
2
要使得y为整数，则x为偶数，
1
当x=2时，y=− ×2+8=7，
2
1
当x=4时，y=− ×4+8=6，
2
1
当x=6时，y=− ×6+8=5，
2
1
当x=8时，y=− ×8+8=4，
2
1
当x=10时，y=− ×10+8=3，
2∴线段AB上共有5个整数点：(2,7)，(4,6)，(6,5)，(8,4)，(10,3)，
∵C(0,2)，
∴由（1）可知，直线MD,NE与y轴的交点坐标均为(0,−2)，
则有以下两个临界位置：
①当点M的坐标为M(2,7)，点N的坐标为N(8,4)时，
设直线MD的解析式为y=k x+b (k ≠0)，
1 1 1
{2k +b =7) { k = 9 )
将点M(2,7)和(0,−2)代入得： 1 1 ，解得 1 2 ，
b =−2
1 b =−2
1
9
则直线MD的解析式为y= x−2，
2
9 4 (4 )
当y=0时， x−2=0，解得x= ，即D ,0 ，
2 9 9
3
同理可得：直线NE的解析式为y= x−2，
4
3 8 (8 )
当y=0时， x−2=0，解得x= ，即E ,0 ，
4 3 3
8 4 20
∴此时DE的最小值为 − = ；
3 9 9
②当点M的坐标为M(4,6)，点N的坐标为N(10,3)时，
1
同理可得：直线MD的解析式为y=2x−2，直线NE的解析式为y= x−2，
2
当y=0时，2x−2=0，解得x=1，即D(1,0)，
1
当y=0时， x−2=0，解得x=4，即E(4,0)，
2
∴此时DE的最小值为4−1=3；
20
∵ <3，
9
(4 ) (8 ) 20
∴当镜面DE的端点D放在点 ,0 、端点E放在点 ,0 的位置上时，DE的值最小，最小值为 ，
9 3 9
20
故答案为： ．
9
16．（3分）（24-25八年级·重庆渝中·自主招生）已知甲、乙两车分别从A、B两地同时以各自的速度匀速相向而行，两车相遇后，乙车减慢速度匀速行驶，甲车的速度不变，甲车出发5小时后，接到通知需原
路返回到C处取货，于是甲车立即掉头加快速度匀速向C处行驶，甲追上乙后又经过40分钟到达C处，
2
甲车取货后掉头以加快后的速度赶往B地，又经过 小时，甲、乙两车再次相遇，相遇后各自向原来的终
9
点继续行驶（接通知、掉头、取货物的时间忽略不计）甲、乙两车之间的距离y（千米）与甲车行驶时间x
（小时）的部分函数图象如图所示，则乙车到达A地时，甲车距离A地 千米．
3830
【答案】
7
【分析】此题考查了从函数图象获取信息，从图象分析已知信息，再结合路程中的相遇和追及问题列式即
可．
20
根据图象提供的信息， 小时后，甲、乙的距离由900缩小到300，可以求出甲、乙未改变速度之前的速
7
度和，从而求出相遇时间，再根据5小时时，甲、乙的相距路程可求出甲未改变之前的速度和乙改变之后
2
的速度之和，再根据40分钟，甲、乙相距40千米，可以求出甲、乙改变速度之后的速度差，再根据 小
9
时后又相遇，就可以求出甲、乙改变速度之后的速度和，从而求出甲、乙改变之前的速度和改变之后的速
度．
(20)
【详解】解：900−300=600，600÷ =210，
7
∴甲乙的速度之和为210，30 30 5 750 5
900÷210= 5− = ÷ =150
7 7 7 7 7
， ，
∴甲的速度与乙改变后的速度之和为150，
40
40÷ =60，
60
∴甲改变后的速度与乙改变后的速度差为60，
2
40÷ =180
9
∴甲改变后的速度与乙改变后的速度和为180，
∴甲改变后的速度为120，乙改变后的速度为60，
∵甲的速度与乙改变后的速度之和为150，∴甲的速度为90，
∵甲乙的速度之和为210，∴乙的速度为120，
30 3600
乙未改变速度之前行驶的路程为： ×120= ，
7 7
( 3600) 45 45 30 75
900− ÷60= ， + =
7 7 7 7 7
75
∴乙到达A地所需要的时间为 ，
7
75 40
∴甲改变速度后还需行驶的时间为： −5= ，
7 7
750 25 25 40 103
÷60= ， + = ．
7 14 14 60 42
103
∴甲返回C地所需的时间为 ．
42
(75 103) 3830
∴乙到达时甲距离A地450= −5−2× ×120= ，
7 42 7
3830
故答案为： ．
7第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，直线l :y=2x+1与直线l :y=−x+4相交于点
1 2
P(1,b)，直线l 与l 与x轴分别交于A、B两点．
1 2
{2x−y=−1)
(1)求b的值，并结合图象写出关于x、y的方程组 的解；
−x−y=−4
(2)求△ABP的面积；
(3)垂直于x轴的直线x=a与直线l 、l 分别交于点C、D，若线段CD的长为4，求出a的值．
1 2
{x=1)
【答案】(1)3，
y=3
27
(2)
4
7 1
(3) 或−
