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第19章 一次函数压轴题综合测试卷
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知(x ,y )，(x ,y )，(x ,y )为直线y=2x−4上的三个
1 1 2 2 3 3
点，且x 0，则y y >0 B．若x x ＞0，则y y ＞0
1 3 1 2 1 2 1 3
C．若x x <0，则y y >0 D．若x x <0，则y y >0
2 3 2 3 2 3 1 2
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握数形结合的思想以及举反例的方法是解题的关键．
先求出此直线交y轴于(0,−4)，交x轴于(2,0)，画出图象，结合一次函数的增减性逐项判断即可解答，
【详解】解：当x=0时，y=−4，则此直线交y轴于(0,−4)，
当y=0时，y=2x−4，解得：x=2，则此直线交x轴于(2,0)，
当x<2时，y<0；当x>2时，y>0；
画出一次函数y=2x−4的图象如图所示：
，
A．若x x >0且x x >2，则y <0，y >0，即y y <0，即A选项不符合题意；
1 2 3 1 3 2 1 2 1 2
B．若x x >0且x 2，则y <0,y >0，即y y <0，即B选项不符合题意；
1 2 3 1 3 1 3 1 3C．若x x <0且x 2，则y <0，y >0，即y y <0，即C选项不符合题意；
2 3 2 3 2 3
D．若x x <0且x 0，即D选项符合题意．
1 2 1 2
故选：D．
2．（3分）（24-25八年级·浙江湖州·期末）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于
点D．动点P从点A出发，沿着A→D→C的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，过点P作
PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于F．在此过程中四边形CEPF的面积y与运动时间x的函数关系图象如图
2所示，则AB的长是（ ）
A．4 B．2❑√6 C．2❑√2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图2中拐点的纵坐标3，得到四边形CEPF的面积y=3，此时
点P运动到点D，可证明四边形CEPF是正方形，面积为3，那么正方形的边长AP为❑√3，易得△AEP为等
腰直角三角形，即得到AP长为❑√6，进而求出AB长度为2❑√6，解题的关键理解拐点的纵坐标表示的意义
及动点此时所在的位置．
【详解】解：∵动点P从点A出发，沿着A→D→C的路径运动，
∴第一个拐点的位置在点D处，此时点P运动到点D，
∵图2中拐点的纵坐标3，
∴四边形CEPF的面积为3，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠CED=∠CFD=∠AED=90°，
∵∠ACB=90°，
∴ 四边形CEPF是矩形，
∵△ABC是等腰直角三角形，CD⊥AB，∴∠ACD=∠BCD，∠A=45°，AB=2AP，
∴DE=DF，∠ADE=45°，
∴四边形CEPF是正方形，AE=PE，
∴△AED是等腰直角三角形，
∵四边形CEPF的面积为3，
∴PE=❑√3，
∴AP=❑√3×❑√2=❑√6，
∴AB=2AP=2❑√6，
故选：B．
1
3．（3分）（24-25八年级上·广东深圳·期末）已知直线l :y=kx+b与直线l :y=− x+m都经过
1 2 2
( 4 12)
E − , ，直线l 交x轴于点A，交y轴于点B(0,4)，直线l 交y轴于点C，交x轴于点D．直线l ∥直
5 5 1 2 3
线l 且经过原点，且与直线l 交于点F．点P为x轴上任意一点，连接PC、PF．对于以下结论，错误的是
1 2
（ ）
4
{
y=kx+b
)
{ x=− )
5
A．方程组 1 的解为 B．S =3
y=− x+m 12 △OFD
2 y=
5
(4 )
C．△AED为直角三角形 D．当PF+PC的值最小时，点P的坐标为 ,0
9
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，轴对称-最短路径问题，勾股定理及逆定理，正确地4
{
y=kx+b
)
{ x=− )
5
求得函数解析式是解题的关键．A、根据题意得到方程组 1 的解为 ，故不符合题
