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专题16.5 二次根式单元提升卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24九年级·山东聊城·期末）若二次根式❑√3−2x有意义，则x的取值范围是（ ）．
3 3 3 3
A．x≥ B．x≤ C．x> D．x<
2 2 2 2
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式的意义和性质．概念：式子❑√a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式被开方
数必须为非负数，否则二次根式无意义．掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【详解】解：由题意得，3−2x≥0，
3
解得：x≤ ．
2
故选：B．
2．（3分）（23-24九年级·山东聊城·期末）下列计算正确的是（ ）
A．❑√2+❑√3=❑√5 B．2+❑√2=2❑√2
❑√6
C．❑√49−36=❑√49−❑√36=1 D．❑√2÷❑√3=
3
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的加减运算和二次根式的乘除法运算．根据二次根式的加减与二次根式的乘除
法逐一判断可得答案．
【详解】解：❑√2与❑√3不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；
2与❑√2不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误；
❑√49−36=❑√13≠1，故C选项错误；
❑√2 ❑√6
❑√2÷❑√3= = ，故D选项正确；
❑√3 3
故选：D．
3．（3分）（23-24九年级·重庆大渡口·阶段练习）估计❑√2×❑√24−❑√3的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】B【分析】利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．
【详解】解：❑√2×❑√24−❑√3
=❑√2×2❑√6−❑√3
=4❑√3−❑√3，
=3❑√3
∵25<27<36，
∴5<❑√27<6，即5<3❑√3<6，
∴❑√2×❑√24−❑√3的值应在5和6之间，
故选：B
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出❑√27的范围是解此题的关键．
4．（3分）（23-24九年级·陕西安康·期末）已知x=❑√2024−1，则代数式x2+2x+1的值为（ ）
A．−2023 B．2023 C．−2024 D．2024
【答案】D
【分析】本题考查代数式的值、二次根式的性质．由x=❑√2024−1得到x+1=❑√2024，把x2+2x+1化成
(x+1) 2代值计算即可．
【详解】解：∵x=❑√2024−1，
∴x+1=❑√2024，
∴x2+2x+1=(x+1) 2=(❑√2024) 2=2024
故选：D．
5．（3分）（23-24九年级·江西九江·期末）下列不是最简二次根式的是（ ）
❑√2a
A．❑√x2+1 B．❑√9x+3 C．❑√0.2y D．
2
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的概念进行逐一判断即可．
【详解】解：∵❑√x2+1无法进行化简，属于最简二次根式，故A不符合题意；
∵❑√9x+3无法进行化简，属于最简二次根式，故B不符合题意；
√1 ❑√5 y
∵❑√0.2y=❑ y= ，
5 5
∴❑√0.2y不属于最简二次根式，故C符合题意；❑√2a
∵ 无法进行化简，属于最简二次根式，故D不符合题意；
2
故选：C．
【点睛】本题考查最简二次根式的概念，理解最简二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含
能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
6．（3分）（23-24九年级·北京平谷·期末）已知❑√12−n是正偶数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
【答案】C
【分析】如果实数n取最大值，那么12－n有最小值，又知❑√12−n是正偶数，而最小的正偶数是2，则
❑√12−n＝2，从而得出结果．
【详解】解：当❑√12−n等于最小的正偶数2时，
n取最大值,则n＝8，