3 3
【分析】（1）把点P(1,b)代入y=2x+1，得b=3，则P(1,3)，由直线l :y=2x+1与直线l :y=−x+4
1 2
{y=2x+1) {x=1) {2x−y=−1)
相交于点P(1,3)可得，方程组 的解为 ，由此即可得出方程组 的解；
y=−x+4 y=3 −x−y=−4
（2）先求出直线l :y=2x+1与x轴的交点A的坐标，再求出直线l :y=−x+4与x轴的交点B的坐标，然
1 2
1
后求出线段AB的长，再利用三角形的面积公式可得S = AB⋅y ，由此即可求出△ABP的面积；
△ABP 2 P
（3）由题意得，直线x=a与直线l 的交点C的坐标为(a,2a+1)，与直线l 的交点D的坐标为(a,−a+4)，
1 2
由CD=4可得|2a+1−(−a+4))=4，即|3a−3)=4，解方程即可求出a的值．
【详解】（1）解：把点P(1,b)代入y=2x+1，得：
b=2×1+1=3，
∴P(1,3)，∵直线l :y=2x+1与直线l :y=−x+4相交于点P(1,3)，
1 2
{y=2x+1) {x=1)
∴方程组 的解为 ，
y=−x+4 y=3
{2x−y=−1) {x=1)
∴方程组 的解为 ；
−x−y=−4 y=3
（2）解：对于直线l :y=2x+1，
1
令y=0，则2x+1=0，
1
解得：x=− ，
2
( 1 )
∴A − ,0 ，
2
对于直线l :y=−x+4，
2
令y=0，则−x+4=0，
解得：x=4，
∴B(4,0)，
( 1) 9
∴AB=4− − = ，
2 2
1 1 9 27
∴S = AB⋅y = × ×3= ；
△ABP 2 P 2 2 4
（3）解：由题意得：
直线x=a与直线l 的交点C的坐标为(a,2a+1)，与直线l 的交点D的坐标为(a,−a+4)，
1 2
∵CD=4，
∴|2a+1−(−a+4))=4，
即：|3a−3)=4，
7 1
解得：a= 或− ．
3 3
【点睛】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一元
一次方程的应用（几何问题），三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并运用数形结合思想是
解题的关键．
18．（6分）（24-25八年级上·山东青岛·期末）在平面直角坐标系中，直线l :y=k x+b与直线
1 1
l :y=k x+4交于A(1,3)，直线l 交y轴于点C(0,1)，直线l 分别交x轴、y轴于点B，D．
2 2 1 2(1)分别写出直线l 和l 的表达式为 ， ；（直接写答案）
1 2
(2)点C到直线AB的距离为 ；（直接写答案）
(3)点P为直线l 上一动点，若S =S ，求点P的坐标；
2 △APC △AOC
(4)在该平面内找一点Q，使它到四个顶点的距离之和QA+QO+QB+QC最小，求点Q的坐标．
【答案】(1)y=2x+1，y=−x+4
3❑√2
(2)
2
(4 8) (2 10)
(3)点P的坐标为 , 或 , ；
3 3 3 3
( 4 12)
(4)Q , ．
13 13
【分析】本题考查了一次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，线段的性
质，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
（1）把A(1,3)，点C(0,1)代入y=k x+b得，解方程组得到直线l ：y=2x+1；把A(1,3)代入y=k x+4
1 1 2
解方程得到直线l 的表达式为y=−x+4；
2
（2）过C作CH⊥AB于H，求得B(4,0)，D(0,4)，求得OD=OB=4，推出△CHD是等腰直角三角形，
据此求解即可；
(4 8)
（3）根据S =S ，得到点P在过原点且平行于AC的直线上，解方程组得到点P的坐标为 ,
△APC △AOC 3 3
(2 10)
；②把直线l ，向上平移1个单位长度得y=2x+2，解方程组得到P , ；
2 3 3
（4）如图，连接AO，BC交于一点Q，则点Q到四个顶点的距离之和QA+QO+QB+QC最小，联立，
解方程组，于是得到结论．
【详解】（1）解：把A(1,3)，点C(0,1)代入y=k x+b得，
1
{k +b=3)
1 ，
b=1{k =2)
解得 1 ，
b=1
∴直线l ：y=2x+1；
1
把A(1,3)代入y=k x+4得3=k +4，
2 2
∴k =−1，
2
∴直线l 的表达式为y=−x+4；
2
故答案为：y=2x+1，y=−x+4；
（2）解：过C作CH⊥AB于H，
在y=−x+4中，令x=0，则y=4，令y=0，则x=4，
∴B(4,0)，D(0,4)，
∴OD=OB=4，
∵∠BOD=90°，
∴∠BDO=45°，
∴△CHD是等腰直角三角形，
∵CD=OD−OC=3，
❑√2 3❑√2
