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专题16.5 二次根式单元提升卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24九年级·山东聊城·期末）若二次根式❑√3−2x有意义，则x的取值范围是（ ）．
3 3 3 3
A．x≥ B．x≤ C．x> D．x<
2 2 2 2
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式的意义和性质．概念：式子❑√a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式被开方
数必须为非负数，否则二次根式无意义．掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【详解】解：由题意得，3−2x≥0，
3
解得：x≤ ．
2
故选：B．
2．（3分）（23-24九年级·山东聊城·期末）下列计算正确的是（ ）
A．❑√2+❑√3=❑√5 B．2+❑√2=2❑√2
❑√6
C．❑√49−36=❑√49−❑√36=1 D．❑√2÷❑√3=
3
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的加减运算和二次根式的乘除法运算．根据二次根式的加减与二次根式的乘除
法逐一判断可得答案．
【详解】解：❑√2与❑√3不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；
2与❑√2不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误；
❑√49−36=❑√13≠1，故C选项错误；
❑√2 ❑√6
❑√2÷❑√3= = ，故D选项正确；
❑√3 3
故选：D．
3．（3分）（23-24九年级·重庆大渡口·阶段练习）估计❑√2×❑√24−❑√3的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】B【分析】利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．
【详解】解：❑√2×❑√24−❑√3
=❑√2×2❑√6−❑√3
=4❑√3−❑√3，
=3❑√3
∵25<27<36，
∴5<❑√27<6，即5<3❑√3<6，
∴❑√2×❑√24−❑√3的值应在5和6之间，
故选：B
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出❑√27的范围是解此题的关键．
4．（3分）（23-24九年级·陕西安康·期末）已知x=❑√2024−1，则代数式x2+2x+1的值为（ ）
A．−2023 B．2023 C．−2024 D．2024
【答案】D
【分析】本题考查代数式的值、二次根式的性质．由x=❑√2024−1得到x+1=❑√2024，把x2+2x+1化成
(x+1) 2代值计算即可．
【详解】解：∵x=❑√2024−1，
∴x+1=❑√2024，
∴x2+2x+1=(x+1) 2=(❑√2024) 2=2024
故选：D．
5．（3分）（23-24九年级·江西九江·期末）下列不是最简二次根式的是（ ）
❑√2a
A．❑√x2+1 B．❑√9x+3 C．❑√0.2y D．
2
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的概念进行逐一判断即可．
【详解】解：∵❑√x2+1无法进行化简，属于最简二次根式，故A不符合题意；
∵❑√9x+3无法进行化简，属于最简二次根式，故B不符合题意；
√1 ❑√5 y
∵❑√0.2y=❑ y= ，
5 5
∴❑√0.2y不属于最简二次根式，故C符合题意；❑√2a
∵ 无法进行化简，属于最简二次根式，故D不符合题意；
2
故选：C．
【点睛】本题考查最简二次根式的概念，理解最简二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含
能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
