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专题 13.10 轴对称章末十大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
【题型1 设计轴对称图案】......................................................................................................................................1
【题型2 利用轴对称性质求最值】..........................................................................................................................2
【题型3 翻折变换】..................................................................................................................................................4
【题型4 两圆一线画等腰】......................................................................................................................................5
【题型5 等边三角形手拉手问题】..........................................................................................................................6
【题型6 分身等腰】..................................................................................................................................................8
【题型7 一线分二腰】..............................................................................................................................................9
【题型8 角平分线的综合应用】............................................................................................................................11
【题型9 垂直平分线的综合应用】........................................................................................................................13
【题型10 直角三角形斜边中线的综合应用】.......................................................................................................14
【题型1 设计轴对称图案】
【例1】（2023·全国·八年级假期作业）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，
使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．
【变式1-1】（2023春·八年级单元测试）图形设计：请将网格中的某些小方格涂黑，使它与已涂黑的小方
格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法）【变式1-2】（2023春·吉林延边·八年级阶段练习）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶
点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个网格中标注了5个格点，按下列要求画图．
（1）在图①中，以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有4个；
（2）在图②中，以格点为顶点，画一个轴对称图形，使其内部已标注的格点只有3个．
【变式1-3】（2023春·八年级单元测试）请你分别在下面的三个网格（两相邻格点的距离均为1个单位长
度）中，各补画一个小正方形，要求：
①三个图形形状各不相同，②所设计的图案是轴对称图形．
【题型2 利用轴对称性质求最值】
【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b，
点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 ，此时
∠CFE= ．【变式2-1】（2023春·湖北武汉·八年级校考期末）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
D为BC中点，AD=6，P为AB上一个动点，当P点运动时，PC+PD的最小值为 ．
【变式2-2】（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、
B、C、M、N都在格点上．
(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A B C ；
1 1 1
(2)在直线MN上找点P使PB+PC最小，在图形上画出点P的位置；
(3)在直线 上找点Q使 最大，直接写出这个最大值．
MN |QB-QA|
【变式2-3】（2023春·广东深圳·八年级校考开学考试）【初步感知】
(1)如图1，已知ΔABC为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边
向右侧作等边ΔADE，连接CE．求证：ΔABD≌ΔACE；【类比探究】
(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：
①AB与CE的位置关系为： ；
②线段EC、AC、CD之间的数量关系为： ；
【拓展应用】
(3)如图3，在等边ΔABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP
为边向右侧作等边ΔDPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；
若没有，请说明理由．
【题型3 翻折变换】
【例3】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，点D是AB边上
一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD．
(1)如图1，当点E落在BC上时，求∠BDE的度数；(2)当点E落在BC下方时，设DE与BC相交于点F．
①如图2，若DE⊥BC，试说明：CE∥AB；
②如图3，连接BE，EG平分∠BED交CD的延长线于点G，交BC于点H．若BE∥CG，试判断
∠CFE与∠G之间的数量关系，并说明理由．
【变式3-1】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）在锐角△ABC中，AB=AC，将△ABC沿AC翻折得
到△AB'C，直线AB与直线B'C相交于点E，若△AEB'是等腰三角形，则∠BAC的度数为
．
【变式3-2】（2023春·江苏·八年级期末）如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，D为AC的中点，
E为边AB上一动点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，点A落在AC上方点F处，连接EF，CF．
(1)判断∠1与∠2是否相等并说明理由；
(2)若△DEF与以点C，D，F为顶点的三角形全等，求出∠ADE的度数：
(3)翻折后，当△DEF和△ABC的重叠部分为等腰三角形时，直接写出∠ADE的度数．
【变式3-3】（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）已知D是等边三角形ABC中AB边上一点，将CB沿直