∴CH=CH=DH= CD= ，
2 2
3❑√2
∴点C到直线AB的距离为 ，
2
3❑√2
故答案为： ；
2
（3）解：∵S =S ，
△APC △AOC
∴①点P在过原点且平行于AC的直线上，
∴直线OP的解析式为y=2x，4
{ x= )
{ y=2x ) 3
解 得 ，
y=−x+4 8
y=
3
(4 8)
∴P , ；
3 3
②把直线l ，向上平移1个单位长度得y=2x+2，
2
2
{ x= )
{y=2x+2) 3
解 得 ，
y=−x+4 10
y=
3
(2 10)
∴P , ，
3 3
(4 8) (2 10)
综上所述，若S =S ，点P的坐标为 , 或 , ；
△APC △AOC 3 3 3 3
（4）解：如图，连接AO，BC交于一点Q，
则点Q到四个顶点的距离之和QA+QO+QB+QC最小，
∵A(1,3)，
∴直线OA的解析式为y=3x，
∵C(0,1)，B(4,0)，
1
∴直线BC的解析式为y=− x+1，
4
4
{
y=3x
)
{ x= )
13
解 1 得 ，
y=− x+1 12
4 y=
13
( 4 12)
∴Q , ．
13 13
19．（8分）（24-25八年级上·陕西榆林·期末）【问题探究】（1）如图1，在长方形ABCD中，AB=5，BC=8，点E为BC的中点，点F为边CD上的一个动点，连接
AF、EF，求AF+EF的最小值；
【问题解决】
（2）为丰富学生的校园生活，某校欲修建一块研学基地，为同学们开设实践探究课．如图2，AE、OC是
校园内两条互相垂直的小路（宽度不计），以两条小路的交点O为坐标原点，小路AE所在直线为x轴，
OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，四边形ABDE是规划中的基地示意图，其中A(−8,0)，B(−8,9)
，D(8,9)，E(8,0)，点C在BD上，BC的中点M处有一个出入口，学校计划在OC上取点N，并沿AN、
MN修建两条通道，根据设计要求，AN与MN的长度之和最小．
①请你求出当AN与MN的长度之和最小时，MN所在直线的函数表达式；
②当AN与MN的长度之和最小时，在线段AE（含端点）上取点H，使得△ANH为等腰三角形，并将等
腰△ANH区域修建为研学探究区，请你求出所有符合条件的点H的坐标．
3 ( 7 )
【答案】（1）13；（2）①y=− x+6；②H(8,0)或H(2,0)或H − ,0 ．
4 4
【分析】（1）如图，延长BC到P，使得PC=EC，连接AP、FP，证明CD垂直平分线EP，得EF=FP
，由两点之间线段最短得FA+FP≥AP，从而得AF+EF=FA+FP≥AP，结合勾股定理即可得解；
（2）①如图，连接ME交OC于N′，连接AN′，由题意可得OA=OE=BC=CD=8，OC⊥AE，
AB=OC=DE=9，则OC垂直平分AE，由（1）得当N于N′重合时，AN与MN的长度之和最小，最小
值为ME的长；设MN所在直线的函数表达式为y=kx+b，利用待定系数法求解即可；②分AN=NH，
当AN=AH，AH=NH三种情况讨论求解即可得解．
【详解】解：（1）如图，延长BC到P，使得PC=EC，连接AP、FP，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠BCD=90°，
∴CD⊥EP，∵BC=8，点E为BC的中点，
∴CD垂直平分线EP，EC=BE=PC=4，
∴EF=FP，BP=BC+PC=12，
由两点之间线段最短得FA+FP≥AP，
∴AF+EF=FA+FP≥AP，
∵AB=5，BP=12，∠B=90°，
∴AP=❑√52+122=13，
∴AF+EF的最小值为13；
（2）①如图，连接ME交OC于N′，连接AN′，由题意可得OA=OE=BC=CD=8，OC⊥AE，
AB=OC=DE=9，
∴OC垂直平分AE，
由（1）得当N于N′重合时，AN与MN的长度之和最小，最小值为ME的长；
当AN与MN的长度之和最小时，得当N于N′重合，设MN所在直线的函数表达式为y=kx+b，
∵A(−8,0)，B(−8,9)，D(8,9)，E(8,0)，点C在BD上，
∴C(0,9)，
∵M为BC的中点，
∴M(−4,9)，
把M(−4,9)，E(8,0)代入y=kx+b得
{9=−4k+b)
0=8k+b
{ k=− 3 )
解得 4 ，
b=6
3
∴MN所在直线的函数表达式为y=− x+6；
4
②当AN=NH时，如图，∵ON⊥AH
∴OA=OH=8，
∴H(8,0)；
当AN=AH时，如图，
3
由（2）①得y=− x+6
4
当x=0时，y=6，
∴N(0,6)，ON=6，
∴AH=AN=❑√62+82=10，
∵A(−8,0)，
∴H(−18,0) (不符合题意，舍去)或H(2,0)；
当AH=NH时，如图，
∵A(−8,0)，
∴OH=8−AH，
在Rt△HON中，N H2=OH2+ON2，
∴AH2=(8−AH) 2+62，25