6．（3分）（23-24九年级·北京平谷·期末）已知❑√12−n是正偶数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
【答案】C
【分析】如果实数n取最大值，那么12－n有最小值，又知❑√12−n是正偶数，而最小的正偶数是2，则
❑√12−n＝2，从而得出结果．
【详解】解：当❑√12−n等于最小的正偶数2时，
n取最大值,则n＝8，
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的有关知识，解题的关键是理解“❑√12−n是正偶数”的含义．
√ 1
7．（3分）（23-24九年级·全国·单元测试）若|a−2)+b2+4b+4+❑c2−c+ =0，则❑√b2−❑√a−❑√c的
4
值是（ ）
3
A．2− ❑√2 B．4 C．1 D．8
2
【答案】A
【分析】先将原式变形为 |a−2)+(b+2) 2+❑ √ ( c− 1) 2 =0 ，再根据非负性的性质求出a、b、c的值，然后
2
代值计算即可．
√ 1
【详解】解：∵|a−2)+b2+4b+4+❑c2−c+ =0，
4
∴ |a−2)+(b+2) 2+❑ √ ( c− 1) 2 =0 ，
2
∵ |a−2)≥0，(b+2) 2≥0，❑ √ ( c− 1) 2 ≥0 ，
2∴ |a−2)=0，(b+2) 2=0，❑ √ ( c− 1) 2 =0 ，
2
1
∴a−2=0，b+2=0，c− =0
2
1
∴a=2，b=−2，c= ，
2
√1 ❑√2 3❑√2
∴❑√b2−❑√a−❑√c=❑√22−❑√2−❑ =2−❑√2− =2− ．
2 2 2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，二次根式的化简求值，正确根据非负数的性质求出a、b、c的值
是解题的关键．
√ 1
8．（3分）（23-24九年级·山东聊城·期中）把(a−b)❑− (a<b)化成最简二次根式，正确的是（ ）
a−b
A．❑√b−a B．❑√a−b C．−❑√b−a D．−❑√a−b
【答案】C
【分析】本题考查最简二次根式．解题的关键是掌握二次根式的性质并能够正确利用二次根式的性质进行
化简．
【详解】解：∵a<b，
∴a−b<0，
√ 1
∴(a−b)❑−
a−b
√ 1
=−[−(a−b))❑−
a−b
√ [−(a−b)) 2
=− ❑ −
a−b
√ (a−b) 2
=−❑−
a−b
=−❑√−(a−b)
=−❑√b−a．
故选：C．
9．（3分）（23-24九年级·江西抚州·阶段练习）已知a=❑√2022−❑√2021，b=❑√2021−❑√2020，
c=❑√2020−❑√2019，那么a，b，c的大小关系是（ ）A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a
【答案】A
1 1 1
【分析】先把a,b,c化为 , , ,再结合
❑√2022+❑√2021 ❑√2021+❑√2020 ❑√2020+❑√2019
❑√2022+❑√2021>❑√2021+❑√2020>❑√2020+❑√2019,从而可得答案．
1
【详解】解：∵a=❑√2022−❑√2021= ,，
❑√2022+❑√2021
1
b=❑√2021−❑√2020= ,，
❑√2021+❑√2020
1
c=❑√2020−❑√2019= ,，
❑√2020+❑√2019
而❑√2022+❑√2021>❑√2021+❑√2020>❑√2020+❑√2019,
∴a<b<c.
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”
是解本题的关键．
10．（3分）（23-24九年级·山东淄博·期中）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正
方形的面积分别为S =18，S =12，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（ ）
1 2
A．6 B．8 C．8❑√6−6 D．8❑√6−8
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的
计算得结论．
【详解】解：∵三个小正方形的面积分别为18、12、2，
