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第一次月考押题培优卷（1）
（考试范围：第十六-十七章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如果 ，那么（ ）
A． B． C． D．x为一切实数
【答案】B
【详解】∵ ,
∴x≥0,x-6≥0,
∴ .
故选B.
2．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥0 C．x＞0 D．x≥0且x≠2
【答案】D
【详解】由题意得x≥0，且x﹣2≠0，
解得：x≥0，且x≠2，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式、分式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不
能为0是解题在关键.
3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】先根据数轴判断出a、b和a－b的符号，然后根据二次根式的性质化简求值
即可．
【详解】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a－b＜0
∴=
=-a－b＋a－b
=
故选A．
【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握利用数轴判断字母符号和二次根式的性
质是解决此题的关键．
4．下列算式中，运算错误的是（ ）
A． B．
C． D． ＝3
【答案】C
【分析】根据二次根式的加减法则，乘法，除法，乘方法则计算判断即可.
【详解】解：∵ ，正确，
∴A选项不合题意；
∵ ，正确，
∴B选项不合题意；
∵ ，无法计算，
∵C选项符合题意；
∵ ＝3，正确，
∴D选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式运算的基本法则是解题的关
键.
5．在将式子 （m＞0）化简时，
小明的方法是： = = = ；
小亮的方法是： ；小丽的方法是： .
则下列说法正确的是（ ）
A．小明、小亮的方法正确，小丽的方法不正确
B．小明、小丽的方法正确，小亮的方法不正确
C．小明、小亮、小丽的方法都正确
D．小明、小丽、小亮的方法都不正确
【答案】C
【分析】小明的方法为原式分子分母乘以有理化因式，化简得到结果；小亮的方法为
将分子利用二次根式性质化简，约分即可得到结果；小丽的方法为分子利用二次根式
性质化简，再利用二次根式除法法则逆运算变形，计算即可得到结果.
【详解】在将式子 （m＞0）化简时，
小明的方法是： ＝ ＝ ＝ ，正确；
小亮的方法是： ＝ ＝ ，正确；
小丽的方法是： ＝ ＝ ＝ ，正确；
则小明、小亮、小丽的方法都正确，
故选：C
【点睛】此题考查了分母有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化.二
次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差
公式的特点的式子.
6．如图，AB，BC，CD，DE是四根长度均为5cm的小木棒，点A、C、E共线．若
AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）A．7cm B．6 cm C．8cm D．8 cm
【答案】C
【分析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先根据三角形全等
的判定定理证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，再根据等腰
三角形的三线合一可得 ，利用勾股定理可得 ，从而可得
，然后根据等腰三角形的三线合一即可得．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
（等腰三角形的三线合一），
，
，
又 ，
（等腰三角形的三线合一），
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一、勾股定理，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
7．正方形 的边长为 ，其面积记为 ，以 为斜边作等腰直角三角形，以该
等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为 ， 按此规律继续下
去，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S+S＝S，写出部分Sn的值，根据数的变
2 2 1
化找出变化规律Sn＝（ ）n﹣1，依此规律即可得出结论．
【详解】解：在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为1， CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，△
∴S+S＝S．
2 2 1
观察，发现规律：
S＝12＝1，
1S＝ S＝ ，
2 1
S＝ S＝ ，
3 2
S＝ S＝ ，
4 3
…，
∴Sn＝（ ）n﹣1．
当n＝2022时，S ＝（ ）2022﹣1＝（ ）2021，
2022
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，
解题的关键是找出规律Sn＝（ ）n﹣1．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目
时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．
8．意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分
的面积为 ，右图中空白部分的面积为 ，则下列表示 的等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】左图中空白部分的面积=两个边长分别为a、b的正方形的面积+两个直角边长
分别为a、b的直角三角形的面积，右图中空白部分的面积=一个边长为c的正方形的
面积+两个直角边长分别为a、b的直角三角形的面积，据此解答即可．
【详解】解： ， ．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明、直角三角形和正方形的面积等知识，解题的关键是理解图形提供的信息，正确表示出 ．
9．如图，在等腰 中，斜边AB的长为4，D为AB的中点，E为AC边上的动
点， 交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则 的最小值是
（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】求两条线段和最小问题，由 得出 点的运动路径后，再由牧人饮马
问题的方法做出对称点化折为直即可得到 的最小值．
【详解】
解：连接 、 ，
是等腰直角三角形，
在 中， 为 的中点，
同理
点 在 的垂直平分线上运动，
作 关于 垂直平分线的对称点 ，
的最小值为，
为 中点，
，
在 中
故选：C
【点睛】本题考查了以等腰直角三角形为背景的最短路径问题，找出 的运动路径是
解决问题的关键．
10．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长，且a2＋b2＋c2＋200＝12a＋16b＋20c，则
△ABC三条角平分线的交点到一条边的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先配方求a，b，c的值，再证明 如图， 为 的三条角平
分线的交点，过 作 垂足分别为 则
再利用等面积法可得答案.
