文档内容
第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）
考查范围：人教版第16-17章
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，化简二次根式，解题的关键在于熟知最简二次根式的定义：
被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式，这
样的二次根式叫做最简二次根式．
【详解】解：A、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，是最简二次根式，符合题意；
故选；D．
2．（2023下·贵州遵义·七年级统考期末）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据 有意义的条件为 ，列不等式求解，即可解题．
【详解】解： 在实数范围内有意义，
，解得 ，故选：B．
3．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）已知直角三角形两条直角边的长分别是6和8，则斜边上的
高为（ ）
A．3 B．4 C． D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的高，根据直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平
方和求出斜边的长，再利用等面积法求出斜边上的高即可．
【详解】解：∵直角三角形两条直角边的长分别是6和8，
∴该直角三角形斜边的长为 ，
设斜边上的高为h，
∴ ，
∴ ，
∴斜边上的高为 ，
故选：C．
4．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）如图，在 的正方形网格中，点A，B，M均在格点上，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用勾股定
理和勾股定理的逆定理证明 是等腰直角三角形，且 即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
由题意得， ， ， ，
∴ ，∴ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
故选；C．
5．（2023下·山东临沂·八年级校考期中）如图，在长方形 中无重叠放入面积分别为 和
的两张正方形纸片则图中空白部分的面积为（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查二次根式的应用，算术平方根的实际应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边
长即可得出结果．
【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为 和 ，
∴它们的边长分别为 ， ，
∴ ， ，
∴空白部分的面积
故选：A．6．（2024上·陕西西安·八年级校考期末）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C．12 D．18
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据非负性求出
的值即可得到答案．
【详解】解：由题意得： ，
解得 ，
，
，
，
故选B．
7．（2024下·安徽蚌埠·八年级校考开学考试）若 ，则化简 的结果是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的化简，利用二次根式的性质 及绝对值的性质计算即可．
【详解】解： ，
， ，
，
故选：C．
8．（2023上·四川乐山·八年级统考期末）如图， 中， ， ， ，分别以它的
三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C．24 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先求出直角三角形的斜边，再进行计
算即可．
【详解】解： 中， ， ， ，
，
，
．
故选C．
9．（2024上·河南郑州·八年级校联考期末）固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿
其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表
面从点 爬行到点 的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的应用．根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为 ，将图②展开，连接 交 于点 ，线段 的长度
即为蚂蚁爬行的最短路程，由题意可知： 为等边三角形， 为等腰直角三角形，
， ， ，
，
，
，
正方体的棱长为4，
， ，
在 中， ，
在 中， ，
．
故选：A．
10．（2023上·四川巴中·八年级统考期末）如图，D为 的外角平分线上一点并且 垂直平分 交
于点G，过D作 于E， 交 的延长线于F，则下列结论：① ；②
；③ ；④ ；⑤ ，其中正确的
结论是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查的重点是直角三角形全等的证明，线段的垂直平分线和角平分线的运用．①在直角三角形中，利用 可以证明 ；②根据 ，可以得到对应边相等，然后证明
；③在直角三角形中，利用勾股定理，推导出 ；④利用余角和补
角之间的关系，可以得出 和 之间的关系；⑤在直角三角形中斜边大于直角边，可以推导出
．
【详解】解：① 平分 ， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
又 垂直平分 交 于点 ，
，
在 和 中，
，
，故结论①符合题意；
② ，
，
， ，
，故结论②符合题意；
③ 垂直平分 ，
， ，
又 ， ，
，故结论③符合题意；
④ ，
，，
，故结论④不符合题意；
⑤ ，
，
， ， ，
，
，
在直角 中， 是斜边， 是直角边，
，
，故结论⑤符合题意．
故选：D．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（2024下·黑龙江哈尔滨·八年级校考开学考试）计算 的结果是 .