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的有关知识，解题的关键是理解“❑√12−n是正偶数”的含义．
√ 1
7．（3分）（23-24九年级·全国·单元测试）若|a−2)+b2+4b+4+❑c2−c+ =0，则❑√b2−❑√a−❑√c的
4
值是（ ）
3
A．2− ❑√2 B．4 C．1 D．8
2
【答案】A
【分析】先将原式变形为 |a−2)+(b+2) 2+❑ √ ( c− 1) 2 =0 ，再根据非负性的性质求出a、b、c的值，然后
2
代值计算即可．
√ 1
【详解】解：∵|a−2)+b2+4b+4+❑c2−c+ =0，
4
∴ |a−2)+(b+2) 2+❑ √ ( c− 1) 2 =0 ，
2
∵ |a−2)≥0，(b+2) 2≥0，❑ √ ( c− 1) 2 ≥0 ，
2∴ |a−2)=0，(b+2) 2=0，❑ √ ( c− 1) 2 =0 ，
2
1
∴a−2=0，b+2=0，c− =0
2
1
∴a=2，b=−2，c= ，
2
√1 ❑√2 3❑√2
∴❑√b2−❑√a−❑√c=❑√22−❑√2−❑ =2−❑√2− =2− ．
2 2 2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，二次根式的化简求值，正确根据非负数的性质求出a、b、c的值
是解题的关键．
√ 1
8．（3分）（23-24九年级·山东聊城·期中）把(a−b)❑− (a❑√2021+❑√2020>❑√2020+❑√2019,从而可得答案．
1
【详解】解：∵a=❑√2022−❑√2021= ,，
❑√2022+❑√2021
1
b=❑√2021−❑√2020= ,，
❑√2021+❑√2020
1
c=❑√2020−❑√2019= ,，
❑√2020+❑√2019
而❑√2022+❑√2021>❑√2021+❑√2020>❑√2020+❑√2019,
∴a0)
)
【分析】（1）根据二次根式的性质：❑√a2=|a)=
0(a=0)
，即可得出相应结果．
−a(a<0)
（2）根据（1）中“ ”，将代数式转化为
5+2❑√6=3+2+2❑√6=(❑√3) 2+(❑√2) 2+2❑√2×❑√3=(❑√3+❑√2) 2
完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果．
（3）根据题意，首先把A式和B式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A式
和B式的结果分别算出，最后把A式和B式再代入A＋B中，求出A＋B的值．
【详解】（1）∵
5+2❑√6=2+3+2❑√6=(❑√2) 2+(❑√3) 2+2×❑√2×❑√3=(❑√2+❑√3) 2
∴
❑√5+2❑√6=❑√ (❑√3+❑√2) 2=❑√3+❑√2
故答案为：❑√3+❑√2
（2）∵
4−2❑√3=3+1−2❑√3=(❑√3) 2+1−2❑√3=(❑√3−1) 2
∴ ．
❑√4−2❑√3=❑√ (❑√3−1) 2=❑√3−1
（3）∵
A=6+4❑√2=4+2+4❑√2=(❑√4) 2+(❑√2) 2+2×❑√4×❑√2=(2+❑√2) 2
∴A=❑√6+4❑√2=2+❑√2
∵ 6−2❑√5 5+1−2❑√5 (❑√5) 2+12−2×1×❑√5 (❑√5−1) 2
B=3−❑√5= = = =
2 2 2 2
∴ √(❑√5−1) 2 ❑√5−1 ❑√10−❑√2 1 1
B=❑√3−❑√5=❑ = = = ❑√10− ❑√2
2 ❑√2 2 2 2
∴把A式和B式的值代入A＋B中，得：
1 1 1 ❑√2
A+B=2+❑√2+ ❑√10− ❑√2=2+ ❑√10+
2 2 2 2
【点睛】本题考查二次根式的化简求值问题，完全平方公式．解本题的关键在熟练掌握二次根式的性质：
{
a(a>0)
)
❑√a2=|a)= 0(a=0) 和熟练运用完全平方公式 (a±b) 2=a2±2ab+b2 ．
−a(a<0)21．（8分）（23-24九年级·北京·期中）读取表格信息，解决问题．
n=1 a =❑√2+2❑√3b =❑√3+2 c =1+2❑√2
1 1 1
n=2 a =b +2c b =c +2a c =a +2b
2 1 1 2 1 1 2 1 1
n=3 a =b +2c b =c +2a c =a +2b
3 2 2 3 2 2 3 2 2
… … … …
(1)计算：a +b +c =_________；a +b +c =__________；
1 1 1 2 2 2
a +b +c
(2)满足 n n n≥365×(❑√3−❑√2+1)的n可以取得的最小整数是_____．
❑√3+❑√2