y=− x+m 12
2 y=
5
( 4 12)
意；B、把E − , ，B(0,4)代入y=kx+b解方程组得到直线l :y=2x+4，求得直线l 的解析式为
5 5 1 3
( 4 12) 1 1 (4 8)
y=2x，把E − , ，代入y=− x+m得得到直线l :y=− x+2，解方程组得到F , ，得到
5 5 2 2 2 5 5
1 8 16
D(4,0)，根据三角形的面积公式得到S = ×4× = ，故符合题意；C、解方程得到A(−2,0)，根
△OFD 2 5 5
据勾股定理和勾股定理的逆定理得到△AED为直角三角形；不符合题意；D、作点C故x轴的对称点C′连
接′❑F交x轴于P，此时，PF+PC的值最小，设直线C′P的解析式为y=mx+n，解方程组得到直线C′P
9 4 (4 )
的解析式为y= x−2，当y=0时，x= 得到P ,0 ，不符合题意，据此解答即可．
2 9 9
1 ( 4 12)
【详解】解：A、∵直线l :y=kx+b与直线l :y=− x+m都经过E − , ，
1 2 2 5 5
4
{
y=kx+b
)
{ x=− )
5
∴方程组 1 的解为 ，故此选项正确，不符合题意；
y=− x+m 12
2 y=
5
( 4 12)
B、∵直线l 交x轴于点A，交y轴于点B(0,4)，直线l :y=kx+b经过E − , ，
1 1 5 5
{ − 4 k+b= 12 ) {k=2)
∴ 5 5 ，解得， ，
b=4
b=4
∴直线l :y=2x+4，
1
∵直线l ∥直线l 且经过原点，
3 1
∴直线l 的解析式为y=2x，
3
( 4 12) 1 12 1 ( 4)
把E − , 代入y=− x+m得， =− × − +m，
5 5 2 5 2 5
∴m=2，
1
∴直线l :y=− x+2，
2 24
{ y=− 1 x+2) { x= 5 )
解 2 得 ，
8
y=2x y=
5
(4 8)
∴F , ，
5 5
1 1
在y=− x+2中，令y=0，则− x+2=0，解得x=4，
2 2
∴D(4,0)，
1 8 16
∴S = ×4× = ，故此选项错误，符合题意；
△OFD 2 5 5
C、在y=2x+4中，令y=0，则2x+4=0，
∴x=−2，
∴A(−2,0)，
∴AE2= ( −2+ 4) 2 + (12) 2 = 36 ，DE2= ( 4+ 4) 2 + (12) 2 = 144 ，
5 5 5 5 5 5
AD2=(−2−4) 2=36，
∴AE2+DE2=AD2，
∴∠AED=90°，
∴△AED为直角三角形，故此选项正确，不符合题意；
D、∵直线l 交y轴于点C，
2
∴C(0,2)，
如图，过点C作x轴的对称点C′连接C′F交x轴于P，此时，PF+PC的值最小，
设直线′❑P的解析式为y=mx+n，
∵′❑(0,−2)，{
n=−2
)
∴ 4 8 ，
m+n=
5 5
{ m= 9 )
∴ 2 ，
n=−2
9
∴直线C′P的解析式为y= x−2，
2
4
当y=0时，x= ，
9
(4 )
∴P ,0 ，故此选项正确，不符合题意；
9
故选：B．
4．（3分）（24-25八年级·重庆忠县·期末）如图，已知点A的坐标为(−4,5)，OA=AB，点B在y轴的正
半轴上，边长为2❑√5的正方形OCDE绕点O旋转，当D、B、E三点共线时，AC=（ ）
A．❑√5 B．❑√5或2❑√5 C．2❑√5或❑√85 D．❑√5或❑√85
【答案】D
【分析】当点D在BE上时，过A作AP⊥y轴于P，过C作CH⊥x轴于H，过E作EF⊥x轴于F，先求
b
得点B坐标， 设C(a,b)，则直线OC的表达式为y= x，证明△CHO≌△OFE(AAS)得到点E坐标，进
a
b b2
而利用待定系数法求得直线BE的函数表达式为y= x−a− ，由点B坐标和勾股定理求得a=−2，
a a
b=4（负值已舍去），则C(−2,4)，再利用两点坐标距离公式求解即可；当点E在BD上时，同理可求
解．
【详解】解：根据题意，分两种情况：
当点D在BE上时，如图，过A作AP⊥y轴于P，过C作CH⊥x轴于H，过E作EF⊥x轴于F，∵A的坐标为(−4,5)，OA=AB，
∴BP=OP=5，则OB=10，
∴B(0,10)，
b
设C(a,b)，则直线OC的函数表达式为y= x，
a
∵四边形OCDE是边长为2❑√5的正方形，
∴OC=OE=2❑√5，OC∥DE，∠COE=90°，
∴∠COH+∠EOF=∠EOF+∠OEF=90°，
∴∠COH=∠OEF，又∠CHO=∠OFE=90°，
∴△CHO≌△OFE(AAS)，