线CD翻折得到CE，连接EA并延长交直线CD于点F．
(1)如图1，若∠BCD=40°，直接写出∠CFE的度数；
(2)如图1，若CF=10，AF=4，求AE的长；
(3)如图2，连接BF，当点D在运动过程中，请探究线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．
【题型4 两圆一线画等腰】
【例4】（2023春·广西钦州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直线AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4-1】（2023春·河南驻马店·八年级统考期中）如图，直线l、l 相交于点A，点B是直线外一点，
1 2
在直线l 、l 上找一点C，使 ABC为一个等腰三角形．满足条件的点C有（ ）
1 2
△
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【变式4-2】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小
方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有 个。
【变式4-3】（2023春·广东湛江·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，动
点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点
P的位置有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【题型5 等边三角形手拉手问题】
【例5】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）已如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接
BE，AD交于点O，AC与BE交于点P求证：(1)BE＝AD
(2)∠AOB的度数
【变式5-1】（2023春·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）阅读与理解：
图1是边长分别为a和b(a>b)的两个等边三角形纸片ABC和C'DE叠放在一起（C与C'重合）的图形．
操作与证明：
(1)操作：固定△ABC，将△C'DE绕点C按顺时针方向旋转25°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线
段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
(2)操作：若将图1中的△C'DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α(0°≤α≤360°)，连接
AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
猜想与发现：
(3)根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段
AD长度最小是多少？
【变式5-2】（2023春·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），
在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与
CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③∠AOB=60°；④△CPQ是等边三角
形；⑤BQ=AB．恒成立的是 ．【变式5-3】（2023·山东·八年级专题练习）已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上．
【基本图形】如图1，以AD为一边作等边三角形△ADE，连结CE．可得CE+CD=AC（不需证明）．
【迁移运用】如图2，点F是AC边上一点，以DF为一边作等边三角△DEF．求证：CE+CD=CF．
【类比探究】如图3，点F是AC边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角△DEF．试探究线段CE，
CD，CF三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
【题型6 分身等腰】
【例6】（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在第1个△A BC，∠B=20°同A B=CB；在边
1 1
A B上任取一点D，延长C A 到A ，使A A =A D，得到第2个△A A D；在边A D上任取一点E，
1 1 2 1 2 1 1 2 2
延长A A ，到A ，使A A =A E，得到第3个△A A E，…．按此做法继续下去，则第n个三角形中
1 2 3 2 3 2 2 3
以A 为顶点的内角度数是（ ）
n
(1) n (1) n-1 (1) n-1 (1) n
A． 80° B． ⋅80° C． ⋅100° D． ⋅100°
2 2 2 2
【变式6-1】（2023春·江西宜春·八年级统考期末）如图所示，AOB是一钢架，设∠AOB=α，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，若最多能添加
这样的钢管5根，则α的取值范围是 ．
【变式6-2】（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，一钢架BAC中，∠A=x°，焊上等长的钢条
P P ,P P ,P P ,P P ,⋯来加固钢架，且P A=P P ，对于下列结论，判断正确的是( )
1 2 2 3 3 4 4 5 1 1 2
结论Ⅰ：若∠P P P =75°，则x=25；
3 2 4
90
结论Ⅱ：若这样的钢条在钢架上至多能焊上6根，那么x的取值范围是 ≤x<15
7
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【变式6-3】（2023春·湖南岳阳·八年级校考期中）如图， ，点 在射线 上，点
在射线 上， ， 均为等边三角形．若 ，则 的边
长为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 一线分二腰】
【例7】（2023·全国·八年级专题练习）已知ΔABC是等腰三角形，过ΔABC的一个顶点的一条直线，把
ΔABC分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，我们把这样的等腰三角形叫做和谐三角形．请构造出所有符合条件的和谐三角形并标出相关角的度数．
【变式7-1】（2023春·福建厦门·八年级厦门双十中学思明分校校考期中）如果一个三角形能被一条线段分
割成两个等腰三角形，那么则称这个三角形为“双腰三角形”．现有如下4个结论：
①若一个三角形的两个内角分别是36°、72°，则这个三角形是“双腰三角形”
②若一个三角形是直角三角形，则这个三角形是“双腰三角形”
③若一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”
④若一个三角形的一个内角是另一个内角的3倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式7-2】（2023春·江苏淮安·八年级统考期中）【学习概念】：规定①：如果一个三角形的三个角分别
等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个
三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等
角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
【理解概念】：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请根据规定①，写出图中所有的“等角三角
形”；
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，请根据规定②，求证：CD为△ABC
的等角分割线；
【应用概念】：
（3）在△ABC中，∠A=42°，CD是△ABC的等角分割线，∠ACB=_________．【变式7-3】（2023春·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫
做黄金三角形．
(1)请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两