【答案】(1)3❑√2+3❑√3+3；9❑√2+9❑√3+9
(2)6
【分析】本题主要考查数字的变化规律和实数的运算及解不等式的能力，二次根式的加法、乘法运算，根
据表格数据发现a +b +c 的规律是关键．
n n n
（1）根据表格中的数据确定出a +b +c ，a +b +c 的值即可；
1 1 1 2 2 2
（2）根据表格中数据得出 ，代入不等式计算可得 的取值
a +b +c =3n−1 (a +b +c )=3n (❑√3+❑√2+1) n
n n n 1 1 1
范围．
【详解】（1）解：根据表格中的数据得： ；
a +b +c =❑√2+2❑√3+❑√3+2+1+2❑√2=3❑√2+3❑√3+3
1 1 1
∵a +b +c =b +2c +c +2a +a +2b =3(a +b +c )，
2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴ ,
a +b +c =9❑√2+9❑√3+9
2 2 2
故答案为：3❑√2+3❑√3+3；9❑√2+9❑√3+9．
（2）解：∵a +b +c =b +2c +c +2a +a +2b =3(a +b +c )，
2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
，
a +b +c =b +2c +c +2a +a +2b =3(a +b +c )=32 (a +b +c )
3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1
…
，
∴a +b +c =3n−1 (a +b +c )=3n−1 (3❑√2+3❑√3+3)=3n (❑√3+❑√2+1)
n n n 1 1 1
a +b +c
又∵ n n n≥365×(❑√3−❑√2+1)，
❑√3+❑√23n (❑√3+❑√2+1)
∴ ≥365×(❑√3−❑√2+1)
❑√3+❑√2
∴
3n (❑√3+❑√2+1)≥365×(❑√3−❑√2+1)(❑√3+❑√2)
3n (❑√3+❑√2+1)≥365×(❑√3+❑√2+1)
3n≥365
解得：n≥6，
∴n可以取得最小正整数是6,
故答案为：6．
22．（8分）（23-24九年级·江西南昌·期中）定义：若根式A与根式B的乘积不含根式则称A、B为共轭
根式，例如：❑√8与❑√2或❑√3+❑√2与❑√3−❑√2都是共轭根式．
（1）有关共轭根式，下列说法正确的是________（填上序号）；
①一个根式的共轭根式是唯一的；
②a，b均为正整数，若❑√a与❑√b是同类二次根式，则❑√a与❑√b也是共轭根式；
1
③若A与B是共轭根式，则A与 也是共轭根式．
B
（2）写出下列根式的一个共轭根式，填在相应根式后面的横线上，要求是最简二次根式或化到最简．
❑√20________；❑
√3b
________；❑√2+1________；(❑√3+❑√2) 2 ________．
2a
（3）试找出❑√3+❑√2+1的一个共轭根式，并验证其正确性．
【答案】（1）②；（2）❑√5；❑√6ab；❑√2−1；5−2❑√6；（3）❑√2−❑√6+2
【分析】（1）根据共轭根式的性质和同类二次根式的性质判断即可；
（2）分别将各根式化简，从而找到共轭根式；
（3）根据二次根式的混合运算即可找到并验证.
【详解】解：（1）①错误，例如根式❑√2，❑√2×❑√8=❑√16=4，❑√2×❑√18=❑√36=6，
∴原命题错误；
②正确，∵❑√a与❑√b是同类二次根式，则❑√a×❑√b=❑√ab中，ab为平方数（式），即结果❑√ab不含根式，故
原命题正确；
1 1
③∵若A与B是共轭根式，令A=❑√3+❑√2，B=❑√3−❑√2，则 = =❑√3+❑√2，
B ❑√3−❑√21
A⋅ =(❑√3+❑√2) 2=5+2❑√6，故原命题错误；
B
故答案为：②；
（2）❑√20=2❑√5，则共轭根式为：❑√5；
√3b ❑√6ab
❑ = ，则共轭根式为：❑√6ab；
2a 2a
，∵ ，则共轭根式为： ；
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1)=1 ❑√2−1
= ， =1，则共轭根式为： ；
(❑√3+❑√2) 2 5+2❑√6 (5+2❑√6)(5−2❑√6) 5−2❑√6
故答案为：❑√5；❑√6ab；❑√2−1；5−2❑√6；
（3）❑√3+❑√2+1的一个共轭根式为：❑√2−❑√6+2，
验证：
(❑√2−❑√6+2)×(❑√3+❑√2+1)
=❑√2×❑√3+❑√2×❑√2+❑√2−❑√6×❑√3−❑√6×❑√2−❑√6+2❑√3+2❑√2+2
=❑√6+2+❑√2−3❑√2−2❑√3−❑√6+2❑√3+2❑√2+2
=4.