∴OF=CH=b，EF=OH=−a，
∴E(b,−a)，
∵OC∥DE，
b
∴设直线BE的函数表达式为y= x+t，
a
b2 b2
将E(b,−a)代入，得−a= +t，解得t=−a− ，
a a
b b2
∴直线BE的函数表达式为y= x−a− ，
a a
由题意，点B在直线BE上，
b2
∴−a− =10，则a2+b2=−10a，
a
∵OC2=a2+b2=(2❑√5) 2=20，
∴a=−2，b=4（负值已舍去），
∴C(−2,4)，∴AC=❑√(−2+4) 2+(4−5) 2=❑√5；
当点E在BD上时，如图，
b
设C(a,b)，同理可求得直线OC的函数表达式为y= x，E(b,−a)，直线BE的函数表达式为
a
b b2
y= x−a− ，
a a
由题意，点B在直线BE上，
b2
∴−a− =10，则a2+b2=−10a，
a
∵OC2=a2+b2=(2❑√5) 2=20，
∴a=−2，b=−4（正值已舍去），
∴C(−2,−4)，
∴AC=❑√(−2+4) 2+(−4−5) 2=❑√85；
综上，AC=❑√5或❑√85，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解
析式、正方形的性质、勾股定理、旋转的性质等知识，利用数形结合、分类讨论及函数思想是解答的关
键．
5．（3分）（24-25八年级上·陕西铜川·期末）已知在平面直角坐标系中，直线
l :y=kx+b(k、b为常数,且k≠0)经过(−1,2)、(1,8)两点，将直线l 向下平移2个单位长度得到直线l
1 1 2
，下列关于直线l 的说法中，正确的是（ ）
2
A．与坐标轴围成的三角形面积为1 B．不经过第四象限
C．经过坐标原点 D．当x=2时，y的值为7【答案】B
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图象与性质．把点(−1,2)、(1,8)向下
平移2个单位长度，得到点(−1,0)、(1,6)，利用待定系数法求出直线l 的解析式是y=3x+3，根据一次函
2
数的解析式y=3x+3的解析式可知直线与坐标轴的交点坐标，从而可求直线与坐标轴围成的三角形的面
积；根据直线的走向和与y轴的交点可知直线不经过第四象限；根据直线l 与y轴交点纵坐标为3，可知直
2
线不过原点；把x=2代入解析式可以求出y=9．
【详解】解：把点(−1,2)、(1,8)向下平移2个单位长度，
得到点(−1,0)、(1,6)，
把点(−1,0)、(1,6)代入y=kx+b，
{−k+b=0)
可得： ，
k+b=6
{k=3)
解得： ，
b=3
∴直线l 的解析式为y=3x+3，
2
当x=0时，y=3，
∴直线l 与y轴的交点坐标为(0,3)，
2
当y=0，可得：3x+3=0，
解得：x=−1，
1 3
∴与坐标轴围成的面积是 ×1×3= ，
2 2
故A选项错误；
直线l 的解析式为y=3x+3，
2
∵3>0，
∴y随x的增大而增大，
且直线y=3x+3与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴直线y=3x+3经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故B选项正确；
∵直线y=3x+3与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴不经过坐标原点，
故C选项错误；
当x=2时，可得：y=3x+3=3×2+3=9，
故D选项错误．故选：B ．
6．（3分）（24-25八年级下·湖北武汉·期末）1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出
定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被
称为欧拉线．如图，已知△OAB的三个顶点分别为O(0,0)，A(2,4)，B(6,0)，则△OAB的欧拉线的解析
式为（ ）
x 20
A．y=2x−2 B．y= C．y=−x+4 D．y=−2x+
3 3
【答案】C
【分析】先根据中线的定义和待定系数法求解析式，求出△OAB三条中线的交点点G的坐标，再根据线段
垂直平分线的性质以及两点之间的距离公式求出△OAB三角形三边的垂直平分线的交点W(3,1)，再运用待
定系数法即可求解；
【详解】解：设AB,OB边上的中线为OD,AE交于点G，
则点D,E的坐标分别为(4,2)、(3,0)，
{2m+n=4) {m=−4)
设直线AE的表达式为y=mx+n，则 ，解得 ，
