文档文本内容
2024-2025 学年八年级数学上学期第一次月考仿真模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：七年级下册～八年级上第12章（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。）
1．若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（ ）
A．1 B．5
C．7 D．9
【答案】B
【详解】试题分析：由题意分析之，三角形三边和之间的关系是，三角形两边之和大于第三边，两边
之差小于第三边．即：|3-4|≺x≺|3+4|⇒1≺x≺7，故符合题意的第三边需要满足1≺x≺7，
故符合题意的只有5，故选B
考点：三角形三边关系
点评：本题属于对三角形三边基本关系的考查，需要考生对三角形三边的基本关系熟练掌握
2．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．
利用全等图形的定义进行判断即可．【详解】解：A、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意；
B、两个图形属于全等图形， 故此选项符合题意；
C、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意；
D、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意．
故选：B．
3．小华家的人字梯在两旁分别有一根“拉杆”，这样设计是利用（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．四边形具有不稳定性
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是三角形的稳定性，解题关键是熟练掌握三角形的稳定性原理．根据三角
形的稳定性即可求解．
【详解】解：在人字梯的中间设计的拉杆，
可从不稳定的四边形中构成一个稳定的三角形，
从而达到稳定人字梯的作用．
故选：C．
4．正十边形的每一个内角的度数为（ ）
A．120° B．135° C．140° D．144°
【答案】D
【详解】∵一个正十边形的每个外角都相等，∴正十边形的一个外角为360÷10=36°．
∴每个内角的度数为180°–36°=144°；故选D．
5．正确画出△ABC的边BC上的高的图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．【详解】解：A、图中BD不是边BC上的高，不符合题意；
B、图中CD不是边BC上的高，不符合题意；
C、图中AD是边BC上的高，符合题意；
D、图中BD不是边BC上的高，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线
段叫做三角形的高．
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，AE平分∠DAC，CE=3，则ED=（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性
质得出CE=DE即可得到答案．
【详解】解：∵ ∠C=90°，DE⊥AB，AE平分∠DAC，
∴CE=DE=3，
故选C．
7．仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图，请你根据图形全等的知识，
说明画出∠A'O'B'=∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】B
【分析】根据作图过程可知O'C'=OC，C'D'=CD，O'D'=OD，所以运用的是三边对应相等，两三
角形全等作为依据．
【详解】解：根据作图过程可知O'C'=OC，C'D'=CD，O'D'=OD，
在△OCD和△O'C'D'中，¿，
∴△OCD≌△O'C'D' (SSS)，
∴∠A'O'B'=∠AOB，
故选：B．
【点睛】本题考查基本作图—作一个角等于已知角，其理论依据是三角形全等的判定“SSS”，解题
的关键是熟练掌握相关的判定定理．
8．一副三角板如图方式放置，点A，D分别在EF，BC上，AB与ED相交于点G，EF∥BC，则∠BGE
的度数为( )
A．85° B．75° C．60° D．50°
【答案】B
【分析】由EF∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠EAG的度数，结合三角形的外
角性质，即可求出∠BGE的度数．
【详解】解：∵ EF∥BC，
∴∠EAG=∠B=30°．
∵∠BGE是△AEG的外角，
∴∠BGE=∠E+∠EAG=45°+30°=75°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻
的两个内角的和”是解题的关键．
9．如图，△ABC中，∠A＝75°，∠B＝50°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转，得到△A’B’ C，点A
的对应点A'落在AB边上，则∠BCA'的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理了求出∠ACB的度数，再根据旋转得出AC=A′C，进一步求出∠ACA′，即可得出答案．
【详解】解：∵△ABC中,∠A=75°，∠B=50°，
∴∠BCA=180°−∠A−∠B=55°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转，得到△A’B’C’，点A的对应点A’落在AB边上，
∴AC=A′C，
∴∠CA′A=∠A=75°，
∴∠ACA′=180°−∠A−∠CA′A=30°，
∴∠BCA′=∠BCA−∠ACA′=25°，
故选B.
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质等知识.利用旋转找出图中的等腰三角形是解题
的关键.
10．如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息.若要使凉亭到草坪三条边的距离都相
等，则凉亭应建在三角形草坪 （ ）
A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条高的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
【答案】A
【分析】首先理解凉亭到草坪三条边的距离相等的意义，而角平分线上的点到角两边的距离相等，
从而得出△ABC的角平分线交于三角形内一点，判断它到三角形各边的距离是否相等，问题即可解
答．
【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以凉亭的位置应为△ABC三条角平分线的交点．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的
关键．
11．如图，∠2+∠3+∠4＝320°，则∠1＝（ ）
A．60度 B．40度 C．50度 D．75度
【答案】B【分析】根据多边形的外角和等于360°即可得到结论.
