第13章 轴对称单元提升卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24八年级·浙江杭州·期中）下列图形属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据
轴对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可
重合．
2．（3分）（23-24八年级·天津宁河·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别是△ABC的中
线和角平分线．AD，CE交于点H． 若∠CAB=40°， 则∠CHD的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，依据三角形内角和定理，
即可得到∠ACB的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论．【详解】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠CAB=40°，
1
∴∠ACB= ×(180°−40°)=70°，
2
∵AD是△ABC的中线，
∴AD是△ABC的角平分线，
1
∴∠CAD= ∠BAC=20°，
2
∵CE是△ABC的角平分线，
1
∴∠ACE= ∠ACB=35°，
2
∴∠CHD=∠CAD+∠ACE=55°．
故选：A．
3．（3分）（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=8，AI平分
∠BAC，CI平分∠ACB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．10.5
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内角平分线的含义，平移的性质及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握三角
形的三条角平分线的交于一点是解题的关键．连接BI，证明BI平分∠ABC，则∠ABI=∠CBI，由平移
得AB∥DI，则∠ABI=∠BID，推出∠CBI=∠BID，得出BD=DI，同理可得CE=EI，△DIE的周
长=DE+DI+EI=DE+BD+CE=BC=8，即可得出结果．
【详解】解: 连接BI，如图所示
∵ AI ∠BAC CI ∠ACB
平分 ， 平分 ，∴ BI平分∠ABC，
∴ ∠ABI=∠CBI，
由平移得AB∥DI，
∴ ∠ABI=∠BID，
∴ ∠CBI=∠BID，
∴DB=DI，
同理可得CE=EI；
∴ △DIE的周长=DE+DI+EI=DE+BD+CE=BC=8，
即图中阴影部分的周长为8；
故选A
4．（3分）（23-24八年级·湖南怀化·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，AD⊥BC于
点D，BE⊥AC于点E，交AD于点F，若AF=10，则BD的长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
1 1
【分析】由题意得∠DAC= ∠BAC=22.5°，∠ABC= (180°−45°)=67.5°，根据角度关系可得
2 2
∠EBC=67.5−45°=22.5°，进一步判定△AEF≌△BEC，得出BC=AF=10，进一步得出
1
BD= BC=5即可．
2
本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】：∵AB=AC，∠BAC=45°，AD⊥BC，
1 1
∴∠DAC= ∠BAC=22.5°，∠ABC= (180°−45°)=67.5°，
2 2
∵∠BAC=45°，
∴∠EBA=45°，
∴AE=BE，∠EBC=67.5−45°=22.5°，
∴∠EBC=∠DAE，又∵∠BEC=∠AEB=90°，
∴△AEF≌△BEC(ASA)，
∴BC=AF=10，
1
∴BD= BC=5，
2
故选：B．
5．（3分）（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，在边长为10的等边△ABC中，点M在边AB的延长线
上，点N在边AC上，且MN=MC，若AM=16，则CN的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、和等腰三角形“三线合一”的性质．熟
练掌握以上知识，正确作出辅助线是解题的关键．过M点作MD⊥AC于D点，由等边三角形的性质得
∠A=60°，则∠AMD=30°．根据“直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半” 可得AD=8，则
可得CD=2．由等腰三角形“三线合一”可得CN=2CD=4．
【详解】
过M点作MD⊥AC于D点，
则∠MDA=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠AMD=30°，
1 1
∴AD= AM= ×16=8，
2 2
∵AC=10，∴CD=AC−AD=2，
∵△MCN中，MN=MC，MD⊥NC，
∴DN=CD=2，
∴CN=2CD=4．
故选：B
