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第一次月考复习易错题
范围：第16-17章
一．无理数整数部分的有关计算
1．（2021·广东·中考真题）设6−❑√10的整数部分为a，小数部分为b，则(2a+❑√10)b的
值是（ ）
A．6 B．2❑√10 C．12 D．9❑√10
【答案】A
【知识点】无理数整数部分的有关计算、二次根式的混合运算
【分析】首先根据❑√10的整数部分可确定a的值，进而确定b的值，然后将a与b的值代
入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】∵3<❑√10<4，
∴2<6−❑√10<3，
∴6−❑√10的整数部分a=2，
∴小数部分b=6−❑√10−2=4−❑√10，
∴(2a+❑√10)b=(2×2+❑√10)(4−❑√10)=(4+❑√10)(4−❑√10)=16−10=6．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6−❑√10的整数部分a与小数部分b的值
是解题关键．
2．（2022·四川泸州·中考真题）与2+❑√15最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】二次根式的加减运算、无理数的大小估算
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：∵12.25＜15＜16，
∴3.5＜❑√15＜4，
∴5.5＜2+❑√15＜6，
∴最接近的整数是6，
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
3．（2024八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知a是❑√10的整数部分，b是它的小数部分，
则2a+b−❑√10= ．
【答案】3
【知识点】二次根式的加减运算、无理数整数部分的有关计算
【分析】由于30，∴m−1<0.
√ 1 √ 1
∴原式=−(1−m)❑ =−❑(1−m) 2 ⋅ =−❑√1−m．
1−m 1−m
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：❑√a2=|a|．也考查了二次根式的成立的条
件以及二次根式的乘法．
四．同类二次根式
10．（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与❑√2是同类二次根式的是（ ）A．❑√4 B．❑√6 C．❑√8 D．❑√12
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、❑√4=2，与❑√2不是同类二次根式，不符合题意；
B、❑√6与❑√2不是同类二次根式，不符合题意；
C、❑√8=2❑√2，与❑√2是同类二次根式，符合题意；
D、❑√12=2❑√3，与❑√2不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二
次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式
的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
五．利用二次根式的性质化简
11．（2024九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）若❑√(x−2) 2=2−x，则x的取值范围是
（ ）
A．x=2 B．x≤−2 C．x≥2 D．x≤2
【答案】D
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：∵ ❑√(x−2) 2=2−x≥0，
∴x≤2，
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于
基础题型．
12．（2024八年级上·上海浦东新·阶段练习）若20，a−3<0，
再利用二次根式的性质化简即可得解．
【详解】解：∵20，a−3<0，
∴
❑√a2−4a+4−❑√(a−3) 2=❑√(a−2) 2−❑√(a−3) 2=a−2−(3−a)=a−2−3+a=2a−5，
故选：A．
13．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简
|a+1)−❑√(b−1) 2+❑√(a−b) 2= ．
【答案】2
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】利用数轴可得出−10,b−1>0,a−b<0
∴|a+1)−❑√(b−1) 2+❑√(a−b) 2
=|a+1|−|b−1|+|a−b|
=a+1−(b−1)−(a−b)
=a+1−b+1−a+b
=2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关
键．
14．（2024八年级下·北京海淀·期中）a，b为有理数，且a+❑√3b=❑√4+2❑√3，则a+b=
．
【答案】2【知识点】利用二次根式的性质化简、通过对完全平方公式变形求值
【分析】先根据完全平方公式进行变形计算，即❑√4+2❑√3=❑√(1+❑√3) 2=1+❑√3，且
a，b为有理数，求出a=1,b=1，进而得到a+b=2．
【详解】解：∵ ❑√4+2❑√3=❑√1+3+2❑√3=❑√1+(❑√3) 2+2❑√3=❑√(1+❑√3) 2=1+❑√3
∴ a+❑√3b=1+❑√3
∵a，b为有理数
∴ a=1,b=1
∴ a+b=2
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的
变形．
15．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知−3”“<”或“=”填空）；
❑√6−2 ❑√5−❑√3
2 2 2 2
(2)计算： + + +⋅⋅⋅+ ；
3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 99❑√97+97❑√99
(3)设实数x，y满足(x+❑√x2+2023)(y+❑√y2+2023)=2023，求x+ y+2023的值．
【答案】(1)>
❑√99
(2)1−
99
(3)2023
【知识点】运用平方差公式进行运算、分母有理化、实数的大小比较
【分析】（1）先将两边进行分母有理化后再进行比较大小即可；
（2）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可；
（3）根据（1）和（2）得到的规律进行计算即可．
1 (❑√6+2) 2+❑√6
【详解】（1）解：∵ = = ，
❑√6−2 (❑√6−2)(❑√6+2) 2
1 (❑√5+❑√3) ❑√5+❑√3
= = ，
❑√5−❑√3 (❑√5−❑√3)(❑√5+❑√3) 2
2+❑√6 ❑√5+❑√3
即 > ，
2 2
1 1
∴ > ，
❑√6−2 ❑√5−❑√3故答案为：>；