∴AH= ，
4
7
∴OH=OA−AH= ，
4
( 7 )
∴H − ,0 ，
4
( 7 )
综上，H点的坐标为H(8,0)或H(2,0)或H − ,0 ．
4
【点睛】本题主要考查了勾股定理、求一次函数解析式，坐标与图形，两点之间，线段最短，坐标与图
形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理，两点之间，线段最短，坐标与图形及线段垂直平分线的
性质是解题的关键．
20．（8分）（24-25八年级上·福建三明·期末）设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列面积公
式：
√ 1[ (a2+b2−c2 ) 2 )
S=❑ a2b2− （秦九韶公式）；
4 2
a+b+c
S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)（海伦公式），其中p= ．
2
如图1，在△ABC中，AC=3，AB=5，BC=7．
(1)求△ABC的面积．
(2)以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
①证明：∠CAB=120°；
②已知“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”．设△ABC的三条角平分线交于一点T，求点T的
坐标．
15❑√3
【答案】(1)
4
(1 ❑√3)
(2)①详见解析；②T ,
2 2【分析】（1）根据秦九韶公式或海伦公式计算即可；
3❑√3
（2）①过C作x轴，y轴的垂线，垂足分别为D，E．由等面积法求解CD= ，可得
2
3 3❑√3 3
AD=❑√AC2−CD2= ，证明△ACD≌△CAE，可得AE=CD= ，CE=AD= ．延长CE到点F，
2 2 2
3
使得EF=CE= ．则AE为线段CF的垂直平分线．证明△ACF为等边三角形．再进一步求解即可；
2
( 3 3❑√3) (3 3❑√3)
②由（2）知，C − , ，则F , ．如图，连接AT，BT，CT．设T到△ABC各边的距离
2 2 2 2
❑√3 (3 3❑√3)
为d．由等面积法求解d= ，设直线AF的函数表达式为y=kx，F , ，再进一步求解即可.
2 2 2
【详解】（1）解：依题意，在△ABC中，a=7,b=3,c=5．
√ 1[ (a2+b2−c2 ) 2 )
根据秦九韶公式，△ABC的面积S=❑ a2b2− ．
4 2
√ 1[ (72+32−52 ) 2 )
=❑ 72×32− ．
4 2
=❑
√1[
72×32−
(33) 2 )
4 2
3
= ❑√22×72−112
4
15❑√3
= ．
4
依题意，在△ABC中，a=7，b=3，c=5，
a+b+c 15
则p= = ．
2 2
根据海伦公式，△ABC的面积S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)．
√15 1 9 5
=❑ × × ×
2 2 2 2
15❑√3
= ．
4（2）解：①过C作x轴，y轴的垂线，垂足分别为D，E．
1 5
则△ABC的面积S= AB⋅CD= CD．
2 2
15❑√3
由（1）知，S= ．
4
5 15❑√3
∴ CD= ，
2 4
3❑√3
∴CD= ．
2
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，
∴AD=❑√AC2−CD2=❑
√
32−
(3❑√3) 2
=
3
．
2 2
∵CD∥AE，
∴∠DAC=∠ECA．
又∵∠ADC=∠CEA=90°，AC=CA．
∴△ACD≌△CAE．
3❑√3 3
∴AE=CD= ，CE=AD= ．
2 2
3
延长CE到点F，使得EF=CE= ．
2
则AE为线段CF的垂直平分线．
∴AF=AC=3．
又∵CF=CE+EF=3，
∴△ACF为等边三角形．
1
∴∠CAE=∠FAE= ×60°=30°．
2
∴∠CAB=∠CAE+∠BAE=30°+90°=120°．( 3 3❑√3) (3 3❑√3)
②由（2）知，C − , ，则F , ．
2 2 2 2
如图，连接AT，BT，CT．
∵T ∠BAC
在 的平分线上，
∴T到AB的距离与T到AC的距离相等．
同理，T到BC的距离与T到AC的距离相等．
即T到△ABC各边的距离相等．
设T到△ABC各边的距离为d．
1 5d 1 3d 1 7d
则△TAB，△TAC，△TBC的距离分别为S = AB⋅d= ，S = AC⋅d= ，S = BC⋅d= ．
1 2 2 2 2 2 3 2 2
15d
则S=S +S +S = ．
1 2 3 2
15❑√3
又∵S= ，
4
15d 15❑√3
∴ = ．
2 4
❑√3
∴d= ．
2
( ❑√3)
∵T在x轴上方，故可设T t, ．
2
(3 3❑√3)