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的加减法则．根据二次根式的加减
法则计算即可．
【详解】解： ，
原式 ，
，
故答案为： ．
12．（2024上·山东滨州·八年级校考期末）若代数式 有意义，则实数 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟悉掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
【详解】解：∵ 有意义，∴ ，解得 ，
故答案为： ．
13．（2023上·江苏盐城·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点 ，点 ，则线段
．
【答案】5
【分析】本题主要考查了两点之间的距离．利用两点之间的距离公式进行计算，即可求解．
【详解】解：∵点 ，点 ，
∴ ．
故答案为：5
14．（2022上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在四边形 中，连接 ，
于E， ， ， ，则 的度数等于 ．
【答案】90
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先根据 ，求出 ，再根据“两边平方和等于第三
边平方的三角形是直角三角形”，即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，
故答案为：90．
15．（2024上·甘肃兰州·八年级统考期末）如图，在一张长方形纸板 上放着一根长方体木块．已知
， ，该木块的长与 平行，横截面是边长为 的正方形，一只蚂蚁从点 爬过木块
到达点 需要走的最短路程是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查两点之间线段最短，解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是 个正方形的宽，
∴长为 米；宽为 米．
于是最短路径为： 米．
故答案为： ．
16．（2024上·河南郑州·八年级统考期末）设一个三角形的三边长分别为a，b，c， ，则有
下列面积公式： （海伦公式）， （秦九韶公式），
若一个三角形的三边长依次为2， ， ，则三角形的面积为 ．【答案】
【分析】本题考查代数式求值，二次根式的应用．正确计算是解题关键．理解题意，掌握海伦公式和秦九
韶公式是解题关键．
【详解】解：利用海伦公式求解： ，
，
，
，
∴ ，
；
利用秦九韶公式：．
17．（2024上·江苏南通·八年级统考期末）如图， 中， 于点 平分 ，
交 与点 于点 ，且交 于点 ，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质．连接 ，证明
，可得 ，从而得到 ，再由勾股定理求出 ，
然后根据 ，即可得出结果．
【详解】解：如图，连接 ，
∵
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
解得： ，
故答案为： ．
18．（2024上·河南驻马店·八年级校考期末）如图，在 中， ， ， 是
的中点，在斜边 上有一动点 ．从点 出发，沿着 的方向以每秒1cm的速度运动，当点
运动到点 时，停止运动．设动点 的运动时间为 s，连接 ，若 为等腰直角三角形，则 的值为
．【答案】 或 / 或
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理．分 和 ，两种情况进行讨论即可．
【详解】解：∵ ， ， 是 的中点，
∴ ，
由题意，得： ，
当 为等腰直角三角形时，分两种情况：
①当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理，得： ，
∴ （负值舍去）；
②当 时，
则： ，
∴ ，
由勾股定理，得： ，
解得： （负值已舍掉）；
综上： 或 ．
故答案为： 或 ．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（2023下·云南昆明·八年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查算术平方根、立方根，平方差公式以及实数的运算，理解算术平方根、立方根的定义，
掌握平方差公式的结构特征以及实数的运算法则是正确解答的前提．
（1）根据算术平方根、立方根的定义以及二次根式的性质进行计算即可；
（2）根据平方差公式，二次根式的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．（2023上·辽宁本溪·七年级校考阶段练习）已知： ，，分别求下列代数式的值：
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：
（1）先求出 ， ，再由 进行计算求解即可；
（2）先求出 ， ，再由 进行计算求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ；（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴
21．（2024上·浙江金华·八年级统考期末）如图，在 和 中，已知 ， 以及可
以选择的条件① ；② ；③ ．
(1)选择________条件（选一个，填序号）使得 ，并给出证明；
(2)若边 与 交于点 ， ， ．求 的长．
【答案】(1)③，见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）选择③ （答案不唯一），由 证得 即可；选② ，由 证得
即可；
（2）由 ，得出 ，则 ，即可得出答案．
【详解】（1）解：选择③ ，理由：在 和 中， ，
，
故答案为：③；
选② ，理由：
，
在 和 中， ，
；
故答案为：②；
（2）解： ，
，
，
．
22．（2023下·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图， 是等腰三角形， ，
点 是边 上的一点，连接 ．
(1)若 的周长是 ， ，点 是 的中点，求 的长；