6．（3分）（23-24八年级·山西长治·期中）小莹和小博下棋，小莹执圆子，小博执方子．如图．棋盘中心
方子的位置用(0,0)表示．右下角方子的位置用(1,−1)表示，小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成
一个轴对称图形则她放的位置是（ ）
A．(−2,0) B．(2,0) C．(−1,1) D．(0,1)
【答案】C
【分析】本题主要考查轴对称图形和平面直角坐标系，首先确定x轴、y轴的位置，然后根据轴对称图形
的定义确定放的位置，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对
称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示，
她放的位置是(−1,1)，
故选：C．
7．（3分）（23-24·河北·中考真题）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP=2.8．若
点P关于直线l，m的对称点分别是点P ，P ，则P ，P 之间的距离可能是（ ）
1 2 1 2A．0 B．5
C．6 D．7
【答案】B
【分析】连接OP ,PP ,OP ,PP ,P P 根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．
1 1 2 2 1 2
【详解】解：连接OP ,PP ,OP ,PP ,P P ，如图，
1 1 2 2 1 2
∵P 是P关于直线l的对称点，
1
∴直线l是PP 的垂直平分线，
1
∴OP =OP=2.8
1
∵P 是P关于直线m的对称点，
2
∴直线m是PP 的垂直平分线，
2
∴OP =OP=2.8
2
当P ,O,P 不在同一条直线上时，OP −OP <P P <OP +OP
1 2 1 2 1 2 1 2
即0<P P <5.6
1 2
当P ,O,P 在同一条直线上时，P P =OP +OP =5.6
1 2 1 2 1 2
故选：B
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键
8．（3分）（23-24八年级·河北邯郸·阶段练习）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直
线m上的一动点．若AB=5，AC=4，BC=6，则△APC周长的最小值是（ ）A．9 B．10 C．10.5 D．11
【答案】A
【分析】根据垂直平分线的性质BP=PC，所以△APC周长
=AC+AP+PC=AC+AP+BP≥AC+AB=9.
【详解】∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线,
∴BP=PC
∴△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP
∵两点之间线段最短
∴AP+BP≥AB
∴△APC的周长=AC+AP+BP≥AC+AB
∵AC=4，AB=5
∴△APC周长最小为AC+AB=9
故选：A
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短.做本题的关键是能得出
AP+BP≥AB，做此类题的关键在于能根据题设中的已知条件，联系相关定理得出结论，再根据结论进行
推论．
9．（3分）（23-24八年级·山东烟台·期中）如图，已知等腰直角三角形ACB中，
∠ACB=90°,AC=BC=1，过点C作CM ⊥AB，垂足为M ,△CBM 的面积为S ，过点M 作
1 1 1 1 1
M M ⊥BC，垂足为M ,△CM M 的面积为S ，过点M 作M M ⊥CM ，垂足为M ,△M M M
1 2 2 1 2 2 2 2 3 1 3 1 2 3
的面积为S ，过点M 作M M ⊥M M 垂足为M ,△M M M 的面积为S ，如此作下去，…，
3 3 3 4 1 2 1 2 3 4 4
△M M M 的面积为S ，则S +S +S +⋯+S =（ ）
n−2 n−1 n n 1 2 1 n1 (1) n 1 (1) n+1 1 (1) n 1 (1) n+1
A． + B． + C． − D． −
2 2 2 2 2 2 2 2
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算，解题的关键是通过计算三角形的面
积得出规律是解题的关键．
先分别求出出S ,S ,S ⋯，得出规律，再求出它们的和即可．
1 2 3
【详解】解：∴等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°,AC=BC=1，
∴CM ⊥AB,AM =BM ，
1 1 1
1 1 1 (1) 2
∴S = S = × ×1×1= ,
1 2 △ABC 2 2 2
(1) 3 (1) 4 (1) n+1
同理：S = ，S = ，……S =
2 2 3 2 n 2
(1) 2 (1) 3 (1) 4 (1) n+1
设S=S +S +S +⋯+S = + + +⋯+ ,则
1 2 1 n 2 2 2 2
1 (1) 3 (1) 4 (1) 5 (1) n+1 (1) n+2
S= + + +⋯+ + ，
2 2 2 2 2 2
1 (1) 2 (1) n+2
∴S− S= − ，
2 2 2
1 (1) 2 (1) n+2