∴三个小正方形的边长分别为❑√18=3❑√2、❑√12=2❑√3、❑√2，
由题图知：大正方形的边长为：3❑√2+2❑√3−❑√2=2❑√2+2❑√3，
∴S =(2❑√2+2❑√3) 2 −(18+12−2)
空白
=8+12+8❑√6−(18+12−2)
=8❑√6−8．故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级·山东威海·期中）计算：√1 5 ．
❑ + =
2 ❑√2
【答案】3❑√2
【分析】先分母有理化，然后根据二次根式的加减运算进行计算即可得到结果．
【详解】解：√1 5
❑ +
2 ❑√2
❑√2 5❑√2
= +
2 2
=3❑√2
故答案为：3❑√2
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
12．（3分）（23-24九年级·浙江宁波·期中）已知 ，则x= ．
❑√(x−2) 2+❑√x−3=x
【答案】7
【分析】由二次根式的定义，求出x≥3，然后由二次根式的性质进行化简，即可求出x的值．
【详解】解：根据题意，则
∵x−3≥0，
∴x≥3，
∴ ，
❑√(x−2) 2=x−2
∴ ，
❑√(x−2) 2+❑√x−3=x−2+❑√x−3
∴x−2+❑√x−3=x，
∴❑√x−3=2，
∴x=7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质进行解
题．
13．（3分）（23-24九年级·安徽·阶段练习）已知A=2❑√2x+1，B=3❑√x+3，C=❑√10x+3 y，其中
A，B为最简二次根式，且A+B=C，则2y−x的值为 ．【答案】68
【分析】根据题意得出 ，求出 ，进而得出 ，求出 ，再代入
2x+1=x+3 x=2 10x+3 y=(5❑√5) 2=125 y=35
求值即可．
【详解】∵A，B为最简二次根式，且A+B=C，
∴2x+1=x+3，
解得x=2，
∴A=2❑√5，B=3❑√5，A+B=5❑√5=C，
∴ ，
10x+3 y=(5❑√5) 2=125
解得y=35，
∴2y−x=2×35−2=68．
故答案为：68．
【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出x=2是解题的关键．
14．（3分）（23-24·山东潍坊·九年级期末）从−❑√2、❑√3，❑√6中任意选择两个数，分别填在算式
里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
(□+○) 2÷❑√2
5 9
【答案】 ❑√2−2❑√3（或4❑√2−2❑√6或 ❑√2+6，写出一种结果即可）
2 2
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【详解】解：①选择−❑√2和❑√3，
则
(−❑√2+❑√3) 2 ÷❑√2=(2−2❑√6+3)÷❑√2
=(5−2❑√6)÷❑√2
=5÷❑√2−2❑√6÷❑√2
5
= ❑√2−2❑√3．
2
②选择−❑√2和❑√6，
则
(−❑√2+❑√6) 2 ÷❑√2=(2−2❑√12+6)÷❑√2
=(8−2❑√12)÷❑√2
=8÷❑√2−2❑√12÷❑√2=4❑√2−2❑√6．
③选择❑√3和❑√6，
则
(❑√3+❑√6) 2 ÷❑√2=(3+2❑√18+6)÷❑√2
=(9+6❑√2)÷❑√2
=9÷❑√2+6❑√2÷❑√2
9
= ❑√2+6．
2
5 9
故答案为： ❑√2−2❑√3（或4❑√2−2❑√6或 ❑√2+6，写出一种结果即可）．
2 2
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
√ y √ x
15．（3分）（23-24九年级·吉林松原·期中）如果x+ y=5，xy=1，那么x2❑ + y2❑ = ．
x y
【答案】5
【分析】根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后将式子的值代入即可求解．
【详解】解：∵x+ y=5，xy=1，
√ y √ x
∴x2❑ + y2❑
x y
❑√xy ❑√xy
=x2 + y2
x y
=(x+ y)❑√xy
=5×❑√1
