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人教版八年级上学期【第一次月考卷】
（测试时间：90分钟 满分：120分 测试范围：第11章、第12章）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项正确）
1．（2022秋•宁河区校级月考）图中能表示△ABC的BC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高线的定义对各选项进行判断．
【解答】解：题中需要画△ABC的BC边上的高．应当过顶点A向BC边作垂线，顶点A到垂足E的垂
线段就为BC边上的高．钝角三角形钝角两夹边的高在三角形的外部．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：熟练掌握三角形的角平分线、高和中线的定义．
2．（2022秋•宁河区校级月考）如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
【分析】利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．
【解答】解：设三个内角分别为2k、3k、4k，
则2k+3k+4k＝180°，
解得k＝20°，
所以，最大的角为4×20°＝80°，
所以，三角形是锐角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”表示出三个内角求解更加简便．
3．（2022秋•江汉区月考）一个多边形的内角和的度数是外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．八边形【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣
2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值，从而求解．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝2×360°，
解得：n＝6．
即这个多边形为六边形．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根
据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
4．（2022秋•宁河区校级月考）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝50°，∠ACD＝120°，
则∠A＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：由三角形的外角的性质可知，
∠A＝∠ACD﹣∠B＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是
解题的关键．
5．（2022 秋•临淄区校级月考）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB，交 AB 于点 E，
DF⊥AC，交AC于点F．若S△ABC ＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
【分析】首先由角平分线的性质可知DF＝DE＝2，然后由S△ABC ＝S△ABD +S△ACD 及三角形的面积公式，从而求出AC的长．
【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝2．
又∵S△ABC ＝S△ABD +S△ACD ，AB＝4，
∴7＝ ×4×2+ ×AC×2，
解得AC＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6．（2022秋•江汉区月考）如图所示，∠1的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据三角形外角的性质计算即可．
【解答】解：∠1＝120°﹣50°＝70°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题
的关键．
7．（2022秋•红花岗区校级月考）工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知∠AOB
是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重
合，则过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB角平分线．在证明△MOC≌△NOC时运用的判定定理是（
）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】由作图过程可得 MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边 CO＝CO 可利用 SSS 定理判定
△MOC≌△NOC．【解答】解：∵在△ONC和△OMC中 ，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、
AAS、HL．
8．（2022秋•江汉区月考）以下列长度的三条线段为边长，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4 B．3，4，8 C．5，6，6 D．5，6，11
【分析】根据构成三角形的条件逐一判断即可求解．
【解答】解：A．∵1+2＝3＜4，故1、2、4不能构成三角形，故A选项不符合题意；
B．∵3+4＝7＜8，故3、4、8不能构成三角形，故B选项不符合题意；
C．∵5+6＝11＞6，且6﹣5＝1＜6，故5、6、6能构成三角形，故C选项符合题意；
D．∵5+6＝11，故5、6、11不能构成三角形，故D选项不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握“两边之和大于第三边，且两边之差小于第三边”是
解题的关键．
9．（2022秋•江汉区月考）如图，D为等腰△ABC边BC上一点，AB＝AC，∠BAC＝2 ，若BF＝DC，
EC＝BD，则∠EDF等于（ ） α
A． B．90°﹣ C．90°+ D．180°﹣
【分α析】求出∠B＝∠C＝90°﹣α ，利用SAS证明△αBFD≌△CDE，可得∠BαFD＝∠EDC，然后求出
∠FDB+∠EDC＝∠FDB+∠BFD＝α90°+ ，再根据∠EDF＝180°﹣（∠FDB+∠EDC）计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC， α
∴ ，在△BFD和△CDE中，
，
∴△BFD≌△CDE（SAS），
∴∠BFD＝∠EDC，
∴∠FDB+∠EDC＝∠FDB+∠BFD＝180°﹣∠B＝180°﹣（90°﹣ ）＝90°+ ，
∴∠EDF＝180°﹣（∠FDB+∠EDC）＝180°﹣（90°+ ）＝90°﹣α ． α
故选：B． α α
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌
握全等三角形的判定定理与性质定理是解本题的关键．
10．（2021秋•旌阳区校级月考）如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为
BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：
①∠DAE＝∠F； ② 2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE； ③ S△AEB ：S△AEC ＝AB：AC； ④∠AGH＝