S= −
2 2 2
1 (1) n+1
S= − ．
2 2
故选D．
10．（3分）（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=30°，D为AB的中点，
P为CD上一点，E为BC延长线上一点，且PA=PE．有下列结论：①∠PAD+∠PEC=30°；②△PAE
为等边三角形；③BC=EC+CP；④S =S ，其中正确的结论是（ ）
四边形AECP △ABCA．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【分析】连接BP，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求
∠PEA=∠PAE=60°，可判断②；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，证明
△PCE≌△PGB(AAS)，CE=GB，即可判断③；由三角形的面积的和差关系可判断④．
【详解】解：如图，连接BP，
∵AC=BC，∠B=30°，D为AB的中点，
∴∠CAB=∠CBA=30°，AD=BD，CD⊥AB，
1 1
∴CD是AB的中垂线，∠ACD=∠BCD= (180°−∠CAB−∠CBA)= ×(180°−30°−30°)=60°，
2 2
∴AP=BP，
∵PA=PE，
∴PA=PB=PE，
∴∠PAB=∠PBA，∠PEB=∠PBE，
∴∠PAD+∠PEC=∠PBA+∠PBE=∠ABC=30°，故结论①正确；
∵PA=PE，
∴∠PAE=∠PEA，
∵∠ABC=∠PAD+∠PEC=30°，
1
∴∠PAE=∠PEA= (180°−∠PAD−∠PEC−∠ABC)=60°，
2
∴△PAE是等边三角形，故结论②正确；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，∵∠BCD=60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP=∠PCG=60°，
∴∠PCE=∠PGB=120°，
在△PCE和△PGB中，
{∠PEC=∠PBG
)
∠PCE=∠PGB ，
PE=PB
∴△PCE≌△PGB(AAS)，
∴CE=GB，
∴BC=BG+CG=EC+CP，故结论③正确；
∵∠ABC=30°，AF⊥BC，
1
∴AF= AB=AD，
2
1 1 1 1
∵S = CB⋅AF= AF(EC+CP)= EC⋅AF+ CP⋅AD=S ，
△ACB 2 2 2 2 四边形AECP
∴S =S ，故结论④正确，
四边形AECP △ABC
∴其中正确的结论是①②③④．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，线段中垂线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，
30°角的直角三角形的性质等知识点，添加恰当辅助线构造等腰三角形、全等三角形和直角三角形是解题
的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，
D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=52°，则∠2−∠1= °．【答案】28
【分析】此题主要考查折叠的性质以及平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．由折叠
的性质可得，∠≝=∠GEF，根据平行线的性质可得，∠≝=∠EFG=52°，根据平角的定义即可求得
∠1，再由平行线的性质求得∠2，从而求解．
【详解】解：∵AD∥BC，∠EFG=52°，
∴∠≝=∠EFG=52°，∠1+∠2=180°，
由折叠的性质可得∠GEF=∠≝=52°，
∴∠1=180°−∠GEF−∠≝=180°−52°−52°=76°，
∴∠2=180°−∠1=104°，
∴∠2−∠1=104°−76°=28°．
故答案为：28．
12．（3分）（23-24八年级·河南驻马店·期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体
现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的
坐标为(2m,−n)，其关于y轴对称的点F的坐标(3−n,−m+1)，则(n−m) 2023的值为 ．
【答案】−1
【分析】本题考查坐标与图形变化-轴对称，二元一次方程组等知识，利用关于y轴对称的点纵坐标相同，
横坐标为相反数，构建方程组，求出m，n，可得结论．
【详解】解：∵点E的坐标为(2m,−n)，其关于y轴对称的点F的坐标(3−n,−m+1)，
{2m=−(3−n))
∴ ，
−n=−m+1
{m=−4)
解得 ，
n=−5∴(n−m) 2023=(−5+4) 2023=−1，
故答案为：−1．
13．（3分）（23-24八年级·湖南益阳·期中）如图，已知∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PD∥OA交
OB于点D，PE⊥OA于E．若OD=3，则PE的长为
．
【答案】1.5
【分析】过点P作PF⊥OB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF=PE，根据角平分线