(2)若 ， ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理；
（1）根据等腰三角形的性质得 ， ，进而勾股定理，即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理得出 ，进而根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）解：因为点 是 的中点， ，
所以 ．
因为 的周长是 ， ，所以 ．
因为 是等腰三角形， ，点 是 的中点，所以 ．
在 中， ， ，所以 ．
（2）因为 ， ， ，
所以 ，即 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以
所以 ．
23．（2023上·贵州贵阳·八年级校考期中）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是 ，斜边
长为c．
探究：
（1）用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）．
①小正方形的边长为c，大正方形的边长为______；
②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式______，整理得 ，从而验证勾股定理；
应用：
（2）将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使 和 在一条直线上，连接 ．请你类比（1）中
的方法用图③验证勾股定理．【答案】（1）① ② （2）见解析
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握利用数形结合的思想，证明勾股定理．
（1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可；
（2）利用等积法进行证明即可．
【详解】解：（1）①由图和题意可知：大正方形的边长为 ；
故答案为： ；
②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式 ；
故答案为： ；
（2）用两种不同的方法表示出梯形 的面积，可得： ，
∴ ，
∴ ．
24．（2023上·江苏无锡·八年级校联考阶段练习）已知长方形 中， ， ，
，点 在边 上，由 往 运动，速度为 ，运动时间为 秒，将 沿着 翻折
至 ，点 对应点为 ， 所在直线与边 交于点 ．
(1)如图1，当 时，求证： ；
(2)如图2，当 时，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）由 ，从而得到 ，由折叠的性质可得， ，即可得到
，根据等角对等边，即可求解，
（2）延长 、 交于点 ，当 时，求出 的长，由 ，得到 ，同理
（1）可得到 ，在 中应用勾股定理，即可求解，
本题考查了，折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握
相关性质定理．
【详解】（1）解： ，
，
由折叠的性质可得， ，
，
，
（2）解：延长 、 交于点 ，
由矩形的性质可得， ，
，
又 ，
当 时， ， ，
，
，
，
由折叠的性质可得， ，
，
，设 ，则 ，
在 中，根据勾股定理， ，即： ，解得： ，
，
故答案为： ．
25．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）观察下列等式，解答下列问题：
；
．
应用计算：
(1)利用上面的方法进行化简： ；
(2)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果： ______；
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分母有理化．熟练掌握平方差公式，二次根式的性质，二次根式的加减，是解决
问题的关键．
（1）分子分母都乘以 ，然后利用平方差公式计算化简；
（2）利用（1）小题的计算结果找出规律求解；
（3）先利用上面的规律对每一个分母有理化，然后再进行二次根式的加减，即可．【详解】（1） ；
（2） ；
故答案为： ；
（3）原式
．
26．（2023上·四川宜宾·八年级统考期末）已知，在 中， ， 是 上的一点，连接 ，
在直线 右侧作等腰 ．
(1)如图1， ，连接 ，求证： ；
(2)如图2， ，取 边中点 ，连接 ．当 点从 点运动到 点过程中，
求线段 长度的最小值；
(3)如图3，四边形 中， ，连接 ，已知 ，求
的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
(3)5
【分析】（1）利用 证明 ，结合全等三角形的性质可得 ，即可证明结论；
（2）取 中点 ，连接 ，结合全等三角形的性质易得 ，由“垂线段最短”的性质可
知当 时， 最短，即此时 最短，证明 为等腰直角三角形，在 中，设
，利用勾股定理列方程并解得 的值，即可获得答案；
（3）过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 交 于点 ，证明 ，
由全等三角形的性质可得 ，进而证明 为等腰直角三角形，在
中，设 ，利用勾股定理列方程并解得 的值，易得 ，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）取 中点 ，连接 ，
由①可得 ，
∵点 是 中点，
∴ ，∴当 时， 最短，即此时 最短，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，设 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，即 的最小值为1；
（3）过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 交 于点 ，如下图，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，设 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂线最短等知
识，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．