【详解】解：∵a2+b2+c2+200=12a+16b+20c．
∴a2-12a+36+b2-16b+64+c2-20c+100=0．
∴（a-6）2+（b-8）2+（c-10）2=0．
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0．
∴a=6，b=8，c=10．
如图， 为 的三条角平分线的交点，过 作
垂足分别为 则而
又
．
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方式的应用，非负数的性质，角平分线的性质，勾股定理的
逆定理的应用，解题关键是正确配方求出a，b，c的值并判断三角形是直角三角形．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算：| － |＋2 ＝________.
【答案】 ＋
【分析】先去掉绝对值，再合并同类二次根式，计算即可得到结果．
【详解】| － |＋2 ＝ - +2 = ＋ .
故答案为 ＋ .
【点睛】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．已知 ， ，求下列各式的值：
（1） ______；（2） ______；（3） ______．
【答案】 16
【分析】（1）把 ， 代入 进行计算即可；
（2）先计算 ，再把 化为 ，再代入计算即可；（3）把 化为 ，再整体代入计算即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，
（2）∵ ， ，
∴
（3）∵
∴
故答案为：（1） ；（2）16；（3）
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算，掌握“利用完全
平方公式与平方差公式进行简便运算”是解本题的关键．
13．已知a，b，c为三角形三边，则
=______．
【答案】
【分析】根据三角形的三边关系定理、二次根式的性质计算即可．
【详解】由三角形的三边关系定理得：
则
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理、二次根式的运算，掌握理解三角形的三
边关系定理是解题关键．
14．如图，已知 ， 是角平分线且 ，作 的垂直平分线交
于点F，作 ，则 周长为________．【答案】
【分析】知道 和 是角平分线，就可以求出 ， 的垂直平
分线交 于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，
再求出DE，得到 ．
【详解】解： 的垂直平分线交 于点F，
（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴
∵ ， 是角平分线
∴
∵
∴ ，
∴
【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，
掌握运用三者的性质是解题的关键．
15．如图，已知圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和
点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为______．
【答案】
【分析】要求金属丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：将圆柱侧面展开如图所示，
此时这圈金属丝的周长最小为2AC，
∵圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为3dm，
∴AB=3dm，BC=3dm，
∴在Rt 中，由勾股定理得： dm，
则2AC= dm，
即：这圈金属丝的周长最小为 dm．
故答案为： .
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形
的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面
为平面”是解题的关键．
16．已知：如图，等边 中， ， ， ，则 的长为
___________．
【答案】
【分析】过D作 于点D，使得 ，先证明 是等边三角形得
，然后利用勾股定理求出 ， 再证明 ，从而可得出结果．
【详解】解：如图1，过D作 于点D，使得 ，
，
，
，
，
，
是等边三角形， ，
， ，
在 中， ， ， ，
，
是等边三角形，
， ，
，
即 ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定及性质、勾股定理以及全等三角形的判定
和性质，作出辅助线构造等边三角形和直角三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．）
17．计算(1)
(2)
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）先计算算术平方根，立方根，再合并即可；
（2）先计算乘方运算，化简绝对值，再合并同类二次根式即可．
(1)
解：
(2)
【点睛】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的加减运算，掌握“实数的混合运
算的运算顺序与二次根式的加减运算运算法则”是解本题的关键．
18．先化简，再求值： ，其中a，b满足
．
【答案】
【分析】先利用非负数的性质求得a，b的值，然后代入化简后的代数式求值即可．
【详解】∵a，b满足 ．
∴a＋1＝0，b﹣ ＝0，解得a＝﹣1，b＝ ，当a＝﹣1，b＝ 时，
∴原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确地把所求的代数式化简是解题的关键．
19．先化简，再求值： 其中 ， ．
【答案】ab，-1
【分析】先把所给代数式化简，然后把 ， 代入计算即可．
【详解】解：原式=
=
=ab，
当 ， 时，
原式= ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解
答本题的关键.