设直线AF的函数表达式为y=kx，F , ．
2 2
3 3❑√3
则 k= ，
2 2
∴k=❑√3．
∴直线AF的函数表达式为y=❑√3x．
∵AF是∠BAC的平分线，∴点T在AF上，
❑√3
∴❑√3t= ．
2
1
解得t= ．
2
(1 ❑√3)
∴T , ．
2 2
【点睛】本题考查的是三角形的面积的计算，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，坐标
与图形，角平分线的性质，正比例函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
21．（10分）（24-25八年级上·浙江温州·期末）根据提供的材料解决问题．
内容
某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元/斤：乙品种葡萄的
进货总金额y（单位：元）与乙品种葡萄的进货量x（单位：斤）之间的关系如图
所示，经过试销，在H城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元/斤和14
元/斤．
材
料
一
材
在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙
料
品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤．
二
材
葡萄运到H城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两
料
种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者．
三
任
务 求图中直线MN函数解析式．
一
若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，
任
设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为w元（利润=销售额−成本）．求出
务
w（单位：元）与乙品种葡萄的进货量x（单位：斤）之间的函数关系式，并为该
二
商贸公司设计出获得最大利润的收购方案．任 1
在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的 让利给购买者，那么混
务 3
三 合销售葡萄的销售价应定为多少？
【答案】任务一：y=10x+100
任务二：w=2x+3700，乙葡萄的进货量为1000斤，甲葡萄的进货量为1000斤
任务三：9.55元/斤
【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出函数的解析式是解题的关键．
任务一：利用待定系数法求解即可；
任务二：根据题意，分别将甲、乙两种葡萄的进货量及各自的销售总额用含x的代数式表示出来，再根据
“总利润=甲品种葡萄的利润+乙品种葡萄的利润−200”列式并化简，根据w随的变化情况和x的取值范
围，确定当x为何值时w取最大值，并求出最大值，从而求出此时甲品种葡萄的进货量；
任务三：求出混合销售葡萄获得的利润及甲、乙两种品种葡萄的进货总金额，从而计算出成本，根据“销
售定价=（成本+利润）÷销售数量”作答即可．
【详解】解：任务一：设直线MN函数解析式为y=kx+b,
将(50,600)，(100,1100)代入，得
{ 600=50k+b )
，
1100=100k+b
{k=10
)
解得 ，
b=100
∴直线MN函数解析式为y=10x+100．
任务二：由题意可得：乙葡萄的进货量为x斤，甲葡萄的进货量为(2000−x)斤，
乙葡萄的利润=14x−(10x+100)=4x−100，
甲葡萄的利润=(7−5)×(2000−x)=4000−2x，
∴w=(4x−100)+(4000−2x)−200=2x+3700，
∵400≤x≤1000，
∴x=1000时，利润最大，
此时2000−x=1000 ，
即乙葡萄的进货量为1000斤，甲葡萄的进货量为1000斤．
任务三：当利润最大时，甲、乙葡萄的进货量都为1000斤，
总成本=1000×5+(10×1000+100)+200=15300（元），
总利润=2×1000+3700=5700（元），
1 2
让利给购买者 后的利润=5700× =3800（元），
3 3总销售额为：=15300+3800=19100（元），
19011
销售价= =9.55（元/斤），
2000
即销售价应定为：9.55元/斤．
22．（10分）（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l :y=k x+b经过点
1 1
A(0,3)，B(−1,1)，与x轴交于点C，直线l :y=k x+1(k ≠0)．
2 2 2
(1)求直线l 的函数表达式；
1