【详解】由多边形的外角和等于360°，有∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，∠2＋∠3＋∠4=320°，所
以∠1＝360°－320°＝40°.
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，熟记多边形的外角和等于360°是解题的关键.
12．如图1，四边形ABCD是长方形纸带，其中AD∥BC，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿
BF折叠成图3，则图3中∠CFE的度数是（ ）
图1
图2
图3
A．110° B．120° C．140° D．150°
【答案】B
【分析】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据
轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
由题意知∠DEF=∠EFB=20°，图（2）∠GFC=140°，图（3）中的∠CFE=∠GFC-∠EFG．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=20°，
在图（2）中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，
在图（3）中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．若正多边形的一个外角为30°，则这个多边形为正 边形．
【答案】12．
【详解】试题分析：正多边形的一个外角等于30°，而多边形的外角和为360°，则： 多边形的边
数=360°÷30°=12，
考点：多边形内角与外角
14．如图，∠A=50°，∠ABO=25°，∠ACO=20°，求∠BOC= ．【答案】95∘/95度
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理求出∠OBC+∠OCB，再在△BOC中，利用三角形内
角和即可求出∠BOC．
【详解】解：∵∠A=50°，∠ABO=25°，∠ACO=20°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-50°-25°-20°=85°，
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°-85°=95°，
故答案为：95∘
【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理，求出
∠OBC+∠OCB=85°．
15．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，若∠ACB＝85°，则C处在B
处的北偏东 度方向．
【答案】80
【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角．
【详解】∵B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，
∴∠BAC＝45°+15°＝60°，
∵∠ACB＝85°，
∴∠ABC＝180°﹣60°﹣85°＝35°，
∴C处在B处的北偏东45°+35°＝80°，
故答案为80．
【点睛】本题考查方向角的概念，解题时需注意方向角的表示都是以南、北偏东、西叙述的.
16．在如图所示的正方形网格中，∠1+∠2+∠3= ．【答案】135°/135度
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识．证明△EFB≌△BCG(SAS)，
推出∠1=∠CBG，推出∠1+∠3=∠B=CBG+∠3=90°，可得结论．
【详解】解：由题意CB=CD，∠C=90°，
∴∠2=∠CBD=45°，
∵EF=CD，BF=CG，∠EFB=∠BCG=90°，
∴△EFB≌△BCG(SAS)，
∴∠1=∠CBG，
∴∠1+∠3=∠B=CBG+∠3=90°，
∴∠1+∠2+∠3=135°．
故答案为：135°．
17．如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，AD是△ABC的中线，则△ABD的周长比△ACD的周
长大 cm．
【答案】2
【分析】根据中线的定义可得BD＝CD，然后求出△ABD的周长与△ACD的周长的差为（AB﹣AC），从
而得解．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ACD的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝AB﹣AC，
∵AB＝8cm，AC＝6cm，
∴△ABD的周长﹣△ACD的周长＝8﹣6＝2cm，
即△ABD的周长比△ACD的周长大2cm．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线，求出两个三角形的周长的差等于（AB﹣AC）是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，AB＜BC，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P点，连接PC，若△ABC的面积为4，
则△BPC的面积为 ．
【答案】2
【分析】根据已知条件证得△ABP≌△DBP，根据全等三角形的性质得到AP=PD，得出S =S ，
△ABP △DBP
1
S =S ，推出S = S ，代入求出即可．
△ACP △DCP △PBC 2 △ABC
【详解】如图，延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC
∴∠ABP=∠DBP，且BP=BP，∠APB=∠DPB
∴△ABP≌△DBP（ASA）
∴AP=PD，
∴S =S ，S =S ，
△ABP △BPD △APC △CDP
1
∴S = S =2
△PBC 2 △ABC
【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，解题关键在于掌握等底等高的
三角形的面积相等．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）计算：4×(-3) 2+|2-5|．
【答案】39
【分析】分别计算乘方与绝对值，再计算有理数的乘法，再计算有理数加法，从而可得答案．
【详解】解：原式=4×9+3=39.
【点睛】本题考查的是求一个数的绝对值，乘方的运算，有理数的四则混合运算，掌握以上知识是
解题的关键．
20．（6分）解不等式组：¿，并把解集在数轴上表示出来.
【答案】-3<x≤1，把解集在数轴上表示见解析.
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】¿
解不等式①得：x>-3.
解不等式②得：x≤1.