20．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 ， ，现将直角边
沿直线 折叠，使它恰好落在斜边 上，且与 重合，求 的长．【答案】3cm
【分析】由勾股定理求得 ，然后由翻折的性质求得 ，设 则
，在 中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵在 中，两直角边 ，
，
由折叠的性质可知： ，
，
设 cm，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ．
即 cm．
【点睛】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用，一元一次方程的解法，熟
练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
21．如图①，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，过点A作直线AC的垂线交BC于点
D．
(1)求∠BAD的度数；
(2)若AC＝2 ，求AB的长；
(3)如图②，过点A作∠DAC的角平分线交BC于点P，点D关于直线AP的对称点为
E，试探究线段CE与BD之间的数量关系，并对结论给予证明．
【答案】(1)15°
(2)2(3)CE=2BD
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠BAC=105°，再由∠DAC=90°，即可得出
答案；
（2）作AF⊥BC于F，由含30°角的直角三角形的性质得AF= AC= ，再由等腰直
角三角形的性质得AF=BF，从而求出AB的长；
（3）作AF⊥BC于F，设DF=x，则AD=2x，AF= x，AC= x，则BD=BF-DF=
x-x，由点D关于直线AP的对称点为E，得AE=AD=2x，可表示出CE的长，从而得出
结论．
【详解】（1）解：∵∠B=45°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-30°=105°，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=105°-90°=15°；
（2）作AF⊥BC于F，
∵∠C=30°，
∴AF= AC= ，
∵∠ABF=45°，
∴AF=BF= ，
∴AB= AF= × =2；
（3）CE=2BD，理由如下：作AF⊥BC于F，∵∠DAF+∠CAF=90°，∠CAF+∠C=90°，
∴∠DAF=∠C=30°，
设DF=x，则AD=2x，AF= x，AC= x，
∵BF=AF= x，
∴BD=BF-DF= x-x，
∵点D关于直线AP的对称点为E，
∴AE=AD=2x，
∴CE=AC-AE= x-2x，
∴CE=2BD．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰直角
三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，用x的代数式表示各线段长，从而
发现线段之间的数量关系是解题的关键．
22．在长方形ABCD中，截取如图所示的阴影部分，已知EC＝5，CF＝5 ，FG＝
4，EG＝3，∠EGF＝90°．
（1）连接EF，求证：∠FEC＝90°；
（2）求出图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）先求EF，再利用勾股定理的逆定理得出 EFC为直角三角形，即可得
证； △（2）先求出 和 的面积，再利用 得出阴影部分的面积．
【详解】解：（1）∵∠EGF＝90°，根据勾股定理得：
EF= ，
∵ ， ，
∴ ，
∴△EFC为直角三角形，
∴∠FEC=90°；
（2）∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．
23．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成
的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 ；
（2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形
（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，
并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系；
（3）利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足a+b＝17，ab＝60，求斜
边c的值．
【答案】（1）（a+b）2=2ab+a2+b2；（2）a2+b2= c2，理由见详解；（3）13
【分析】（1）用两种方法表示大正方形的面积，即可得到答案；
（2）用两种方法表示中间的正方形的面积，即可得到答案；
（3）利用（a+b）2=2ab+a2+b2和a2+b2= c2，代入求值，即可．【详解】解：（1）由图形可知：∵大正方形的面积=2ab+a2+b2，大正方形面积=