的定义可得∠AOC=∠BOC，根据直线平行的性质可得∠AOC=∠OPD、∠PDF=∠AOB，再求出
∠BOC=∠OPD，根据等角对等边可得PD=OD，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的
1
一半可得PE=PF= PD．
2
【详解】过点P作PF⊥OB于F，如图所示：
∵OC ∠AOB PE⊥OA PF⊥OB
平分 ， ， ，
∴PE=PF，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵PD∥OA，
∴∠AOC=∠OPD，∠PDF=∠AOB=30°，
∴∠BOC=∠OPD，
∴PD=OD=3，
1 1
∴PF= PD= ×3=1.5，
2 2∴PE=PF=1.5，
故答案为：1.5．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性
质，等边对等角，掌握含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键．
14．（3分）（23-24八年级·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，
∠BAD=30°，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE，DE，DE交AC
于点O，若CE∥AD，则∠DOC的度数为 ．
【答案】100°/100度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，
解决本题的关键是得到△DAB≌△EAC，根据图像找到相等的角进行求解即可．
【详解】解：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE−∠DAC=∠BAC−∠DAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
{
AB=AC
)
∠DAB=∠EAC ，
AD=AE
∴△DAB≌△EAC(SAS)，
∴∠B=∠ACE，∠CAE=BAD=30°，
∵CE∥AD，AB=AC，
∴∠B=∠ACB,∠ADB=∠ECD,∠ACD=∠CAD，
∴∠B+∠ADB=∠B+∠ECD=∠B+∠ACE+∠ACB=3∠B=180°−30°，
∴∠B=50°，
∴∠CAD=∠B=50°，
∵AE=AD，
1
∴∠ADE=∠AED= (180°−50°−30°)=50°，
2
∴∠DOC=∠ADE+∠DAC=50°+50°=100°故答案为：100°．
15．（3分）（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，△ABC中，D是AB的中点，
DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF= ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线
构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相
等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
先连接AE,BE，过E作EG⊥BC于G，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出EF
=EG,AE=BE，进而判定Rt△AEF≌Rt△BEG，即可得到AF=BG，据此列出方程12−x=8+ x，求
得x的值，即可得到AF长．
【详解】解：连接AE,BE，过E作EG⊥BC于G，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵∠ACE+∠BCE=180°,∠ECG+∠BCE=180°，
∴∠ACE=∠ECG，
又∵EF⊥AC,EG⊥BC，
∴EF=EG,∠FEC=∠GEC，
∵CF⊥EF,CG⊥EG，∴CF=CG，
在Rt△AEF和Rt△BEG中，
{AE=BE)
，
EF=EG
∴Rt△AEF≌Rt△BEG(HL)，
∴AF=BG，
设CF=CG=x，则AF=AC−CF=12−x,BG=BC+CG=8+x，
∴12−x=8+x，
解得x=2，
∴AF=12−2=10，
故答案为：10．
16．（3分）（23-24八年级·江西宜春·期中）如图，已知点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，点
D是△ABC外一点，且△ADC≌△BOC，当△AOD是等腰三角形时，α的度数是 ．
【答案】110°或125°或140°
【分析】利用全等三角形的性质、等边三角形的性质分别得到∠AOD=190°−α°，∠ADO=α°−60°，
∠OAD=50°，再分类讨论△AOD中的底和腰，利用等边对等角得到α的度数．
【详解】解：∵△ADC≌△BOC，
∴∠ADC=∠BOC=α°，∠OCB=∠DCA，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，即∠OCB+∠ACO＝60°，
∴∠DCA+∠ACO＝60°，又CO=CD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD=∠CDO=60°；