(2)若k =1，将直线l 沿y轴向上平移n(n>0)个单位长度，当平移后的直线经过点C时，求n的值；
2 2
(3)①无论k (k ≠0)的值怎样变化，直线l :y=k x+1都过定点________；
2 2 2 2
②若当x从0开始逐渐增大时，函数y=k x+1的值比直线l 对应函数的值先到达9，求k 的取值范围；
2 1 2
(4)已知直线x=3（直线上所有点的横坐标都为3），若直线l :y=k x+1（k ≠0且k ≠1）直线
2 2 2 2
l :y=x+k 与直线x=3围成的三角形的面积是4，直接写出k 的值．
3 2 2
【答案】(1)y=2x+3
1
(2)n=
2
8
(3)① (0,1) ② k >
2 3
(4)k =3或k =−1
2 2
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）先求出点C的坐标，再根据平移过程写出平移后的直线解析式，最后把点C坐标代入即可求解；
（3）①根据函数表达式的特征即可求解；②根据“函数y=k x+1的值比直线l 对应函数的值先到达9”列出一元一次不等式，解出k 的范围即可求
2 1 2
解；
（4）如图所示，根据题意表示出三条直线的交点坐标，再表示出三条直线围成的三角形的面积，令其等
于4，解绝对值方程即可．
【详解】（1）解：设直线l 的函数表达式为l :y=k x+b(k ≠0)，
1 1 1 1
∵直线l 经过点A(0,3)，B(−1,1)，
1
∴ { b=3 )
，
−k +b=1
1
{k =2)
解得： 1 ，
b=3
∴直线l 的函数表达式为y=2x+3；
1
3
（2）解：当y=0时，x=− ，
2
( 3 )
∴点C的坐标为 − ,0 ，
2
∵k =1，
2
∴直线l 的函数表达式为y=x+1，
2
∵将直线l 沿y轴向上平移n(n>0)个单位长度，
2
∴平移后的直线的函数表达式为y=x+1+n，
∵平移后的直线经过点C，
( 3 )
∴将C − ,0 代入y=x+1+n中，得
2
3
0=− +1+n，
2
1
解得：n= ；
2
（3）解：①无论k (k ≠0)的值怎样变化，直线l :y=k x+1都过定点(0,1)，
2 2 2 2
故答案为：(0,1)；
②当y=9时，2x+3=9，
解得：x=3，
将x=3代入y=k x+1中，
2得y=3k +1，
2
∵函数y=k x+1的值比直线l 对应函数的值先到达9，
2 1
∴3k +1>9，
2
8
解得：k > ；
2 3
{y=k x+1) { x=1 )
（4）解：由 2 ，解得： ，
y=x+k y=k +1
2 2
即直线l 与直线l 交于点P(1,k +1)，如图所示，
2 3 2
把x=3分别代入l 、l 得y=3k +1、y=3+k ，
2 3 2 2
即直线x=3分别与l 、l 交于点M(3,3k +1)、N(3,k +3)，如图所示，
2 3 2 2
则MN=|3k +1−(k +3))=|2k −2)，
2 2 2
作PQ⊥MN于Q，则PQ=3−1=2，
1 1
则S = MN⋅PQ= ×|2k −2)×2=|2k −2)，
△PMN 2 2 2 2
又S =4，
△PMN
∴|2k −2)=4，
2
解得：k =3或k =−1．
2 2
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的平移规律、一次函数图象上点的坐标特
征、一次函数的性质、两直线的交点与二元一次方程组的解的关系、解一元一次不等式等知识点，熟练掌
握以上知识是解答本题的关键．
23．（12分）5月12号是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而出现不安全因素、通过观察，发现七年级学生从放
学时刻起，准备通过楼梯口的人数y
1
(人)与时间x(分钟)满足关系：y
1
= {
−5
1
x
0
+
x
7
(
5
0
(
≤
5
x
<
≤
x
5
≤
)
15)
) ，八年级
学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数y (人)与时间x(分钟)满足如图的关系．已知两个年级同时准
2
备通过楼梯口的人数超过70人，就会发生拥堵．
(1)试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数y (人)和时间x(分钟)之间的函数关系式；
2
(2)若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵？
(3)为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，请通过计算说明学校
的这一举措是否有效．
【答案】(1) y = { 8x(0≤x≤5) ) ；
2 −4x+60(5<x≤15)
35
(2)第 分钟后会开始拥堵
9