（a+b）2，
∴（a+b）2=2ab+a2+b2，
故答案是：（a+b）2=2ab+a2+b2；
（2）∵中间正方形的面积=c2，中间正方形的面积=（a+b）2-4× ab= a2+b2，
∴a2+b2= c2；
（3）由（1）可知：（a+b）2=2ab+a2+b2，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=172-2×60=169，
又∵a2+b2= c2，
∴c2=169，即c=13（负值舍去），
【点睛】本题主要考查完全平方公式勾股定理的证明，结合图形，会用代数式表示同
一个图形的面积是解题的关键．
24．正方形 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 轴， 与 轴交
于点 ， ，且 ， 的长满足 ．
（1）求点A的坐标；
（2）若 ，求 的面积；
（3）在（2）的条件下，正方形 的边上是否存在点 ，使 ？若
存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）9；（3）存在， ，
【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性可求出AE，DE的值，即可得出结果；
（2）如图1，过点 做 轴的垂线，交 和 的延长线于点 和点 ，利用DCFG 即可得解；
长方形
（3）通过 可知 ，分别讨论M点在四条边上时是否存在即可．
【详解】（1） ， ，且 ，
， ．
， ．
，
．
（2）如图1，过点 做 轴的垂线，交 和 的延长线于点 和点 ．
， ，
．
，
， ．
，
．
DCFG ，
长方形
，
，
．
DCFG ．
长方形（3）正方形 的边上存在点 ，使 ，
，
，
如图2，当点 在线段AD上时，
当点 在线段BC上时，
当点 在线段CD上时，
此时不存在；
当点 在线段AB上时，
可知当点 在点A的位置时到CE的距离最近，
此时不存在，， ．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标，面积以及动点问题，有一定综合
性，也有一定难度，需要利用数形结合的思想解题，熟练掌握平面直角坐标系中面积
的求解方法是解题的关键．
25．如图1，点A的坐标为(a，2)，点B的坐标为(b，0)，且a，b满足 +（b﹣
4）2＝0，点C在y轴负半轴上，AC交x轴于点E，点D在x轴正半轴上，且
AC⊥AD．
（1）判断 OAB的形状，并说明理由．
（2）探究线段OC，OD，OA之间的数量关系并证明．
（3）如图2，点F在x轴负半轴上，∠FAC＝45°，探究BE2，EF2，OF2之间的数量关
系并证明．
【答案】（1）△OAB是等腰直角三角形，理由见解析；（2）OD=OC+ OA，理由
见解析；（3）OF2+BE2=EF2，证明见解析
【分析】（1）a，b满足 +（b-4）2=0可得到a、b的值和点A、点B的坐标，求
出△OAB三边长度，从而可得△OAB是等腰直角三角形；
（2）证明△AOC≌△ABD可得OC=BD，且OB= OA即可得答案；
（3）过A作AG⊥AC交y轴于G，连接FG，先证△GAO≌△EAB得OG=BE，AG=AE，
再证△FGA≌△FEA即可得到OF2+BE2=EF2．
【详解】解：（1）∵ +（b-4）2=0，
∴a=2，b=4，
∴点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（4，0），∴OA= ，OB=4，AB= ，
∴OA=AB，且OA2+AB2=OB2，
∴△OAB是等腰直角三角形；
（2）∵△OAB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=∠ABO=45°，∠OAB=90°，
∴∠AOC=∠ABD=135°，
∵AC⊥AD，
∴∠COD=90°，
∴∠OAC=90°-∠CAB=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，
，
∴△AOC≌△ABD（ASA），
∴OC=BD，
∴OD=BD+OB=OC+OB，
而△OAB是等腰直角三角形，可得OB= OA，
∴OD=OC+ OA；
（3）OF2+BE2=EF2，理由如下：
过A作AG⊥AC交y轴于G，连接FG，如图：
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴OA=AB，∠AOB=∠ABO=45°，∠OAB=90°，
∴∠AOG=45°=∠ABO，
∵AG⊥AC，
∴∠OAG=90°-∠OAC=∠BAE，
在△GAO和△EAB中，，
∴△GAO≌△EAB（ASA），
∴OG=BE，AG=AE，
Rt△GOF中，OF2+OG2=FG2，
∴OF2+BE2=FG2，
∵∠FAC=45°，
∴∠FAC=∠GAF=45°，
在△FGA和△FEA中，
，
∴△FGA≌△FEA（SAS），
∴FG=EF，
∴OF2+BE2=EF2．
【点睛】本题考查全等三角形判定性质、等腰直角三角形性质及勾股定理等知识，解
题的关键是利用等腰直角三角形性质证明三角形全等．