=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
16．（3分）（23-24九年级·山东威海·期中）观察下列等式：
1
第1个等式： a = = ❑√2 −1，
1 1+❑√2
1
第2个等式： a = = ❑√3−❑√2，
2 ❑√2+❑√3
1
第3个等式： a = =2− ❑√3，
3 ❑√3+2
1
第4个等式： a = = ❑√5 −2，
4 2+❑√5…
按上述规律，计算a +a +a ⋯+a = ．
1 2 3 n
【答案】❑√n+1−1/−1+❑√n+1
1
【分析】首先根据题意，可得： a = ，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少
n ❑√n+1+❑√n
即可．
1
【详解】解：第1个等式： a = = ❑√2 −1，
1 1+❑√2
1
第2个等式： a = = ❑√3−❑√2，
2 ❑√2+❑√3
1
第3个等式： a = =2− ❑√3，
3 ❑√3+2
1
第4个等式： a = = ❑√5 −2，
4 2+❑√5
…
1
第n个等式： a = =❑√n+1−❑√n，
n ❑√n+❑√n+1
a +a +a +⋯+a
1 2 3 n
= ❑√2 −1+ ❑√3− ❑√2+⋯+❑√n+1−❑√n
= ❑√n+1 −1
故答案为：❑√n+1 −1．
【点睛】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是
乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24九年级·浙江绍兴·期中）计算：
√1
(1)❑√18−4❑ −❑√24÷❑√3；
2
(2) ．
(❑√5−❑√2)(❑√5+❑√2)−(❑√5−1) 2
【答案】(1)−❑√2
(2)2❑√5−3
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运
算，再合并即可．（1）先化简二次根式，根据二次根式的除法法则运算，再计算加减即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，然后再合并即可．
❑√2
【详解】（1）解：原式=3❑√2−4× −❑√24÷3
2
=3❑√2−2❑√2−❑√8
=3❑√2−2❑√2−2❑√2
=−❑√2；
（2）解：原式
=(❑√5) 2 −(❑√2) 2 −[(❑√5) 2 −2❑√5+1)
=5−2−5+2❑√5−1
=2❑√5−3．
18．（6分）（23-24九年级·黑龙江绥化·期中）已知：m=❑√7+2，n=❑√7−2，求：
(1)(m+1)(n+1)
m n
(2) +
n m
【答案】(1)4+2❑√7
22
(2)
3
【分析】本题考查了分式的化简，二次根式的混合运算；
（1）先计算mn,m+n的值，然后根据整式的乘法化简，代入代数式，即可求解；
（2）将分式化简，再代入即可求解．
【详解】（1）解：∵m=❑√7+2，n=❑√7−2
∴ ， ，
mn=(❑√7+2)(❑√7−2)=7−22=3 m+n=❑√7+2+❑√7−2=2❑√7
∴(m+1)(n+1)=mn+(m+n)+1
=3+2❑√7+1
=4+2❑√7
（2）解：∵m=❑√7+2，n=❑√7−2
∴ ， ，
mn=(❑√7+2)(❑√7−2)=7−22=3 m+n=❑√7+2+❑√7−2=2❑√7
m n m2+n2
∴ + =
n m mn(2❑√7) 2 −2×3 28−6 22
= = =
3 3 3
19．（8分）（23-24九年级·陕西安康·期末）在一个长为5❑√3cm，宽为4❑√2cm的长方体塑料容器中装满
水，然后将这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为❑√27cm的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，
塑料容器中的水面下降了❑√18cm．求圆柱形玻璃容器的底面半径．
2❑√10π
【答案】圆柱形玻璃容器的底面半径为 cm
π
【分析】本题考查二次根式的应用，由题意得，从塑料容器中倒出的水的体积为120❑√3(cm3)，设圆柱形
玻璃容器的底面半径为r，利用圆柱的体积公式列方程求解即可．
【详解】解：从塑料容器中倒出的水的体积为：