3m+n=0 n=12
故直线AE的表达式为y=−4x+12①，
1
由点O,D的坐标，同理可得直线OD的表达式为y= x②，
2
8
{ x= )
3 (8 4)
联立①②并解得 故点G的坐标为 , ；
4 3 3
y=
3
设△OAB三角形三边的垂直平分线的交点，为W(a,b)，则AW =OW =BW，
∴(a−2) 2+(b−4) 2=(a−6) 2+(b−0) 2=(a−0) 2+(b−0) 2，
解得a=3,b=1．可得W(3,1)．
(8 4)
设该三角形的欧拉线方程为y=kx+c，将W(3,1)，G , 代入可得：
3 3{1=3k+c
) {k=−1)
4 8 ，解得： ，
= k+c c=4
3 3
则该三角形的欧拉线方程为y=−x+4，
故选：C．
【点睛】该题主要考查了三角形中线的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间的距离公式，中点坐标公
式，待定系数法求一次函数解析式以及函数交点求解等知识点，解题的关键是求出点G和点W．
7．（3分）（24-25八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，直线l :y=−2x+4，直线
1
l :y=kx−1(k>0)，若l ，l 与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（ ）
2 1 2
1 1
A．2 B．1 C． D．
3 2
【答案】D
【分析】此题主要考查了两直线与y轴围成的图形面积问题．熟练掌握一次函数图象和性质，三角形面积
公式，待定系数法求函数解析式，是解题关键．
设l 交y轴于点A，l 交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作CD⊥y轴于点D，求出A(0,4)，
1 2
B(0,−1)，得到AB=4+1=5，根据l ，l 与y轴围成的三角形的面积为5，得到CD=2，代入y=−2x+4
1 2
1
求得C(2,0)，代入y=kx−1，即得k= ．
2
【详解】解：设l 交y轴于点A，l 交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作CD⊥y轴于点D，
1 2
∵y=−2x+4中，x=0时，y=4；y=kx−1中，x=0时，y=−1．
∴A(0,4)，B(0,−1)，
∴AB=4+1=5，
1
∵S = AB⋅CD=5，
△ABC 2
∴CD=2，
在y=−2x+4中，当x=2时，y=−2×2+4=0，
∴C(2,0)，
代入y=kx−1，
得，0=2k−1，
1
解得，k= ．
2
故选：D．8．（3分）（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为
2，则称点A为“和二点”．例如：点B(−1.2,0.8)到x轴、y轴距离和为2，则点B是“和二点”，点
C(1，1),D(−0.5，−1.5)也是“和二点”．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l经过点E(−3,−4)，且
图象l上存在“和二点”，则k的取值范围为（ ）
2 4 4 2
A． ≤k≤2 B． ≤k≤2 C． ≤k≤4 D． ≤k≤4
3 5 5 3
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象及性质．取E(−2,0)，F(2,0)，G(0,−2)连EG，FG,EG取点P，
PM⊥x轴PN⊥y轴，垂直分别为M,N ,PN=OM，可得△OEG，△OFG均为等腰直角三角形，从而
得△PEM为等腰直角三角形进而得PM+PN=OE=2，继而得到线EG上的点为“成双点”，线FG上的
点为“成双点”，可得到当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与线EG或线FG有交点时，一次函数
y=kx+b(k≠0)的图象l上存在“成双点”，再分别求出当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点E时，
当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l经过点G时，k的值，即可求解．
【详解】解：取E(−2,0)，F(2,0)，G(0,−2)连EG，FG,EG取点P，PM⊥x轴PN⊥y轴，垂直分
别为M,N ,PN=OM，∵OE=OF=OG=2，