将不等式解集表示在数轴如下：
得不等式组的解集为-3<x≤1.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大
小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（8分）如图，△ABC中，∠B<∠C，AD⊥BC于D， AE平分∠BAC交BC于E，
(1)当∠B=30°，∠C=50°时，求∠DAE的度数；
(2)猜想：∠DAE与∠B、∠C有什么关系，并说明理由．
【答案】(1)10°
1 1
(2)∠DAE= ∠C- ∠B
2 2
【分析】本题考查三角形的内角和定理、三角形的角平分线和高的定义；
（1）先利用三角形的内角和求得∠BAC=100°，再利用角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余
求得∠CAE=50°，∠CAD=40°，进而求解即可；
（2）利用三角形的内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得1 1
∠CAE= ∠BAC= (180°-∠B-∠C)，∠CAD=90°-∠C，进而求解即可．
2 2
【详解】（1）解：∵∠B=30°，∠C=50°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
∵AE平分∠BAC，
1
∴∠CAE= ∠BAC=50°
2
∵AD⊥BC，∠C=50°时
∴∠DAC=90°-50°=40°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-40°=10°
1 1
（2）解：∠DAE= ∠C- ∠B
2 2
解：∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，
1 1
∴∠CAE= ∠BAC= (180°-∠B-∠C)，∠CAD=90°-∠C，
2 2
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD
1
= (180°-∠B-∠C)-(90°-∠C)
2
1 1
=90°- ∠B- ∠C-90°+∠C
2 2
1 1
= ∠C- ∠B．
2 2
22．（8分）某中学一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采
取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”“比较了解”“基本了解”
“不太了解”四个等级(1)求本次问卷调查取样的样本容量；
(2)在扇形统计图中，求等级为“非常了解”的人数所对应扇形的圆心角度数；
(3)若该校有学生1500人，根据调查结果，估计这些学生中“基本了解”垃圾分类知识的人数．
【答案】(1)200
(2)72°
(3)270人
【分析】（1）用“非常了解”的人数除以它所占百分比60%可得答案；
（2）用360°乘等级为“非常了解”所占的百分比即可；
（3）用总人数乘样本中“基本了解”垃圾分类知识的学生的占比即可．
【详解】（1）求本次问卷调查取样的样本容量为：120÷60%=200；
（2）在扇形统计图中，求等级为“非常了解”的人数所对应扇形的圆心角度数为：
40
360°× =72°；
200
36
（3）1500× =270(人)，
200
答：估计这些学生中“基本了解”垃圾分类知识的人数大约为270人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本
题的关键．
23．（10分）某中学计划为生物兴趣小组购买大、小两种显微镜，若购买1个大显微镜和3个小显微镜
需用1360元；若购买2个大显微镜和1个小显微镜需用1320元．
(1)求每个大显微镜和每个小显微镜各多少元；
(2)学校决定购买以上两种显微镜共30个，总费用不超过9600元，那么该中学最少可以购买多少个
小显微镜？【答案】(1)每个大显微镜520元，每个小显微镜280元；
(2)该中学该中学最少可以购买25个小显微镜．
【分析】（1）根据购买1个大显微镜和3个小显微镜需用1360元；若购买2个大显微镜和1个小显
微镜需用1320元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果、购买以上两种显微镜共30个，总费用不超过9600元，可以写出相应的不
等式，然后求解即可．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量
关系，列出相应的方程组，找出不等关系，列出相应的不等式．
【详解】（1）解：设每个大显微镜x元，每个小显微镜y元，
由题意可得¿，
解得：¿，
答：每个大显微镜520元，每个小显微镜280元；
（2）解：设该中学可以购买m个小显微镜，则购买大显微镜(30-m)个，
根据题意得520(30-m)+280m≤9600
解得m≥25，
答：该中学该中学最少可以购买25个小显微镜．
24．（10分）（1）如图1，A是线段DE上一点，∠BAC=90°,AB=AC,BD⊥DE,CE⊥DE．求证：
DE=BD+CE．
（2）若点A在ED的延长线上，其余条件与（1）相同，如图2，线段DE,BD,CE之间又有怎样的数
量关系？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）BD=CE+DE，理由见解析
【分析】（1）先证△ADB≌△CEA(AAS)得出BD=AE，CE=AD，从而得出DE=BD+CE；
（2）先证△ADB≌△CEA得出BD=AE，CE=AD，从而得出BD=CE+DE．
【详解】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠D=∠E=90°，
∴∠DBA+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠DBA=∠CAE．
∵AB=AC，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴BD=AE，CE=AD，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）解：BD=DE+CE．理由如下：
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，
∴∠ABD=∠EAC．
∵AB=AC，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴BD=AE，CE=AD．
∵AE=AD+DE，
∴BD=CE+DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，根据同角的余角相等可得∠DBA=∠CAE，熟练掌