5❑√3×4❑√2×❑√18=20❑√6×3❑√2=120❑√3(cm3)，
设圆柱形玻璃容器的底面半径为r，
根据题意得❑√27πr2=120❑√3，
2❑√10π
解得r= ．
π
2❑√10π
答：圆柱形玻璃容器的底面半径为 cm．
π
20．（8分）（23-24九年级·广东江门·期中）有这样一类题目：将❑√a±2❑√b化简，如果你能找到两个数
m、n，使 且 ， 将变成 ，即变成 ，从而使 得以化
m2+n2=a mn=❑√b a±2❑√b m2+n2±2mn (m±n) 2 ❑√a±2❑√b
简．
(1)例如，∵ ，
5+2❑√6=3+2+2❑√6=(❑√3) 2+(❑√2) 2+2❑√2×❑√3=(❑√3+❑√2) 2
∴ ______，请完成填空．
❑√5+2❑√6=❑√ (❑√3+❑√2) 2=
(2)仿照上面的例子，请化简❑√4−2❑√3；
(3)利用上面的方法，设A=❑√6+4❑√2，B=❑√3−❑√5，求A＋B的值．
【答案】(1)❑√3+❑√2
(2)❑√3−1
1 ❑√2
(3)2+ ❑√10+
2 2{
a(a>0)
)
【分析】（1）根据二次根式的性质：❑√a2=|a)=
0(a=0)
，即可得出相应结果．
−a(a<0)
（2）根据（1）中“ ”，将代数式转化为
5+2❑√6=3+2+2❑√6=(❑√3) 2+(❑√2) 2+2❑√2×❑√3=(❑√3+❑√2) 2
完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果．
（3）根据题意，首先把A式和B式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A式
和B式的结果分别算出，最后把A式和B式再代入A＋B中，求出A＋B的值．
【详解】（1）∵
5+2❑√6=2+3+2❑√6=(❑√2) 2+(❑√3) 2+2×❑√2×❑√3=(❑√2+❑√3) 2
∴
❑√5+2❑√6=❑√ (❑√3+❑√2) 2=❑√3+❑√2
故答案为：❑√3+❑√2
（2）∵
4−2❑√3=3+1−2❑√3=(❑√3) 2+1−2❑√3=(❑√3−1) 2
∴ ．
❑√4−2❑√3=❑√ (❑√3−1) 2=❑√3−1
（3）∵
A=6+4❑√2=4+2+4❑√2=(❑√4) 2+(❑√2) 2+2×❑√4×❑√2=(2+❑√2) 2
∴A=❑√6+4❑√2=2+❑√2
∵ 6−2❑√5 5+1−2❑√5 (❑√5) 2+12−2×1×❑√5 (❑√5−1) 2
B=3−❑√5= = = =
2 2 2 2
∴ √(❑√5−1) 2 ❑√5−1 ❑√10−❑√2 1 1
B=❑√3−❑√5=❑ = = = ❑√10− ❑√2
2 ❑√2 2 2 2
∴把A式和B式的值代入A＋B中，得：
1 1 1 ❑√2
A+B=2+❑√2+ ❑√10− ❑√2=2+ ❑√10+
2 2 2 2
【点睛】本题考查二次根式的化简求值问题，完全平方公式．解本题的关键在熟练掌握二次根式的性质：
{
a(a>0)
)
❑√a2=|a)= 0(a=0) 和熟练运用完全平方公式 (a±b) 2=a2±2ab+b2 ．
−a(a<0)21．（8分）（23-24九年级·北京·期中）读取表格信息，解决问题．
n=1 a =❑√2+2❑√3b =❑√3+2 c =1+2❑√2
1 1 1
n=2 a =b +2c b =c +2a c =a +2b
2 1 1 2 1 1 2 1 1
n=3 a =b +2c b =c +2a c =a +2b
3 2 2 3 2 2 3 2 2
… … … …
(1)计算：a +b +c =_________；a +b +c =__________；
1 1 1 2 2 2
a +b +c
(2)满足 n n n≥365×(❑√3−❑√2+1)的n可以取得的最小整数是_____．
❑√3+❑√2
【答案】(1)3❑√2+3❑√3+3；9❑√2+9❑√3+9
(2)6
【分析】本题主要考查数字的变化规律和实数的运算及解不等式的能力，二次根式的加法、乘法运算，根
据表格数据发现a +b +c 的规律是关键．
n n n
（1）根据表格中的数据确定出a +b +c ，a +b +c 的值即可；
1 1 1 2 2 2
（2）根据表格中数据得出 ，代入不等式计算可得 的取值