个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要
求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）
注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．
(2)如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断
CM与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．
答：CM与AB之间的数量关系是 ．
【题型8 角平分线的综合应用】
【例8】（2023春·福建厦门·八年级福建省厦门第二中学校考期中）已知：在ΔABC和ΔDEC中，
AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=α．
(1)如图1，A，C，D在同一直线上，延长AE交BD于F，求证：AF⊥BD；
(2)如图2，AE与BD交于F，G在AD上，若FG平分∠AFD，求证：点C在直线FG上．【变式8-1】（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知：∠AOB=60°，小新在学习了角平分钱的
知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE=120°）的角尺来作∠AOB的角平分线．
(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD=OE，再移动角尺使PD=PE，然后他就说射线OP是
∠AOB的角平分线．试根据小新的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线；
(2)如图2，将角尺绕点P旋转了一定的角度后，OD≠OE，但仍然出现了PD=PE，此时OP是∠AOB的
角平分线吗？如果是，请说明理由．
(3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DP∥OB，请判断线段OD与OE的数量关系，并
说明理由．
【变式8-2】（2023春·广东珠海·八年级珠海市文园中学校考阶段练习）已知点C是∠MAN平分线上一点，
∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC=180°．过点C
作CE⊥AB，垂足为E．
(1)如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC=DC；
(2)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；(3)如图3，在（2）的条件下，若∠MAN=60°，连接BD，作∠ABD的平分线BP交AD于点F，交AC
于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG=2，DF=4，求线段DB的长．
【变式8-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图1，ΔABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，
CF相交于点G，∠BAC=60°．
（1）求∠BGC的度数；
（2）如图2，连接AG，求证：AG平分∠BAC；
（3）如图3，在⑵的条件下，在AC上取点H，使得∠AGH=∠BGC，且AH=8，BC=10，求ΔABC
的周长．
【题型9 垂直平分线的综合应用】
【例9】（2023春·福建莆田·八年级校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平
分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作
DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①
∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④CF=2CD+EG；其中正确的有 ．（填序号）
【变式9-1】（2023春·四川成都·八年级四川省成都市第七中学初中学校校考开学考试）如图：在△ABC
中，∠BAC=110°，AC=AB，射线AD、AE的夹角为55°，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF交AE
于点G，连接CG．(1)如图1，若射线AD、AE都在∠BAC的内部，且点B与点B'关于AD对称，求证：CG=B'G；
(2)如图2，若射线AD在∠BAC的内部，射线AE在∠BAC的外部，其他条件不变，求证：
CG+2GF=BG；
14
(3)如图3，若射线AD、AE都在∠BAC的外部，其他条件不变，若CG= GF，AF=3，S =7.5，
5 △ABG
求BF的长．
【变式9-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，
∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC于点F，AC=6，BC=9，则BF的长为 ．
【变式9-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AB＝10，AC＝6．若点D为∠BAC的平分线
上一点．
（1）当点D在△ABC的外部时，如图1，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC交AC的延长线于F，且BE
＝CF．
①求证：点D在BC的垂直平分线上；
②BE＝ ．
（2）当点D在线段BC上时，如图2，若∠C＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，交AD与点F，过点F
作FG⊥BE，交BC于点G，则
①∠DFG＝ ；8
②若BC＝8，EC＝ ，则GC＝ ．
3
（3）如图3，过点A的直线l∥BC，若∠C＝90°，BC＝8，点D到△ABC三边所在直线的距离相等，则点
D到直线l的距离是 ．
【题型10 直角三角形斜边中线的综合应用】
【例10】（2023春·安徽阜阳·八年级校考期中）综合与实践
已知△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，其中∠BAC=∠BDE=90°，连接CE，P是EC的中点，连
接PA，PD．
【初步感知】
(1)如图1，当B，D，C三点在同一直线上时，PA和PD的数量关系为___________，位置关系为
___________．
【深入探究】
(2)如图2，当B，D，A三点在同一直线上时，（1）中得到的结论成立吗？请加以证明．
【拓展提高】
(3)如图3，若等腰直角△ABC绕点B逆时针旋转，当EC恰好与BD平行时，（1）中得到的结论还成立吗？
请加以证明．
【变式10-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于
点D；点F是AB的中点，连接DF，EF，设∠DFE=α，则∠C的度数可表示为（ ）1
A．α B．2α C．90°-α D．90°- α
2
【变式10-2】（2023春·福建泉州·八年级期末）如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC
于点N，连接DM，下列结论：①DF=DN；②DM=MN；③NF垂直平分AB；④AE=NC，其中正确
结论有 ．
【变式10-3】（2023春·安徽阜阳·八年级校联考期中）定义：如图1，在△ABC和△ADE中，
AB=AC=AD=AE，当∠BAC+∠DAE=180°时，我们称△ABC与△ADE互为“顶补等腰三角形”，
△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”．
(1)特例感知：在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补三角形”，AM，AN是“顶心距”．
①如图2，当∠BAC=90°时，AM与DE之间的数量关系为AM= DE；
②如图3，当∠BAC=120°，BC=6时，AN的长为 ．
(2)猜想论证：在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．
(3)拓展应用：如图4，在四边形中，，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角
形”？若存在，请给予证明，并求的“顶心距”的长；若不存在，请说明理由．