∠BAE+∠ACB．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】如图，①根据三角形的内角和即可得到∠DAE＝∠F；②根据角平分线的定义得∠EAC＝
，由三角形的内角和定理得∠DAE＝90°﹣∠AED，变形可得结论；③根据三角形的面积公式
即可得到 S△AEB ：S△AEC ＝AB：CA；④根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到∠AGH＝
∠BAE+∠ACB．
【解答】解：如图，AE交GF于M，①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE＝∠AMF＝90°，
∵∠AED＝∠MEF，
∴∠DAE＝∠F；故①正确；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠EAC＝ ∠BAC，
∠DAE＝90°﹣∠AED
＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），
＝90°﹣（∠ACE+ ∠BAC），
＝ （180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），
＝ （∠ABD﹣∠ACE），
即2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE，
故②正确；
③∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴点E到AB和AC的距离相等，
∴S△AEB ：S△AEC ＝AB：CA；故③正确，
④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，
∴∠AGH＝∠MEF，
∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2022秋•宁河区校级月考）已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为 1 2 ．
【分析】根据2和5可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．
【解答】解：当2为腰时，三边为2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据 2，5，分别作为腰，由三
边关系定理，分类讨论．
12．（2022秋•宁河区校级月考）如图，五边形 ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、
∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3＝ 18 0 ．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B+∠C＝180°，从而得到以点B、点C为顶点的五边形
的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠4+∠5＝180°，
根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．
故答案为：180°．
【点评】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．13．（2023春•高港区月考）正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是正 十 边形．
【分析】根据正多边形的每个内角相等，可得正多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式，可得答
案．
【解答】解：设正多边形是n边形，由题意得
（n﹣2）×180°＝144°n．
解得n＝10，
故答案为：十．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用了正多边形的内角相等，多边形的内角和公式．
14．（2022秋•宁河区校级月考）已知△ABC≌△A'B'C'，且△ABC的周长为20，AB＝8，BC＝5，则
A'C'等于 7 ．
【分析】先根据三角形周长公式求出AC＝7，再根据全等三角形对应边相等即可得到A'C'＝AC＝7．
【解答】解：∵△ABC的周长为20，AB＝8，BC＝5，
∴AC＝20﹣AB﹣BC＝7，
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴A'C'＝AC＝7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形周长公式，熟知全等三角形对应边相等是解题的关
键．
15．（2022秋•集美区校级月考）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，
若PA＝8，则PQ的最小值为 8 ．
【分析】过P作PE⊥OM于E，当Q和E重合时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出PE＝PA，即
可求出答案．
【解答】解：
过P作PE⊥OM于E，当Q和E重合时，PQ的值最小，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝8，
∴PE＝PA＝8，
即PQ的最小值是8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角
平分线上的点到角的两边的距离相等．
16．（2020秋•颍州区校级月考）△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝9厘米，点D为AB的
中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向
A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为 2.2 5 或 3 ．
【分析】分两种情况讨论：①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD＝CQ＝6厘米，BP＝
CP＝ BC＝ ×9＝4.5（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若△BPD≌△CQP，则
CP＝BD＝6厘米，BP＝CQ，得出 ，解得：v＝3．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC＝12厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝6厘米，
若△BPD≌△CPQ，则需BD＝CQ＝6厘米，BP＝CP＝ BC＝ ×9＝4.5（厘米），
∵点Q的运动速度为3厘米/秒，
∴点Q的运动时间为：6÷3＝2（s），
∴v＝4.5÷2＝2.25（厘米/秒）；
若△BPD≌△CQP，则需CP＝BD＝6厘米，BP＝CQ，
∴ ，
解得：v＝3；
∴v的值为：2.25或3，故答案为：2.25或3
【点评】此题考查了全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段
两端点的距离相等．
17．（2022秋•右玉县月考）如图，在△ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A′，
若∠A＝30°，∠BDA′＝86°，则∠CEA′的度数为 26 ° ．
【分析】先利用对折的性质说明∠ADE与∠A′DE、∠AED与∠A′ED的关系，再利用三角形的内角
和、平角的定义求出∠ADE、∠DEA′、∠DEC的度数，最后利用角的和差关系求出∠CEA′的度数．