a +b +c =3n−1 (a +b +c )=3n (❑√3+❑√2+1) n
n n n 1 1 1
范围．
【详解】（1）解：根据表格中的数据得： ；
a +b +c =❑√2+2❑√3+❑√3+2+1+2❑√2=3❑√2+3❑√3+3
1 1 1
∵a +b +c =b +2c +c +2a +a +2b =3(a +b +c )，
2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴ ,
a +b +c =9❑√2+9❑√3+9
2 2 2
故答案为：3❑√2+3❑√3+3；9❑√2+9❑√3+9．
（2）解：∵a +b +c =b +2c +c +2a +a +2b =3(a +b +c )，
2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
，
a +b +c =b +2c +c +2a +a +2b =3(a +b +c )=32 (a +b +c )
3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1
…
，
∴a +b +c =3n−1 (a +b +c )=3n−1 (3❑√2+3❑√3+3)=3n (❑√3+❑√2+1)
n n n 1 1 1
a +b +c
又∵ n n n≥365×(❑√3−❑√2+1)，
❑√3+❑√23n (❑√3+❑√2+1)
∴ ≥365×(❑√3−❑√2+1)
❑√3+❑√2
∴
3n (❑√3+❑√2+1)≥365×(❑√3−❑√2+1)(❑√3+❑√2)
3n (❑√3+❑√2+1)≥365×(❑√3+❑√2+1)
3n≥365
解得：n≥6，
∴n可以取得最小正整数是6,
故答案为：6．
22．（8分）（23-24九年级·江西南昌·期中）定义：若根式A与根式B的乘积不含根式则称A、B为共轭
根式，例如：❑√8与❑√2或❑√3+❑√2与❑√3−❑√2都是共轭根式．
（1）有关共轭根式，下列说法正确的是________（填上序号）；
①一个根式的共轭根式是唯一的；
②a，b均为正整数，若❑√a与❑√b是同类二次根式，则❑√a与❑√b也是共轭根式；
1
③若A与B是共轭根式，则A与 也是共轭根式．
B
（2）写出下列根式的一个共轭根式，填在相应根式后面的横线上，要求是最简二次根式或化到最简．
❑√20________；❑
√3b
________；❑√2+1________；(❑√3+❑√2) 2 ________．
2a
（3）试找出❑√3+❑√2+1的一个共轭根式，并验证其正确性．
【答案】（1）②；（2）❑√5；❑√6ab；❑√2−1；5−2❑√6；（3）❑√2−❑√6+2
【分析】（1）根据共轭根式的性质和同类二次根式的性质判断即可；
（2）分别将各根式化简，从而找到共轭根式；
（3）根据二次根式的混合运算即可找到并验证.
【详解】解：（1）①错误，例如根式❑√2，❑√2×❑√8=❑√16=4，❑√2×❑√18=❑√36=6，
∴原命题错误；
②正确，∵❑√a与❑√b是同类二次根式，则❑√a×❑√b=❑√ab中，ab为平方数（式），即结果❑√ab不含根式，故
原命题正确；
1 1
③∵若A与B是共轭根式，令A=❑√3+❑√2，B=❑√3−❑√2，则 = =❑√3+❑√2，
B ❑√3−❑√21
A⋅ =(❑√3+❑√2) 2=5+2❑√6，故原命题错误；
B
故答案为：②；
（2）❑√20=2❑√5，则共轭根式为：❑√5；
√3b ❑√6ab
❑ = ，则共轭根式为：❑√6ab；
2a 2a
，∵ ，则共轭根式为： ；
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1)=1 ❑√2−1
= ， =1，则共轭根式为： ；
(❑√3+❑√2) 2 5+2❑√6 (5+2❑√6)(5−2❑√6) 5−2❑√6
故答案为：❑√5；❑√6ab；❑√2−1；5−2❑√6；
（3）❑√3+❑√2+1的一个共轭根式为：❑√2−❑√6+2，
验证：
(❑√2−❑√6+2)×(❑√3+❑√2+1)
=❑√2×❑√3+❑√2×❑√2+❑√2−❑√6×❑√3−❑√6×❑√2−❑√6+2❑√3+2❑√2+2
=❑√6+2+❑√2−3❑√2−2❑√3−❑√6+2❑√3+2❑√2+2
=4.
故验证正确.