故验证正确.
【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了同类二次根式，二次根式的性质，二次根式的混合运算，解题
的关键是理解共轭根式的性质，结合所学二次根式的知识解答.
23．（8分）（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
1 1 1 1 1 1 1 1
小华在学习分式运算时，通过具体运算： =1− ， = − ， = − ，……
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1
发现规律： = − （n为正整数），并证明了此规律成立．
n⋅(n+1) n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
应用规律：快速计算 + + +⋯+ =1− + − +⋯+ − =1− = ．
1×2 2×3 3×4 9×10 2 2 3 9 10 10 10
材料二：根式化简
例1 1 1 ❑√3−1 1( 1 )；
= = = 1−
3+❑√3 ❑√3(❑√3+1) ❑√3(❑√3+1)(❑√3−1) 2 ❑√3例2 1 1 ❑√5−❑√3 1( 1 1 )
= = = −
5❑√3+3❑√5 ❑√15(❑√5+❑√3) ❑√15(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 2 ❑√3 ❑√5
任务一：化简．
1
(1)化简：
7❑√5+5❑√7
1
(2)猜想： = ___________________（n为正整数）．
(2n+1)❑√2n−1+(2n−1)❑√2n+1
任务二：应用
1 1 1 1
(3)计算： + + +⋯+ ；
3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 49❑√47+47❑√49
任务三：探究
❑√3−1
(4)已知x=
2
❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023
y= + +⋯+ ，
1+❑√3+❑√5+❑√3×5 1+❑√5+❑√7+❑√5×7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023×2025
比较x和y的大小，并说明理由．
【答案】(1)1( 1 1 )
−
2 ❑√5 ❑√7
(2)1( 1 )
2 ❑√2n−1−❑√2n−1
3
(3)
7
(4)x>y，理由见解析
【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简．
（1）根据题目中的例子可以写出答案；
（2）根据例2，可以写出相应的猜想；
（3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案；
（4）结合例1，例2的规律进行计算即可；
【详解】（1） 1 1 ❑√7−❑√5 1( 1 1 )
= = = −
7❑√5+5❑√7 ❑√35(❑√7+❑√5) ❑√35(❑√7+❑√5)(❑√7−❑√5) 2 ❑√5 ❑√71
（2）
(2n+1)❑√2n−1+(2n−1)❑√2n+1
1 ，
=
❑√(2n+1)(2n−1)(❑√2n+1+❑√(2n−1))
❑√2n+1−❑√(2n−1)
，
=
❑√(2n+1)(2n−1)(❑√2n+1+❑√(2n−1))
1( 1 )，
=
2 ❑√2n−1−❑√2n−1
故答案为：1( 1 )；
2 ❑√2n−1−❑√2n−1
1 1 1 1
（3） + + +⋯+
3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 49❑√47+47❑√49
1 1 1 1
= + + +⋯+
❑√3(❑√3+1) ❑√15(❑√5+❑√3) ❑√35(❑√7+❑√5) ❑√2303(❑√49+❑√47)
❑√3+1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√49−❑√47
= + + +⋯+
2❑√3 2❑√15 2❑√35 2❑√2303
1( 1 1 1 1 1 1 1 )
= 1− + − + − ⋯+ −
2 ❑√3 ❑√3 ❑√5 ❑√5 ❑√7 ❑√47 ❑√49
1 ( 1)
= × 1−
2 7
3
= ；
7
❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023
（4）y= + +⋯+
1+❑√3+❑√5+❑√3×5 1+❑√5+❑√7+❑√5×7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023×2025
1 1 1 1 1 1
= − + − +⋯+ − ，
❑√3+1 ❑√5+1 ❑√5+1 ❑√7+1 ❑√2023+1 ❑√2025+1
1 1
= −
❑√3+1 ❑√2025+1
❑√3−1 1
= −
2 46
❑√3−1
∵ x= ，
21
∴ x−y= >0，
46
故．