2 2 2 2
（2）解： + + +⋅⋅⋅+
3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 99❑√97+97❑√99
2(3−❑√3) 2(5❑√3−3❑√5) 2(7❑√5−5❑√7) 2(99❑√97−97❑√99)
= + + +⋅⋅⋅+
(3+❑√3)(3−❑√3) (5❑√3+3❑√5)(5❑√3−3❑√5) (7❑√5+5❑√7)(7❑√5−5❑√7) (99❑√97+97❑√99)(99❑√97−97❑√99)
2(3−❑√3) 2(5❑√3−3❑√5) 2(7❑√5−5❑√7) 2(99❑√97−97❑√99)
= + + +⋯+
3×2 3×5×2 5×7×2 97×99×2
( ❑√3) (❑√3 ❑√5) (❑√5 ❑√7) (❑√97 ❑√99)
= 1− + − + − +⋯+ −
3 3 5 5 7 97 99
❑√99
=1− ；
99
（3）解：∵ (x+❑√x2+2023)(y+❑√y2+2023)=2023，
2023
∴x+❑√x2+2023=
，
y+❑√y2+2023
∴x+❑√x2+2023=❑√y2+2023−y①，同理y+❑√y2+2023=❑√x2+2023−x②，
∴①+②得：x+ y+❑√x2+2023+❑√y2+2023=❑√x2+2023+❑√y2+2023−(x+ y)，
∴x+ y=0，
∴x+ y+2023=2023．
【点睛】本题考查二次根式的应用，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键．
七.二次根式的混合运算
√5 3 √5 1
18．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算：3❑ ÷ ❑ × ❑√8．
4 4 2 2
【答案】4
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，先化简二次根式，再根据二次根
式的乘除混合计算法则求解即可．
3 3
【详解】解：原式= ❑√5÷ ❑√10×❑√2
2 8(3 ) 3
= ❑√5×❑√2 ÷ ❑√10
2 8
3 3
= ❑√10÷ ❑√10
2 8
=4．
19．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)❑√48÷❑√6
( 3 √3)
(2)−❑√27÷ ❑
10 8
【答案】(1)2❑√2
(2)−20❑√2
【知识点】二次根式的除法
【分析】本题考查二次根式的除法计算，熟知二次根式的除法法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的除法法则可解决问题．
（2）根据二次根式的除法法则可解决问题．
【详解】（1）❑√48÷❑√6
=❑√8
=2❑√2
( 3 √3)
（2）−❑√27÷ ❑
10 8
(10 √8)
=−❑√27× ❑
3 3
10 √8
=− ×❑ ×27
3 3
10
=− ×❑√72
3
10
=− ×6❑√2
3
=−20❑√2
20．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）计算：3 ( 1 ) √ 2
(1) ❑√20× − ❑√48 ÷❑2 ；
2 3 3
❑√3a (√ b √ 1 )
(2) ⋅ ❑ ÷2❑ ．
2b 2a 3b
【答案】(1)−3❑√10
3❑√2
(2)
8
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用二次根式的性质化简，再进行乘除运算即可；
（2）先计算括号内的二次根式的除法，再计算二次根式的乘法即可．
3 ( 1 ) √ 2
【详解】（1）解： ❑√20× − ❑√48 ÷❑2
2 3 3
3 ( 4❑√3) 2❑√6
= ×2❑√5× − ÷
2 3 3
( 4❑√3) 3
=3❑√5× − ×
3 2❑√6
4❑√3 3
=−3❑√5× ×
3 2❑√6
4❑√3 3
=−3❑√5× ×
3 2❑√6
=−3❑√10
❑√3a (√ b √ 1 )
（2） ⋅ ❑ ÷2❑
2b 2a 3b
❑√3a (√ b √ 4 )
= ⋅ ❑ ÷❑
2b 2a 3b
❑√3a √ b 4
= ⋅❑ ÷
2b 2a 3b
❑√3a √ b 3b
= ⋅❑ ×
2b 2a 4❑√3a b❑√6a
= ⋅
2b 4a
3❑√2
=
8
21．（23-24九年级上·海南儋州·期中）计算：
(1)❑√9+3❑√2−❑√4+❑√8；
(2)(❑√2−3) 2 −❑√2(❑√8−2)．
【答案】(1)1+5❑√2
(2)7−4❑√2
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是：
（1）先算开方，化简二次根式，再合并计算；
（2）先将括号展开，再合并计算．
【详解】（1）解：❑√9+3❑√2−❑√4+❑√8
=3+3❑√2−2+2❑√2
=1+5❑√2；
（2）(❑√2−3) 2 −❑√2(❑√8−2)
=2+9−6❑√2−4+2❑√2
=7−4❑√2．
八．以弦图为背景的证明与运算
22．（2024八年级·全国·专题练习）如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼
成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边
为a，较短直角边为b，则 ab的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B
【知识点】以弦图为背景的计算题
【分析】小正方形、大正方形的面积可以分别用a、b表示，进而两式相减即可求出ab
的值．
【详解】由勾股定理，得大正方形的面积为：a2+b2=17，又小正方形的面积为
(a−b) 2=5
即a2+b2−2ab=5
∴17−2ab=5
∴ab=6
故选：B．
【点睛】本题是以弦图为背景的计算题，考查了勾股定理，图形的面积，关键是用a、
b表示大小正方形的面积．
23．（2023八年级下·全国·专题练习）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，
它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=4，将四个直角三角形中边长
为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围
周长是（ ）
A．56 B．24 C．64 D．32
【答案】A
【知识点】以弦图为背景的计算题
【分析】设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，利用勾股定理求出斜边
长，再进行求解即可．
【详解】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，
则x=❑√(2×4) 2+62=10，