【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了同类二次根式，二次根式的性质，二次根式的混合运算，解题
的关键是理解共轭根式的性质，结合所学二次根式的知识解答.
23．（8分）（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
1 1 1 1 1 1 1 1
小华在学习分式运算时，通过具体运算： =1− ， = − ， = − ，……
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1
发现规律： = − （n为正整数），并证明了此规律成立．
n⋅(n+1) n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
应用规律：快速计算 + + +⋯+ =1− + − +⋯+ − =1− = ．
1×2 2×3 3×4 9×10 2 2 3 9 10 10 10
材料二：根式化简
例1 1 1 ❑√3−1 1( 1 )；
= = = 1−
3+❑√3 ❑√3(❑√3+1) ❑√3(❑√3+1)(❑√3−1) 2 ❑√3例2 1 1 ❑√5−❑√3 1( 1 1 )
= = = −
5❑√3+3❑√5 ❑√15(❑√5+❑√3) ❑√15(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 2 ❑√3 ❑√5
任务一：化简．
1
(1)化简：
7❑√5+5❑√7
1
(2)猜想： = ___________________（n为正整数）．
(2n+1)❑√2n−1+(2n−1)❑√2n+1
任务二：应用
1 1 1 1
(3)计算： + + +⋯+ ；
3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 49❑√47+47❑√49
任务三：探究
❑√3−1
(4)已知x=
2
❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023
y= + +⋯+ ，
1+❑√3+❑√5+❑√3×5 1+❑√5+❑√7+❑√5×7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023×2025
比较x和y的大小，并说明理由．
【答案】(1)1( 1 1 )
−
2 ❑√5 ❑√7
(2)1( 1 )
2 ❑√2n−1−❑√2n−1
3
(3)
7
(4)x>y，理由见解析
【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简．
（1）根据题目中的例子可以写出答案；
（2）根据例2，可以写出相应的猜想；
（3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案；
（4）结合例1，例2的规律进行计算即可；
【详解】（1） 1 1 ❑√7−❑√5 1( 1 1 )
= = = −
7❑√5+5❑√7 ❑√35(❑√7+❑√5) ❑√35(❑√7+❑√5)(❑√7−❑√5) 2 ❑√5 ❑√71
（2）
(2n+1)❑√2n−1+(2n−1)❑√2n+1
1 ，
=
❑√(2n+1)(2n−1)(❑√2n+1+❑√(2n−1))
❑√2n+1−❑√(2n−1)
，
=
❑√(2n+1)(2n−1)(❑√2n+1+❑√(2n−1))
1( 1 )，
=
2 ❑√2n−1−❑√2n−1
故答案为：1( 1 )；
2 ❑√2n−1−❑√2n−1
1 1 1 1
（3） + + +⋯+
3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 49❑√47+47❑√49
1 1 1 1
= + + +⋯+
❑√3(❑√3+1) ❑√15(❑√5+❑√3) ❑√35(❑√7+❑√5) ❑√2303(❑√49+❑√47)
❑√3+1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√49−❑√47
= + + +⋯+
2❑√3 2❑√15 2❑√35 2❑√2303
1( 1 1 1 1 1 1 1 )
= 1− + − + − ⋯+ −
2 ❑√3 ❑√3 ❑√5 ❑√5 ❑√7 ❑√47 ❑√49
1 ( 1)
= × 1−
2 7
3
= ；
7
❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023
（4）y= + +⋯+
1+❑√3+❑√5+❑√3×5 1+❑√5+❑√7+❑√5×7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023×2025
1 1 1 1 1 1
= − + − +⋯+ − ，
❑√3+1 ❑√5+1 ❑√5+1 ❑√7+1 ❑√2023+1 ❑√2025+1
1 1
= −
❑√3+1 ❑√2025+1
❑√3−1 1
= −
2 46
❑√3−1
∵ x= ，
21
∴ x−y= >0，
46
故．