∴△OEG，△OFG均为等腰直角三角形，
∴∠OEG=45°，
∴△PEM为等腰直角三角形，
∴PM=EM，
∴PM+PN=OE=2，
∴点P是“成双点”，即线EG上的点为“成双点”，同理线FG上的点为“成双点”，
∴当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与线EG或线FG有交点时，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l上存在
“成双点”，
∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l经过点E(−3,−4)，
∴−3k+b=−4，
解得：b=3k−4，
∴一次函数解析式为b=kx+3k−4，
当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点E时，
∴−2k+3k−4=0，解得：k=4，
当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l经过点G时，
2
∴3k−4=−2，解得：k= ，
3
2
∴k的取值范围： ≤k≤4，
3
故选：D．9．（3分）（24-25八年级上·河南周口·期末）正方形A B C O，A B C C ，A B C C ，…按如图所
1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2
示的方式放置，点A ，A ，A ，…和点C ，C ，C ，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B 的纵坐
1 2 3 1 2 3 2024
标是（ ）
A．22024 B．22023 C．22024+1 D．22023+1
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与几何综合和正方形性质，由题意可得出A 、B 的纵坐标相同，根据点A ，
n n 1
A ，A ，…在直线y=x+1上和正方形性质，推出点A ，A ，A ，A 的坐标，根据坐标找出点的坐标规
2 3 1 2 3 4
律为A 的坐标为(2n−1−1,2n−1)，利用规律表示出A 的坐标，即可解题．
n 2024
【详解】解：由题知，四边形A B C C 为正方形，
n n n n−1
∴A B ∥x轴，即A 、B 的纵坐标相同，
n n n n
当x=0时，y=0+1=1，即A (0,1)，
1
∴OA =1，则OC =OA =1，
1 1 1
当x=1时，y=1+1=2，
∴A 的坐标为(1,2)，
2
同理可得A 的坐标为(3,4)，A 的坐标为(7,8)，
3 4
∴ A 的坐标为(2n−1−1,2n−1)，
n
∴ A 的坐标为(22023−1,22023)，
2024
∴点B 的纵坐标是22023，
2024
故选：B．
10．（3分）（24-25八年级·四川内江·阶段练习）如图，一次函数y=x+4的图象与x轴，y轴分别交于点
A,B，点C是线段AO上一定点，点E,F分别为直线y=x+4和y轴上的两个动点，当△CEF周长的最小值
为6时，点C的坐标为（ ）A．(−1,0) B．(−❑√2,0) C．(−❑√3,0) D．(−2,0)
【答案】B
【分析】作C关于y轴的对称点G，作C关于直线y=x+4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交
y轴于F，此时△CEF周长最小，由y=x+4得A(−4,0)，B(0,4)，，∠BAC=45°，根据C、D关于AB
对称，进而得出∠DAC=90°，设C(−c,0)，则AD=AC=−c+4,OG=OC=c，进而根据勾股定理即
可求解．
【详解】解：作C关于y轴的对称点G，作C关于直线y=x+4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E
，交y轴于F，如图：
∴ DE=CE CF=GF
， ，
∴ CE+CF+EF=DE+GF+EF=DG，此时△CEF周长最小为6，
由y=x+4得A(−4,0)，B(0,4)，
∴ OA=OB，△AOB是等腰直角三角形，
∵C、D关于AB对称，
∴ ∠DAB=∠BAC=45°，
∴ ∠DAC=90°，
设C(−c,0)，则AD=AC=−c+4,OG=OC=c
∴ AG=AO+OG=4+c
在Rt△ADG中，DG=❑√AD2+AG2=6即62=(4−c) 2+(4+c) 2
解得：c=❑√2（负值舍去）