∴∠AOD=360°−∠AOB−∠BOC−∠COD=360°−110°−α°−60°=190°−α°，
∠ADO=∠ADC−∠CDO=α°−60°，
∴∠OAD=180°−∠AOD−∠ADO=180°−（α°−60°）−（190°−α°）=50°，若AD=AO，则∠ADO=∠AOD，
解得：α°=125°；
若OA=OD，则∠ADO=∠OAD，
解得：α°=110°；
若DA=DO，则∠OAD=∠AOD，
解得：α°=140°；
综上所述，当α为125或110或140时，
故答案为：110°或125°或140°．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的思想是解题的关
键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24八年级·河南漯河·期中） △ABC各顶点的坐标分别是A(−2,3)，B(−3,1)，
C(1,−2)．
(1)写出△ABC关于x轴对称的△A B C 的顶点A ，B ，C 的坐标；
1 1 1 1 1 1
(2)求△ABC的面积；
(3)在y轴上作出一点P，使PA+PB的值最小．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)A (−2,−3)，B (−3,−1)，C (1,2)
1 1 1
11
(2)
2
(3)见解析
【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标变化，熟练掌握平面坐标系中关于x轴对称的点坐标
性质，关于y轴对称的点坐标性质，网格三角形的面积计算，利用轴对称求最短路径，是解决问题的关键．
（1）利用关于x轴对称的点的橫坐标相同，纵坐标互为相反数，得出对应点的坐标即可；（2）运用割补法，围△ABC的矩形面积减去△ABC周围三角形的面积即可；
（3）作点B关于y轴的对称点B ，连接AB ，交y轴于点P，根据轴对称的性质与两点之间线段最短即可
2 2
得到点P即为所求．
【详解】（1）解；∵△ABC各顶点的坐标分别是A(−2,3)，B(−3,1)，C(1,−2)
∴△ABC关于x轴对称的△A B C 的顶点坐标为A (−2,−3)，B (−3,−1)，C (1,2)，如图．
1 1 1 1 1 1
1 1 1 15 11
（2）S =4×5− ×1×2− ×3×4− ×3×5=20−1−6− = ．
△ABC 2 2 2 2 2
（3）如图，取点B关于y轴的对称点B (3,1)，连接AB ，交y轴于点P，连接BP，
2 2
则BP=B P，
2
此时AP+BP=AP+B P=AB ，最小，点P为所求．
2 2
18．（6分）（23-24八年级·安徽六安·期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=CE．(1)求证：AB=AC．
(2)若∠BAC=108°,2∠DAE+∠BAC=180°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有等腰三角形．
【答案】(1)详见解析
(2)除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC
【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用是
解题的关键．
（1）过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形的性质得到BF=CF，再根据线段垂直平分线的性质证
明结论即可；
（2）由题意求出∠DAE=36°，再求出其他角的度数，即可得到答案．
【详解】（1）证明：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD=AE
，
∴DE=EF，
∵BD=CE，
∴BF=CF，
∴AB=AC；
（2）证明：解：∵∠BAC=108°,2∠DAE+∠BAC=180°，
∴2∠DAE=72°，
∴∠DAE=36°，
∵AD=AE，
180°−36°
∴∠ADE=∠AED= =72°，
2
∵AB=AC，
180°−108°
∴∠B=∠C= =36°，
2
∴∠B=∠BAD,∠C=∠EAC,∠BAE=∠BEA,∠ADC=∠DAC，
∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC．
19．（8分）（23-24八年级·云南楚雄·期末）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AM是
△ABC的高，将△AMB沿AM折叠得到△AMN，点N落在线段MC上．(1)求∠MAN的度数．
(2)过点N作∠ANC的平分线NO交AC于点O，若AC=8，求AO的长．
【答案】(1)10°
(2)4
【分析】本题考查直角三角形性质，折叠性质，等腰三角形的性质，解题词关键是熟练掌握直角三角形性
质，折叠性质，等腰三角形的性质．
（1）本题考查了直角三角形性质及折叠的性质，先由三角形内角和定理求出∠B=80°，再由直角三角形
的性质求出∠MAB=10°，再根据折叠的性质得出∠MAN=∠MAB=10°；
（2）本题考查了折叠性质及等腰三角形三线合一性质，先计算出