【解答】解：∵△A′DE是△ADE沿DE对折后的图形，
∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED．
∵∠ADE+∠A′DE+∠BDA′＝180°，∠BDA′＝86°，
∴∠ADE＝47°．
∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∠A＝30°，
∴∠AED＝∠DEA′＝100°．
∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝77°．
∵∠DEA′＝103°，
∴∠CEA′＝∠DEA′﹣∠DEC＝26°．
故答案为：26°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和、平角的定义，掌握角的和差关系、“三角形的内角和是
180°”及平角的定义是解决本题的关键．
18．（2022秋•蚌山区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高．
（1）若∠ECF＝ ，则∠CAB＝ （用含 的代数式表示）；
（2）点E从点Bα出发，在直线BCα上以每秒α2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，
当点E运动 2 或 5 s时，CF＝AB．【分析】先证明△CEF≌△ACB（AAS），得出CE＝AC＝7cm，①当点E在射线BC上移动时，BE＝
CE+BC＝＝10cm，即可求出E移动了5s；②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝4cm，即可
求出E移动了2s．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠CBD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ECF，
∴∠ECF＝∠A＝ ；
故答案为： ； α
（2）∵过点αE作BC的垂线交直线CD于点F，
∴∠CEF＝90°＝∠ACB，
在△CEF和△ACB中，
，
∴△CEF≌△ACB（AAS），
∴CE＝AC＝7cm，
①如图，当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝7+3＝10（cm），
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，
∴E移动了：10÷2＝5（s）；
②当点E在射线CB上移动时，BE′＝AC﹣BC＝7﹣3＝4（cm），
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，
∴E移动了：4÷2＝2（s）；综上所述，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF＝AB；
故答案为：2或5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质
是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，19-24题每题8分，25-26题9分，共66分．）
19．（2022秋•宁河区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，AD是BC边上的高，
AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数．
【分析】（1）由∠ABC、∠ACB的度数结合三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，再根据角平分
线的性质可求出∠BAE的度数；
（2）利用三角形的外角性质可求出∠AEB的度数，结合∠ADE＝90°即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝30°．
（2）∵∠CAE＝∠BAE＝30°，∠ACB＝80°，
∴∠AEB＝∠CAE+∠ACB＝110°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADE＝90°，∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ADE＝20°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：
（1）利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数；（2）牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内
角的和．
20．（2023春•石阡县期中）（1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形是几边形？
（2）小明求得一个多边形的内角和为1280°，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小明复查时发现
他重复加了一个内角，你能求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的度数是多少吗？
【分析】（1）由多边形内角和定理，多边形的外角和是360°，即可求解；
（2）由多边形内角和定理，即可求解．
【解答】解：（1）设这个多边形的边数是n，
由题意得：（n﹣2）×180°＝360°×3，
∴n＝8，
答：这个多边形是八边形；
（2）设这个多边形的边数是m，重复加的那个角的度数是x°，
由题意得，
（m﹣2）×180°+x°＝1280°，
∴（m﹣2）×180°＝1280°﹣x°，
∵1280°÷180°＝7……20°，
∴x＝20，（m﹣2）×180°＝1260°，
∴m＝9．
答：这个多边形的边数是9，重复加的那个角的度数是20°．
【点评】本题考查多边形的内角和定理，关键是掌握多边形的内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n
为整数）．
21．（2022秋•宁河区校级月考）已知：如图，AB＝AE，AC＝AD，BC＝ED，∠BAC＝30°，∠E＝50°．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）求∠ADC的度数．
【分析】（1）直接利用SSS证明△ABC≌△AED即可；（2）先根据全等三角形的性质得到∠EAD＝∠BAC＝30°，再利用三角形外角的性质求解即可．
【解答】（1）证明：在△ABC和△AED中， ，
∴△ABC≌△AED（SSS）；
（2）∵△ABC≌△AED，
∴∠EAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝∠E+∠EAD＝80°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知全等三角形的性质与判定
条件是解题的关键．
22．（2022秋•集美区校级月考）如图，（1）作∠ABC的角平分线；（2）过点D作直线DG，使得
DG∥AB（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】（1）利用尺规作出∠ABC的角平分线BP即可；
（2）利用同位角相等两直线平行，解决问题即可．
【解答】解：（1）如图（1），射线BP即为所求；
（2）如图（2），直线DG即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于
中考常考题型．
23．（2022秋•江汉区月考）完成下面证明，在横线处填写理由．
如图，AB＝CB，BE＝BF，∠1＝∠2，求证：∠DGF＝∠DHE．