即C(−❑√2,0)
故选：B．
【点睛】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定△CEF周长最小
时，E、F的位置．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数y=ax−3−a(a≠0)．
（1）当y=−3时，则x= ；
（2）当−4≤ y≤−1时，自变量x的负整数值恰好有2个，则a的取值范围为 ．
2 1 1 1
【答案】 1 − ≤a<− 或 0时，y随着x的增大而增大，
∴当−4≤ y≤−1时，可得−4≤ax−3−a≤−1，
1 2
解得1− ≤x≤1+ ，
a a
∵自变量x的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是−2,−1，
1
{ −3<1− ≤−2)
a
则
2
1+ ≥−1
a1 1
解得 3时，对于x的每一个值，函数y=kx(k≠0)的值既大于函数y=mx+n(m≠0)的值，也大于函
数y=−mx+3的值，则k的取值范围为 ．1 2
【答案】 − k≥
3 3
【分析】本题考查了两条直线相交或平行的问题，涉及待定系数法求函数解析式，掌握数形结合法是解题
的关键．
2 2 1
先将点(3,1)分别代入函数解析式即可求出n=−1,m= ，则m+n=−1+ =− ，此时两条直线的函数解
3 3 3
2 2
析式分别为y= x−1与y=− x+3，数形结合找出平行的临界状态即可求解．
3 3
【详解】解：（1）∵函数y=mx+n(m≠0)与y=−mx+3的图象交于点(3,1)，
∴3m+n=1,−3m+3=1，
2
解得：n=−1,m= ，
3
2 1
∴m+n=−1+ =− ，
3 3
1
故答案为：− ；
3
（2）∵当x>3时，对于x的每一个值，函数y=kx(k≠0)的值既大于函数y=mx+n(m≠0)的值，也大于
函数y=−mx+3的值，如图：
2 2
∵直线y= x−1与y=− x+3交于点(3,1)，
3 3
2 2
由图可知当x>3时，函数y= x−1的值大于函数y=− x+3的值，
3 3
2
∴要满足题意，只需函数y=kx(k≠0)的值大于函数y= x−1的值即可，
3
2 2
∵当直线y=kx(k≠0)平行于直线y= x−1时，符合题意，此时k=
3 32
∴满足题意，k≥ ，
3
2
故答案为：k≥ ．
3
14．（3分）（24-25八年级下·湖北武汉·期末）直线y=kx−1与函数y=|x−1)+|x−2)的图像有且只有两
个公共点，则k的取值范围是 ．
【答案】12时，
y=|x−1)+|x−2)=x−1+x−2=2x−3，
当1≤x≤2时，
y=|x−1)+|x−2)=x−1+2−x=1，
当x<1时，
y=|x−1)+|x−2)=1−x+2−x=3−2x；
而y=kx−1过(0,−1)，
如图，
当y=kx−1过(2,1)时，
∴2k−1=1，
解得：k=1，
当y=kx−1过(1,1)时，
∴k−1=1，
解得：k=2，此时y=2x−1的图象与y=2x−3的图象平行，
∴直线y=kx−1与函数y=|x−1)+|x−2)的图象有且只有两个公共点，k的取值范围是10)个单位长度，当平移后的直线经过点C时，求n的值；
2 2
(3)①无论k (k ≠0)的值怎样变化，直线l :y=k x+1都过定点________；
2 2 2 2
②若当x从0开始逐渐增大时，函数y=k x+1的值比直线l 对应函数的值先到达9，求k 的取值范围；
2 1 2
(4)已知直线x=3（直线上所有点的横坐标都为3），若直线l :y=k x+1（k ≠0且k ≠1）直线
2 2 2 2
l :y=x+k 与直线x=3围成的三角形的面积是4，直接写出k 的值．
3 2 2
【答案】(1)y=2x+3
1
(2)n=
2
8
(3)① (0,1) ② k >
2 3
(4)k =3或k =−1
2 2
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）先求出点C的坐标，再根据平移过程写出平移后的直线解析式，最后把点C坐标代入即可求解；
（3）①根据函数表达式的特征即可求解；②根据“函数y=k x+1的值比直线l 对应函数的值先到达9”列出一元一次不等式，解出k 的范围即可求
2 1 2
解；
（4）如图所示，根据题意表示出三条直线的交点坐标，再表示出三条直线围成的三角形的面积，令其等
于4，解绝对值方程即可．
【详解】（1）解：设直线l 的函数表达式为l :y=k x+b(k ≠0)，
1 1 1 1
∵直线l 经过点A(0,3)，B(−1,1)，