∠CAN=∠BAC−∠MAN−∠MAB=60°−10°−10°=40°，再由∠CAN=∠C，得到AN=CN．然
后根据等腰三角形三线合一性质得出AO=CO，即可求解．
【详解】（1）∵∠BAC=60°，∠C=40°，
∴∠B=180°−60°−40°=80°，
∵AM是△ABC的高，
∴∠AMB=90°，
∴∠MAB=90°−∠B=90°−80°=10°，
∵将△AMB沿AM折叠得到ΔAMN，
∴△AMN≌△AMB，
∴∠MAN=∠MAB=10°．
（2）由（1）知∠MAN=∠MAB=10°，
∴∠CAN=∠BAC−∠MAN−∠MAB=60°−10°−10°=40°．
∵∠C=40°，
∴∠CAN=∠C，
∴AN=CN．
∵AC平分∠ANC，
∴AO=CO．∵AC=8，
∴AO=4．
20．（8分）（23-24八年级·山东济宁·期中）如图①，△ABC和△≝¿的顶点都在正方形网格中正方形格子
的顶点上，我们把这样的三角形叫做“格点三角形”．
(1)在图①的4×4正方形网格中，格点△ABC和格点△≝¿关于某条直线成轴对称，请画出图1中的对称轴．
(2)请你利用轴对称的原理在图②，图③，图④中分别画出一个位置不同且与△ABC成轴对称的格点△≝¿．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查的是利用轴对称设计图案，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称图形的概念可得其对称轴；
（2）根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为
只要根据你确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形．
【详解】（1）解：如图所示，直线l（点划线）即为所求．
；
（2）解：如图所示，△≝¿即为所求．
．21．（8分）（23-24八年级·上海杨浦·期末）如图，已知在△ABC，D为CA延长线的一点，AP平分
∠BAD，PB=PC，点E为BC中点，PE⊥BC交BA于点F，∠PBA=∠PCH，PH⊥CD．
(1)求证：AB=AH+HC（写出证明过程，但不用写出每步的理由）
(2)若∠ACB=120°，且△PAF为等腰三角形，求∠PAF的度数．（直接写出结论）
【答案】(1)见解析
(2)∠PAF的度数为70°或80°
【分析】（1）过点P作PG⊥AB，垂足为G，先证明△PBG≌△PCH得到BG=HC，再根据角平分线
性质定理得到PG=PH，从而证明△PGA≌△PHA得到AG=AH，即可得出结论；
（2）设∠PAF=α，根据角平分线定义得到∠PAD=∠PAF=α，∠BAC=180−2α，再分情况当
PF=PA时，当AP=AF时，两种情况下根据角度间的关系利用三角形内角和以及对顶角相等等知识求出
结果 ．
【详解】（1）解：如图，过点P作PG⊥AB，垂足为G，
∵PH⊥CD
，
∴∠PHC=∠PGB=90°，
∵PB=PC，∠PBA=∠PCH，
∴△PBG≌△PCH，
∴BG=HC，
∵AP平分∠BAD，PH⊥CD，PG⊥AB，
∴PG=PH，
∵∠PGA=∠PHA=90°，∠PAG=PAH，
∴△PGA≌△PHA(AAS)，
∴AG=AH，∴AB=BG+AG=AH+HC；
（2）设∠PAF=α，
∵AP平分∠BAD，
∴∠PAD=∠PAF=α，∠BAC=180−2α，
当PF=PA时，∠PFA=∠PAF=α，
又∵∠BFE=∠PFA=α，
∴∠ABC=90°−α，
在△ABC中∠BAC+∠ACB+∠ABC=180° ，
即180°−2α+90°−α+120°=180°，
解得α=70°；
1 1
当AP=AF时∠AFP= (180°−α)=90°− α，
2 2
∴∠BAC=180°−2∠PAF=180°−2α，
( 1 ) 1
∴∠ABC=90°− 90°− α = α，
2 2
在△ABC中∠BAC+∠ACB+∠ABC=180° ，
1
即180°−2α+ α+120°=180°，
2
解得：α=80°，
因此∠PAF的度数为70°或80°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和，角平分线性质定理以
及角平分线的相关计算，熟练掌握相关性质定理并灵活运用是解题关键．
22．（8分）（23-24八年级·安徽阜阳·期末）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在
BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
(1)如图1，求证：∠ABE=∠ACF；
(2)如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；(3)如图3，当∠ABC=45°，且AE∥BC时，求证：BD=2EF．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）利用SAS定理证明△ACF≌△AEF，根据全等三角形的性质得到∠E=∠ACF，根据等腰
三角形的性质得到∠E=∠ ABE，等量代换证明结论；
（2）在FB上截取BM=CF，连接AM，证明△ABM≌△ACF，根据全等三角形的性质得到
AM=AF,∠BAM=∠CAF，进而证明△AMF为等边三角形；
（3）延长BA,CF交于N，证明△BFN≌△BFC，得到CN=2CF=2EF，再证明△BAD≌△CAN，得