(3)举措有效，见解析
【分析】本题考查了一次函数的应用．
（1）利用待定系数法分别求解即可；
（2）设楼梯口的总人数为y人，当0≤x≤5时，则y=18x，据此列不等式计算即可求解；
（3）学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，则y = { 8(x−5)(5≤x≤10) ) ，据此楼梯口的总人数
2 −4(x−5)+60(10<x≤20)
{
10x(0≤x≤5)
)
−5x+75+8x−40(5<x≤10)
y=
为 ，画出图象，根据函数图象即可求解．
−5x+75−4x+80(10<x≤15)
−4x+80(15<x≤20)【详解】（1）解：当0≤x≤5时，设直线的解析式为y=kx，
将(5,40)代入得，40=5k，解得k=8，
∴y=8x；
当5<x≤15时，设直线的解析式为y=ax+b，
{5a+b=40) {a=−4)
将(5,40)和(15,0)代入得， ，解得 ，
15a+b=0 b=60
∴y=−x+60；
y = { 8x(0≤x≤5) )
综上， ；
2 −4x+60(5<x≤15)
（2）解：设楼梯口的总人数为y人，
当0≤x≤5时，y=10x+8x=18x，
令y>70，则18x>70，
35
得x> ，
9
35
答：第 分钟后会开始拥堵；
9
（3）解：学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，有效，
y = { 8(x−5)(5≤x≤10) )
由题意得 ，
2 −4(x−5)+60(10<x≤20)
y = { 8x−40(5≤x≤10) )
即 ，
2 −4x+80(10<x≤20)
{
10x(0≤x≤5)
)
−5x+75+8x−40(5<x≤10)
y=
楼梯口的总人数为 ，
−5x+75−4x+80(10<x≤15)
−4x+80(15<x≤20)
{
10x(0≤x≤5)
)
3x+35(5<x≤10)
y=
即 ，
−9x+155(10<x≤15)
−4x+80(15<x≤20)
画出图象如图：由图可知，总人数最多为65人，小于70人，故不会发生拥堵．
24．（12分）（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，等边三角形ABC的边长为2，过顶点B作BC的垂
线MN，点P在直线MN上，分别以点P、C为圆心，PC长为半径画弧，两弧交于点Q，点P、Q、C按顺
时针方向排列，连接AQ．
【发现】
（1）点P在直线MN上运动的过程中，以下选项：①AB长；②AQ长；③点A到BC所在直线的距离；④
点Q到BC所在直线的距离．
其中，常量有：______，变量有：______（填序号即可）；
（2）在点P从点B出发沿BM方向运动的过程中，随着BP长度不断变大，点Q到BC所在直线的距离也随
着变______（填“大”或“小”）；
在点P从点B出发沿BN方向运动的过程中，随着BP长度不断变大，点Q到BC所在直线的距离是如何变化
的？______（直接写出结果）．
【表达】
（3）在点P从点B出发沿BM方向运动的过程中，设BP=x，求点Q到BC所在直线的距离y关于x的函数
表达式；
（4）在点P从点B出发沿BN方向运动的过程中，设BP=x，直接写出点Q到BC所在直线的距离y关于x
的函数表达式：______．1
【答案】（1）①③；②④；（2）大；先变小，再变大；（3）y= x+❑√3；（4）
2
1
{❑√3− x(0<x≤2❑√3))
2
y=
1
x−❑√3(x>2❑√3)
2
【分析】（1）根据△ABC是边长为2的等边三角形，可得AB=BC=AC=2，故①AB长为常量．连接
PQ，CQ，证明△BCQ≌△ACQ(SAS)，得到AQ=BP，故②AQ的长是变量．根据△ABC是边长为2的
等边三角形，可求得BC边上的高AD=❑√3，故③点A到BC的距离是常量．根据点Q在与AC垂直的直线
上运动，得到④点Q到BC的距离是变量．
（2）根据点Q的运动轨迹即可解答．
（3）过点Q作QH⊥BC于点H，则QH的长为点Q到BC的距离．连接QP，QC，证明
△BCQ≌△ACQ(SAS)，得到AQ=BP=x，∠QAC=∠PBC=90°，过点A作AD⊥BC于点D，根据
1
等边三角形的性质求得BD= AB=1，AD=❑√3，过点A作AE⊥QH于点E，得到四边形ADHE是矩
2
1 1 1
形，从而推出EH=AD=❑√3， ∠QAE=30°，进而QE= AQ= x，从而QH=QE+EH= x+❑√3，
2 2 2
即可解答．
（4）分两种情况讨论：①点Q在BC的上方时，②点Q在BC的下方时，同（3）的思路即可解答．
【详解】解：（1）∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，∠ABC=∠ACB=60°，
∴AB的长是常量．
连接PQ，CQ，由作图可得PQ=CQ=PC，