1
∴ { b=3 )
，
−k +b=1
1
{k =2)
解得： 1 ，
b=3
∴直线l 的函数表达式为y=2x+3；
1
3
（2）解：当y=0时，x=− ，
2
( 3 )
∴点C的坐标为 − ,0 ，
2
∵k =1，
2
∴直线l 的函数表达式为y=x+1，
2
∵将直线l 沿y轴向上平移n(n>0)个单位长度，
2
∴平移后的直线的函数表达式为y=x+1+n，
∵平移后的直线经过点C，
( 3 )
∴将C − ,0 代入y=x+1+n中，得
2
3
0=− +1+n，
2
1
解得：n= ；
2
（3）解：①无论k (k ≠0)的值怎样变化，直线l :y=k x+1都过定点(0,1)，
2 2 2 2
故答案为：(0,1)；
②当y=9时，2x+3=9，
解得：x=3，
将x=3代入y=k x+1中，
2得y=3k +1，
2
∵函数y=k x+1的值比直线l 对应函数的值先到达9，
2 1
∴3k +1>9，
2
8
解得：k > ；
2 3
{y=k x+1) { x=1 )
（4）解：由 2 ，解得： ，
y=x+k y=k +1
2 2
即直线l 与直线l 交于点P(1,k +1)，如图所示，
2 3 2
把x=3分别代入l 、l 得y=3k +1、y=3+k ，
2 3 2 2
即直线x=3分别与l 、l 交于点M(3,3k +1)、N(3,k +3)，如图所示，
2 3 2 2
则MN=|3k +1−(k +3))=|2k −2)，
2 2 2
作PQ⊥MN于Q，则PQ=3−1=2，
1 1
则S = MN⋅PQ= ×|2k −2)×2=|2k −2)，
△PMN 2 2 2 2
又S =4，
△PMN
∴|2k −2)=4，
2
解得：k =3或k =−1．
2 2
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的平移规律、一次函数图象上点的坐标特
征、一次函数的性质、两直线的交点与二元一次方程组的解的关系、解一元一次不等式等知识点，熟练掌
握以上知识是解答本题的关键．
23．（12分）5月12号是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而出现不安全因素、通过观察，发现七年级学生从放
学时刻起，准备通过楼梯口的人数y
1
(人)与时间x(分钟)满足关系：y
1
= {
−5
1
x
0
+
x
7
(
5
0
(
≤
5
x
<
≤
x
5
≤
)
15)
) ，八年级
学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数y (人)与时间x(分钟)满足如图的关系．已知两个年级同时准
2
备通过楼梯口的人数超过70人，就会发生拥堵．
(1)试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数y (人)和时间x(分钟)之间的函数关系式；
2
(2)若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵？
(3)为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，请通过计算说明学校
的这一举措是否有效．
【答案】(1) y = { 8x(0≤x≤5) ) ；
2 −4x+60(570，则18x>70，
35
得x> ，
9
35
答：第 分钟后会开始拥堵；
9
（3）解：学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，有效，
y = { 8(x−5)(5≤x≤10) )
由题意得 ，
2 −4(x−5)+60(102❑√3)
2
【分析】（1）根据△ABC是边长为2的等边三角形，可得AB=BC=AC=2，故①AB长为常量．连接
PQ，CQ，证明△BCQ≌△ACQ(SAS)，得到AQ=BP，故②AQ的长是变量．根据△ABC是边长为2的
等边三角形，可求得BC边上的高AD=❑√3，故③点A到BC的距离是常量．根据点Q在与AC垂直的直线
上运动，得到④点Q到BC的距离是变量．
（2）根据点Q的运动轨迹即可解答．
（3）过点Q作QH⊥BC于点H，则QH的长为点Q到BC的距离．连接QP，QC，证明
△BCQ≌△ACQ(SAS)，得到AQ=BP=x，∠QAC=∠PBC=90°，过点A作AD⊥BC于点D，根据
1
等边三角形的性质求得BD= AB=1，AD=❑√3，过点A作AE⊥QH于点E，得到四边形ADHE是矩
2
1 1 1