到BD=CN，等量代换得到答案．
【详解】（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC,AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
{
AE=AC
)
∠EAF=∠CAF ，
AF=AF
∴△ACF≌△AEF(SAS)，
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF；
（2）证明：如图，在FB上截取BM=EF，连接AM，
∵△ACF≌△AEF，∴EF=CF=BM,∠E=∠ACF=∠ABM，
在△ABM和△ACF中，
{
AB=AC
)
∠ABM=∠ACF ，
BM=CF
∴△ABM≌△ACF(SAS)，
∴AM=AF,∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC,∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等边三角形；
（3）证明：如图3，延长BA、CF交于N，
∵AE∥BC
，
∴∠E=∠EBC，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°,∠ACB=45°,∠BAC=180°−45°−45°=90°，
∴∠ACF=∠ABF=22.5°，
∴∠BFC=180°−22.5°−45°−22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°，
在△BFN和△BFC中，
{∠NBF=∠CBF
)
BF=BF ，
∠BFN=∠BFC∴△BFN≌△BFC(ASA)，
∴CF=FN，
即CN=2CF=2EF，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠BAD=90°，
在△BAD和△CAN中，
{∠ABD=∠ACN
)
AB=AC ，
∠BAD=∠CAN
∴△BAD≌△CAN(ASA)，
∴BD=CN，
∴BD=2EF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角
形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是
解题的关键．
23．（8分）（23-24八年级·辽宁锦州·期末）已知线段AB，点C是平面内一动点，且AB=AC，连接BC，
将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，AD，AD交BC于点E．
(1)如图1，若∠BAC=60°．
①求∠AEB的度数；
②如图2，作∠CBD的角平分线BF交AD于F，试探究线段AD与2DF+BF之间的数量关系，并说明理
由；
(2)若AB=2，当AD最长时，求DE的长．
【答案】(1)①105°；②AD=BF+2DF；理由见解析
(2)4
【分析】（1）①由题意得△ABC是等边三角形，继而得BD=BC，再得∠AEB=105°；1
②在线段AF上截取AG=DF，证明△ABG≌△DBF，再利用角平分线定义得∠CBF= ∠CBD=45°，
2
继而得到GF=BF，即可得到本题答案；
（2）过B作BH⊥AB，且使BH=AB，所以点H是定点，AH的长度是定长，证明△CAB≌△DHB，继
而得到当AD最长时，A，H，D三点在同一条直线上，继而得到本题答案．
【详解】（1）解：①∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB，∠ABC=60°，
∵∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=150°，
由题意，得BD=BC，
∴BD=AB，
180°−150°
∴ ∠DAB=∠ADB= =15°，
2
∴∠AEB=180°−∠ABC−∠DAB=105°，
②AD=BF+2DF；理由如下：
在线段AF上截取AG=DF，如图2，
∵AB=BC=BD
，
∴∠GAB=∠FDB，
∴△ABG≌△DBF(SAS)，
∴BG=BF，
∵BF是∠CBD的角平分线，
1
∴ ∠CBF= ∠CBD=45°，
2
∴∠GFB=∠AEB−∠CBF=60°，
∴∠FGB=∠GFB=∠GBF=60°，
∴GF=BF，
∴AD=AF+FD=GF+AG+FD=BF+2DF；（2）解：如图3，过B作BH⊥AB，且使BH=AB，所以点H是定点，AH的长度是定长．
∴∠CBA+∠CBH=90°
，
∴∠DBH+∠CBH=∠CBD=90°，
∴∠CBA=∠DBH，
在△CAB和△DHB中，
{
AB=BH
)
∠CBA=∠DBH ，
BC=BD
∴△CAB≌△DHB(SAS)，
∴HD=AC=AB=2，
而AD≤AH+HD，
∴当AD最长时，A，H，D三点在同一条直线上，如图4，
∴∠HEB=90°−∠HDB ∠HBE=90°−∠HBD
， ，
∵HB=AB=HD，
∴∠HBD=∠HDB，
∴∠HBE=∠HEB，
∴HE=HB=AB=2，
∴DE=HE+HD=4．
【点睛】本题考查等边三角形判定及性质，三角形内角和定理，全等三角形性质及判定，最短路径问题，
角平分线定义等．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