握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA；对于证明线段的和或差，本题运用全等三角形
的对应边相等将三条线段转化到同一直线上，使问题得以解决．
25．（12分）（1）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°−α，BD平分∠ABC．
①如图1，若α=90°，请直接写出AD与CD之间的数量关系________；
②在图2中，①中结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分
∠ABC，求证：BD+AD=BC．
【答案】（1）①AD=CD；②仍然成立，理由见解析；（2）见解析．
【分析】（1）①利用角平分线的性质定理即可证得AD=CD；②在BC截取BE=BA，连接DE，证明△ABD≌△EBD，再证明△ECD是等腰三角形即可；
（2）在BC截取BE=BA，在BC截取BF=BD，连接DE、DF，证得DF=FC，再证明△ABD≌△EBD，推出
∠DEF=∠DFE=80°，得到AD=DE=DF=CF，即可证明BD+AD=BC．
【详解】解：（1）①∵∠BAD=90°，∠BCD=180°−90°=90°，BD平分∠ABC，
∴AD=CD；
②成立，理由如下：
在BC截取BE=BA，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
又BE=BA，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴AD=ED，∠BAD=∠BED，
∵∠BCD=180°−∠BAD，
∴∠BCD=180°−∠BED=∠DEC，
∴CD=ED，
∴AD=CD；
（2）∵在等腰△ABC中，∠BAC=100°，
180°-100°
∴∠B=∠C= =40°，
2
∵BD平分∠ABC，
1
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=20°，
2
在BC截取BE=BA，在BC截取BF=BD，连接DE、DF，
180°-20°
∴∠BDF=∠BFD= =80°，
2
∵∠C=40°，∴∠CDF=80°-40°=40°，
∴DF=FC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
又BE=BA，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴AD=ED，∠BAD=∠BED=100°，
∵∠DEF=180°−∠BED=180°−100°=80°，
∴∠DEF=∠DFE=80°，
∴DE=DF，
∴AD=DE=DF=CF；
∴BD+AD=BF+FC=BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是学会添
加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
26．（12分）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
(1)若∠A=60°，则∠BPC的度数是 ；
(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关
系．
(3)如图③，延长线段BP,QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A
的度数．
【答案】(1)120°
1
(2)∠Q=90°- ∠A
2
(3)∠A的度数是45°或60°或120°或135°
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的角的计算，三角形的内角和定理，外角定理等知识．（1）先求出∠ABC+∠ACB=120°，进而求出∠PBC+∠PCB=60°，即可求出∠BPC=120°；
1
（2）先求出∠MBC+∠NCB=180°+∠A，进而求出∠QBC+∠QCB=90°+ ∠A，即可求出
2
1
∠Q=90°- ∠A；
2
1
（3）延长BC至点F，先证明∠E= ∠A，再求出∠EBQ=90°．分①∠EBQ=3∠E=90°，②
2
∠EBQ=3∠Q=90°，③∠Q=3∠E，④∠E=3∠Q四种情况分类讨论即可求解 ．
【详解】（1）解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
1 1
∴∠PBC= ∠ABC,∠PCB= ∠ACB，
2 2
1
∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)=60°，
2
∴∠BPC=180°-(∠ABC+∠ACB)=120°．
故答案为：120°；
（2）解：∵∠MBC=∠ACB+∠A，∠NCB=∠ABC+∠A，
∴∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A，
∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，
1 1
∴∠QBC= ∠MBC，∠QCB= ∠NCB，
2 2
1 1 1
∴∠QBC+∠QCB= (∠MBC+∠NCB)= (180°+∠A)=90°+ ∠A，
2 2 2
( 1 ) 1
∴∠Q=180°-(∠QBC+∠QCB)=180°- 90°+ ∠A =90°- ∠A；
2 2
（3）解：（3）如图③，延长BC至点F，∵CQ △ABC ∠NCB
为 的外角 的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的角平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E，
∵∠ACF=∠ABC+∠A，
1
∴∠A=2∠E即∠E= ∠A．
2
∵BE平分∠ABC，BQ平分∠MBC，∠ABC+∠MBC=180°，
1
∴∠EBQ=∠EBC+∠QBC= (∠ABC+∠MBC)=90°．
2
如果在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：
①当∠EBQ=3∠E=90°时，则∠E=30°，
∴∠A=2∠E=60°；
②当∠EBQ=3∠Q=90°时，则∠Q=30°，∠E=60°，
∴∠A=2∠E=120°；
③当∠Q=3∠E时，则∠E=22.5°，
∴∠A=2∠E=45°；
④当∠E=3∠Q时，则∠E=67.5°，
∴∠A=2∠E=135°．
综上所述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．