形，从而推出EH=AD=❑√3， ∠QAE=30°，进而QE= AQ= x，从而QH=QE+EH= x+❑√3，
2 2 2
即可解答．
（4）分两种情况讨论：①点Q在BC的上方时，②点Q在BC的下方时，同（3）的思路即可解答．
【详解】解：（1）∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，∠ABC=∠ACB=60°，
∴AB的长是常量．
连接PQ，CQ，由作图可得PQ=CQ=PC，
∴△QPC是等边三角形，
∴∠PCQ=60°，
∴∠ABC−∠ACP=∠PCQ−∠ACQ，
即∠BCP=∠ACQ，
在△BCP和△ACQ中
{
BC=AC
)
∠BCP=∠ACQ ，
PC=QC
∴△BCQ≌△ACQ(SAS)，
∴AQ=BP，
∴点P在直线MN上运动时，BP的长是变量，AQ的长也是变量．
过点A作AD⊥BC于点D，则AD的长为点A到BC的距离．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
1
∴∠BAD= ∠BAC=30°，
2
1 1
根据题意可得BD= AB= ×2=1，
2 2
∴AD=❑√AB2−BD2=❑√22−12=❑√3，
∴点A到BC的距离是常量．
∵△BCQ≌△ACQ，
∴∠QAC=∠PBC=90°，
∴点Q在与AC垂直的直线上运动，
∴点Q到BC的距离是变量．综上所述，点P在直线MN上运动的过程中，常量有：①AB长，③点A到BC所在直线的距离；变量有：
②AQ长，④点Q到BC所在直线的距离．
故答案为：①③；②④
（2）∵点Q在与AC垂直的直线上运动，且AQ=BP，
∴点P从点B出发沿BM方向运动的过程中，随着BP长度不断变大，AQ的长度不断变大，点Q离BC越来
越远，即点Q到BC所在直线的距离也随着变大；
在点P从点B出发沿BN方向运动的过程中，随着BP长度不断变大，AQ的长度不断变大，点Q离BC越来
越近，然后又逐渐远离BC，即点Q到BC所在直线的距离先变小，后变大．
故答案为：大；先变小，再变大
（3）过点Q作QH⊥BC于点H，则QH的长为点Q到BC的距离．
连接QP，QC，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，∠ABC=∠ACB=60°，
由作图可得PQ=CQ=PC，
∴△QPC是等边三角形，
∴∠PCQ=60°，
∴∠ABC−∠ACP=∠PCQ−∠ACQ，
即∠BCP=∠ACQ，
在△BCP和△ACQ中
{
BC=AC
)
∠BCP=∠ACQ ，
PC=QC
∴△BCQ≌△ACQ(SAS)，∴AQ=BP=x，∠QAC=∠PBC=90°
过点A作AD⊥BC于点D，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
1
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=30°，
2
1 1
根据题意可得BD= AB= ×2=1，
2 2
∴AD=❑√AB2−BD2=❑√22−12=❑√3，
过点A作AE⊥QH于点E，
∴四边形ADHE是矩形，
∴∠DAE=90°，EH=AD=❑√3，
∴∠CAE=∠DAE−∠DAC=90°−30°=60°，
∴∠QAE=∠QAC−∠CAE=90°−60°=30°，
1 1
∴在Rt△AQE中，QE= AQ= x，
2 2
1
∴QH=QE+EH= x+❑√3，
2
1
∴点Q到BC所在直线的距离y关于x的函数表达式为y= x+❑√3．
2
（4）当点Q在BC的上方时，
过点Q作QH⊥BC于点H，则QH的长为点Q到BC的距离．
过点A作AD⊥BC于点D，过点Q作QE⊥AD于点E，
同（3）同理可得△ACQ≌△BCP，AQ=BP=x，∠QAC=∠PBC=90°，
∴∠QAE=∠QAC−∠CAD=90°−30°=60°，
∴∠AQE=180°−∠AEQ−∠QAE=30°，
1 1
∴AE= AQ= x，
2 2
1
∴DE=AD−AE=❑√3− x，
2
∵四边形ADHE是矩形，
1
∴QH=DE=❑√3− x，
2
1
∴y=❑√3− x(02❑√3)．
2
1
{❑√3− x(02❑√3)
2
1
{❑√3− x(02❑√3)
2
【点睛】本题考查常量与变量，点到直线的距离，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定
理，含30°角的直角三角形的性质，矩形的判定及性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关
键．