∴“数学风车”的周长是：(10+4)×4=56．故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24．（2024八年级上·江苏泰州·期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有
不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形
如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定
理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．
1 1
证明：∵S ❑ =S +S = b2+ ab，
四边形 ADCB △ACD △ABC 2 2
1 1
又S四边形∴S ❑ =S +S = c2+ a(b−a)，
四边形 ADCB △ADB △DCB 2 2
1 1 1 1
∴ b2+ ab= c2+ a(b−a),∴a2+b2=c2 ．
2 2 2 2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．
【答案】见解析
【知识点】勾股定理的证明方法
【分析】本题考查了勾股定理的证明． 连接BD，过点B作DE边上的高BF，则
BF=b−a，仿照已知材料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可．
【详解】证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b−a．1 1 1
∵S =S +S +S = ab+ b2+ ab
五边形ACBED △ACB △ABE △ADE 2 2 2
1 1 1
又∵S =S +S +S = ab+ c2+ a(b−a)，
五边形ACBED △ACB △ABD △BDE 2 2 2
1 1 1 1 1 1
∴ ab+ b2+ ab= ab+ c2+ a(b−a)，
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
∴ ab+ b2+ ab= ab+ c2+ ab− a2 ，
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
∴
b2= c2− a2
，
2 2 2
∴b2=c2−a2，
∴a2+b2=c2．
九．勾股定理与折叠问题
25．（2024八年级上·山东德州·阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB=3cm，
AD=9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为
（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
【答案】C
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得DE=BE，设，则 ，利用勾股定理可得方程 ，解方程
AE=xcm BE=DE=(9−x)cm x2+32=(9−x) 2
求出AE=4cm，再利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可得DE=BE，
设AE=xcm，则BE=DE=(9−x)cm，
由长方形的性质可得∠A=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+AE2=BE2，
∴x2+32=(9−x) 2，
解得x=4，
∴AE=4cm，
1 1
∴S = AB⋅AE= ×3×4=6cm2 ，
△ABE 2 2
故选：C．
25．（2024八年级上·全国·课后作业）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在
AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（ ）
A．4 B．3❑√2 C．4.5 D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在
Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2＝C′F2求解．
【详解】解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，
∴BC′＝3，
由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，
在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，
∴BF2+9＝（9﹣BF）2，
解得，BF＝4，
故选：A．【点睛】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了
列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．
十.勾股定理与无理数
27．（2024八年级上·江苏南通·期末）如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点
A表示－1，AB=3，AD=1．若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正
半轴于点M，则点M所表示的数为（ ）
A．❑√10−1 B．❑√10 C．❑√10+1 D．❑√10+2
【答案】A
【知识点】勾股定理与无理数、实数与数轴
【分析】先利用勾股定理求出AC，根据AC=AM，求出OM，由此即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=3,AD=BC=1，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√32+12=❑√10，
∵AM=AC=❑√10,OA=1，
∴OM=AM−OA=❑√10−1，
∴点M表示点数为❑√10−1．
故选A．
【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求
出AC,AM的长．
28．（2024八年级下·天津河西·期末）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值
为（ ）
A．−❑√5 B．1−❑√5 C．−1−❑√5 D．−3【答案】C
【知识点】勾股定理与无理数、实数与数轴
【分析】利用勾股定理求出BC，进而结合数轴可得答案．
【详解】解：根据题意可得：BC=❑√22+12=❑√5，
AB=BC=❑√5，
∴点A表示的数为−(❑√5+1)=−❑√5−1，
故选C．
【点睛】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，正确求出BC长是解题关键．
十一.勾股定理的证明方法
29．（2024八年级·山西朔州·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅
图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明方法
【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键．
根据等面积法证明即可．
1
【详解】解：A、∵4× ab+(b−a) 2=c2 ，∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定
2
理，故本选项不符合题意；
1
B、∵4× ab+c2=(a+b) 2 ，∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项
2
不符合题意；1 1 1 1
C、∵ ab+ c2+ ab= (a+b)(a+b)，∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定
2 2 2 2
理，故本选项不符合题意；
D、2ab+a2+b2=(a+b) 2， 根据图形不能证明勾股定理；
故选：D．
十二.用勾股定理解三角形
30．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会
徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四
边形OABC．若OC=❑√5，BC=1，∠AOB=30°，则OA的值为（ ）
3
A．❑√3 B． C．❑√2 D．1
2
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形
【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠OBC=90°，OC=❑√5，BC=1，
∴OB=❑√OC2−BC2=❑√(❑√5) 2 −12=2
∵∠A=90°，∠AOB=30°，
1
∴AB= OB=1，
2
∴OA=❑√OB2−AB2=❑√22−12=❑√3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
31．（2023·江苏·中考真题）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落
（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座
脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为
（精确到个位，参考数据：❑√21≈4.58）．
【答案】74
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题．
【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C，
则AC=(x−60)cm，BC=60−30=30cm，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即(x−60) 2+302=AB2
∵这台扫地机能从角落自由进出，
∴这台扫地机的直径不小于AB长，
即最小时为(x−60) 2+302=332，
解得：x =3❑√21+60≈74cm，x =−3❑√21+60≈46cm（舍），
1 1
∴图中的x至少为74cm，
故答案为：74．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．
十三.以直角三角形三边为边长的图形面积
32．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径
的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S 和S ．若AC=6，BC=8，则阴影
1 2
部分面积S +S 是（ ）
1 2
A．9π B．12.5π C．14 D．24
【答案】D
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查了勾股定理，以直角三角形三边为图形的面积，正确表示出阴影部
分的面积是解题的关键．
由勾股定理求出AB的长，再根据阴影部分面积
S +S =S +S +S −S 代入数据求解即可．
1 2 半圆AC 半圆BC △ABC 半圆AB
【详解】解：由勾股定理得，AB=❑√AC2+BC2=10，
由图形可知，阴影部分面积S +S =S +S +S −S
1 2 半圆AC 半圆BC △ABC 半圆AB
1 1 1 1
= ×π×32+ ×π×42+ ×6×8− ×π×52
2 2 2 2
=24，故选：D．
33．（2024七年级下·陕西西安·期末）如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、
E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D的面积之和为（ ）
A．11 B．14 C．17 D．20
【答案】C
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】如图：由题意可得∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,
S =AB2=3,S =DE2=5,S =AC2 ,AC=CE，再根据全等三角形和勾股定理可得
A C B
S =S +S =5+3=8，同理可得S =S +S =5+4=9，最后求正方形B、D的面积
B C A D C E
之和即可．
【详解】解：如图：
由题意可得：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,S =AB2=3,S =DE2=5,S =AC2 ,
A C B
AC=CE
∴∠BAC+∠ACB=90°,∠DCE+∠ACB=90°,
∴∠BAC=∠DCE，
∴△ABC≅△CDE,
∴DE=BC,
∵∠ABC=90°，
∴AC2=BC2+AB2，
∴AC2=DE2+AB2,即S =S +S =5+3=8,
B C A
同理：S =S +S =5+4=9;
D C E
∴S +S =8+9=17．
D B故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，发现
各正方形之间的面积关系是解答本题的关键．
34．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，分别以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，
斜边AB=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
【答案】A
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题主要是考查勾股定理的应用，比较简单，解题的关键是将图中阴影部分
1
的面积转化为
π(AC2+BC2+AB2)的形式．
8
利用勾股定理和圆的面积公式解答．
【详解】解：根据题意知：AC2+BC2=AB2=16.