∴△QPC是等边三角形，
∴∠PCQ=60°，
∴∠ABC−∠ACP=∠PCQ−∠ACQ，
即∠BCP=∠ACQ，
在△BCP和△ACQ中
{
BC=AC
)
∠BCP=∠ACQ ，
PC=QC
∴△BCQ≌△ACQ(SAS)，
∴AQ=BP，
∴点P在直线MN上运动时，BP的长是变量，AQ的长也是变量．
过点A作AD⊥BC于点D，则AD的长为点A到BC的距离．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
1
∴∠BAD= ∠BAC=30°，
2
1 1
根据题意可得BD= AB= ×2=1，
2 2
∴AD=❑√AB2−BD2=❑√22−12=❑√3，
∴点A到BC的距离是常量．
∵△BCQ≌△ACQ，
∴∠QAC=∠PBC=90°，
∴点Q在与AC垂直的直线上运动，
∴点Q到BC的距离是变量．综上所述，点P在直线MN上运动的过程中，常量有：①AB长，③点A到BC所在直线的距离；变量有：
②AQ长，④点Q到BC所在直线的距离．
故答案为：①③；②④
（2）∵点Q在与AC垂直的直线上运动，且AQ=BP，
∴点P从点B出发沿BM方向运动的过程中，随着BP长度不断变大，AQ的长度不断变大，点Q离BC越来
越远，即点Q到BC所在直线的距离也随着变大；
在点P从点B出发沿BN方向运动的过程中，随着BP长度不断变大，AQ的长度不断变大，点Q离BC越来
越近，然后又逐渐远离BC，即点Q到BC所在直线的距离先变小，后变大．
故答案为：大；先变小，再变大
（3）过点Q作QH⊥BC于点H，则QH的长为点Q到BC的距离．
连接QP，QC，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，∠ABC=∠ACB=60°，
由作图可得PQ=CQ=PC，
∴△QPC是等边三角形，
∴∠PCQ=60°，
∴∠ABC−∠ACP=∠PCQ−∠ACQ，
即∠BCP=∠ACQ，
在△BCP和△ACQ中
{
BC=AC
)
∠BCP=∠ACQ ，
PC=QC
∴△BCQ≌△ACQ(SAS)，∴AQ=BP=x，∠QAC=∠PBC=90°
过点A作AD⊥BC于点D，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
1
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=30°，
2
1 1
根据题意可得BD= AB= ×2=1，
2 2
∴AD=❑√AB2−BD2=❑√22−12=❑√3，
过点A作AE⊥QH于点E，
∴四边形ADHE是矩形，
∴∠DAE=90°，EH=AD=❑√3，
∴∠CAE=∠DAE−∠DAC=90°−30°=60°，
∴∠QAE=∠QAC−∠CAE=90°−60°=30°，
1 1
∴在Rt△AQE中，QE= AQ= x，
2 2
1
∴QH=QE+EH= x+❑√3，
2
1
∴点Q到BC所在直线的距离y关于x的函数表达式为y= x+❑√3．
2
（4）当点Q在BC的上方时，
过点Q作QH⊥BC于点H，则QH的长为点Q到BC的距离．
过点A作AD⊥BC于点D，过点Q作QE⊥AD于点E，
同（3）同理可得△ACQ≌△BCP，AQ=BP=x，∠QAC=∠PBC=90°，
∴∠QAE=∠QAC−∠CAD=90°−30°=60°，
∴∠AQE=180°−∠AEQ−∠QAE=30°，
1 1
∴AE= AQ= x，
2 2
1
∴DE=AD−AE=❑√3− x，
2
∵四边形ADHE是矩形，
1
∴QH=DE=❑√3− x，
2
1
∴y=❑√3− x(0<x≤2❑√3)．
2
当点Q在BC的下方时，
过点Q作QH⊥BC于点H，则QH的长为点Q到BC的距离．
过点A作AD⊥BC于点D，过点A作AE⊥QH于点E，
同（3）同理可得△ACQ≌△BCP，
∴AQ=BP=x，∠QAC=∠PBC=90°，
∴∠QAD=∠QAC−∠CAD=90°−30°=60°，
∵四边形ADHE是矩形，
∴∠EAD=90°
∴∠QAE=∠EAD−∠QAD=30°，
1 1
∴EQ= AQ= x，
2 2
∵在矩形ADHE中，EH=AD=❑√3，
1
∴QH=EQ−EH= x−❑√3，
21
∴y= x−❑√3(x>2❑√3)．
2
1
{❑√3− x(0<x≤2❑√3))
2
综上所述，点Q到BC所在直线的距离y关于x的函数表达式为y=
．
1
x−❑√3(x>2❑√3)
2
1
{❑√3− x(0<x≤2❑√3))
2
故答案为：y=
1
x−❑√3(x>2❑√3)
2
【点睛】本题考查常量与变量，点到直线的距离，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定
理，含30°角的直角三角形的性质，矩形的判定及性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关
键．