证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EBF＝∠2+∠EBF．（ 等式性质 ）
∴∠ABE＝∠CBF．
在△ABE和△CBF中 ，
∴△ABE≌△CBF．（ SA S ）
∴∠F＝∠E．（ 全等三角形的对应角相等 ）
∵∠FDE＝∠F+∠DGF，∠FDE＝∠E+∠DHE，（ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
）
∴∠DGF＝∠DHE．
【分析】根据全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质进行填空即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EBF＝∠2+∠EBF（等式性质），
∴∠ABE＝∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠F＝∠E（全等三角形的对应角相等），
∵∠FDE＝∠F+∠DGF，∠FDE＝∠E+∠DHE（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠DGF＝∠DHE．
故答案为：等式性质；SAS；全等三角形的对应角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，熟练掌握证明三角形全等的方法
是解题的关键．
24．（2022秋•涟源市期末）如图，C为线段AB上一点，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．
（1）求证：△ACD≌△BEC；（2）判断CF与DE的位置关系？并说明理由．
【分析】（1）根据SAS即可证明；
（2）利用等腰三角形的三线合一的性质即可证明．
【解答】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BEC（SAS）；
（2）解：结论：CF⊥DE．
理由：∵△ACD≌△BEC，
∴CD＝CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识，属于中考常考题型．
25．（2020秋•颍州区校级月考）已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点
E．
（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC＝180°；
（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，试说明：EF＝ED．【分析】（1）根据余角的性质得到∠DEC＝∠BAC，由于∠DEC+∠BEC＝180°，即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质得到∠EBC＝ ABC，∠ECB＝ ACB，于是得到结论；
（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，由∠BAC＝60°，得到∠BEC＝90°+ BAC＝120°，求得
∠FEB＝∠DEC＝60°，根据角平分线的性质得到∠BEM＝60°，推出△FBE≌△EBM，根据全等三角形
的性质得到EF＝EM，同理DE＝EM，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，
∴∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠FAC＝90°，
∴∠DEC＝∠BAC，∠DEC+∠BEC＝180°，
∴∠BAC+∠BEC＝180°；
（2）∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠EBC＝ ABC，∠ECB＝ ACB，∠BEC＝180°﹣（∠ EBC+∠ECB）＝180°﹣
（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣ （180°﹣∠BAC）＝90° ∠BAC；
（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BEC＝90°+ BAC＝120°，
∴∠FEB＝∠DEC＝60°，
∵EM平分∠BEC，
∴∠BEM＝60°，
在△FBE与△EBM中，，
∴△FBE≌△EBM（ASA），
∴EF＝EM，同理DE＝EM，
∴EF＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，正确的作出辅助线构造
全等三角形是解题的关键．
26．（2021秋•淮北期中）已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为线段CB上一点（不与C，B重合），点
E为射线CA上一点，∠ADE＝∠AED，设∠BAD＝ ，∠CDE＝ ．
（1）如图（1）， α β
①若∠BAC＝42°，∠DAE＝30°，则 ＝ 12 ° ， ＝ 6 ° ．
②若∠BAC＝54°，∠DAE＝36°，则α＝ 18 ° ，β＝ 9 ° ．
③写出 与 的数量关系，并说明理α由； β
（2）如图α （β2），当E点在CA的延长线上时，其它条件不变，请直接写出 与 的数量关系．
α β
【分析】（1）①先根据角的和与差求 的值，根据等腰三角形的两个底角相等及顶角为30°得：
∠ADE＝∠AED＝75°，同理可得：∠ACBα＝∠B＝69°，根据外角性质列式：75°+ ＝69°+12°，可得 的
β β度数；
②同理可求得： ＝54°﹣36°＝18°， ＝9°；
③设∠BAC＝x°，α∠DAE＝y°，则 ＝βx°﹣y°，分别求出∠ADE和∠B，根据∠ADC＝∠B+ 列式，可得
结论； α α
（2） ＝2 ﹣180°，理由是：如图（2），设∠E＝x°，则∠DAC＝2x°，根据∠ADC＝∠B+∠BAD，列
式可得α结论β．
【解答】解：（1）①∵∠DAE＝30°，
∴∠ADE+∠AED＝150°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∵∠BAC＝42°，
∴ ＝42°﹣30°＝12°，
α
∴∠ACB＝∠B＝ ＝69°，
∵∠ADC＝∠B+ ，
∴75°+ ＝69°+12α°，
＝6°；β
β故答案为：12°，6°；
②∵∠DAE＝36°，
∴∠ADE+∠AED＝144°，
∴∠ADE＝∠AED＝72°，
∵∠BAC＝54°，
∴ ＝54°﹣36°＝18°，
α
∴∠ACB＝∠B＝ ＝63°，
∵∠ADC＝∠B+ ，
∴72°+ ＝63°+18α°，
＝9°；β
β故答案为：18°，9°；
③ ＝2 ，理由是：
如图α（1）β ，设∠BAC＝x°，∠DAE＝y°，则 ＝x°﹣y°，
∵∠ACB＝∠ABC， α∴∠ACB＝ ，
∵∠ADE＝∠AED，
∴∠AED＝ ，
∴ +∠ADE＝ +∠ABC，
β α
+ ＝ + ，
β∴ ＝2 ； α
（α2） β＝2 ﹣180°，理由是：
如图（α2），β 设∠E＝x°，则∠DAC＝2x°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝ +2x°，
α
∴∠B＝∠ACB＝ ，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴ ﹣x°＝ + ，
∴β＝2 ﹣180°． α
【α点评】β 本题是三角形的综合题，难度适中，考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外
角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是关键，知道顶角的度数可以表示两个底角的度数，同时运用了
类比的方法解决三个问题．