1 (1 ) 2 1 (1 ) 2 1 (1 ) 2
图中阴影部分的面积= π× AC + π× BC + π× AB
2 2 2 2 2 2
1
= π(AC2+BC2+AB2)
8
1
= π×(16+16)
8
=4π.
故选：A．
35．（2024八年级上·全国·单元测试）如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直
角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为7，18，30，则正方形B的面积为 ．【答案】5
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】根据勾股定理可知，以直角三角形斜边为边的正方形面积等于以直角三角形
两直角边为边的正方形面积之和，依照此可求出正方形E的面积．
【详解】解：由勾股定理可知：S =S +S ，
D C E
∴S =30−18=12，
E
由勾股定理可知：S =S +S ，
E A B
∴S =12−7=5，
B
故答案为：5．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，能够将勾股定理与几何之间的面积关系相结
合是解决本题的关键．
十四．求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
36．（2024八年级上·全国·单元测试）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处
折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（
）
A．10m B．15m C．26m D．30m
【答案】C
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可求解．
【详解】】解：如图所示：
∵△ABC是直角三角形，AB=10m，AC=24m，BC=❑√AB2+AC2=❑√102+242=26m
故选C
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出BC的
长度．
十五.解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
37．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，
适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC=5，
DC=1，BD=BA，则BC=（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设BC=x，则BD=BA=(x+1)，由勾股定
理列出方程进行求解即可．
【详解】解：设BC=x，则BD=BA=(x+1)，
由题意，得：(x+1) 2=52+x2，
解得：x=12，即BC=12，
故选：C．
38．（2024八年级下·全国·课后作业）如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，
高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是ℎcm，则h的取值范围是
．【答案】11≤ℎ≤12
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】根据题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，h最短是筷子的长度减
去杯子斜边长度，利用勾股定理求出杯子的斜边长度，即可求出h的取值范围．
【详解】解：由题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，即
ℎ
=24−12=12cm，
h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，
由勾股定理得，杯子的斜边长度=❑√52+122=13cm，即ℎ =24−13=11cm，
∴h的取值范围是11≤ℎ≤12，
故答案为：11≤ℎ≤12．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意解题关键．
十六．求旗杆高度(勾股定理的应用)
39．（2024八年级下·安徽合肥·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度
DE=0.5m，将它往前推送2m(水平距离BC=2m)时，秋千踏板离地的垂直高度
BF=1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD长为 m．
【答案】2.5
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC=(x−1)m，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案．
x2=22+(x−1) 2
【详解】解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
设秋千的绳索长为xm，
则AC=AD−DE=AD−(BF−DE)=x−(1.5−0.5)=(x−1)m，
故x2=22+(x−1) 2，
解得：x=2.5，
答：绳索AD的长度是2.5m．
故答案为：2.5．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB
的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
十七.求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
40．（2024八年级上·广东深圳·期中）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯
子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】(1)梯子顶端距离地面的高度为24米
(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是
解题的关键．
（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度；
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的
高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离．【详解】（1）解：根据勾股定理：
梯子顶端距离地面的高度为：AB=❑√252−72=24m；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子顶端距离地面的高度为：24−4=20米，
根据勾股定理得：BC′=❑√252−202=15米，
∴CC′=15−7=8m．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
十八.判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
41．（2024八年级下·全国·单元测试）如图所示，在甲村至乙村的公路AB旁有一块山地正
在开发，现需要在C处进行爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公
路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB．为了安全起见，爆破点C周围半
径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB是否有危险而需要封锁？如果需要，
请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
【答案】公路AB有危险需要封锁，需要封锁的路段长度为140米
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】过C作CD⊥AB于D,利用勾股定理算出AB的长度，然后利用三角形的面积
公式可求出CD的长，用CD的长和250比较大小即可判断是否需要封锁，最后根据勾
股定理求出封锁的长度．
【详解】解：公路AB需要暂时封锁，
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D，
因为BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，所以根据勾股定理有AB=500米，
1 1
因为S = AB⋅CD= BC⋅AC，
△ABC 2 2
BC⋅AC 400×300
所以CD= = =240（米），
AB 500
由于240米<250米,故有危险，
封锁长度为：2×❑√2502−2402=140米，
因此AB段公路需要暂时封锁，封锁长度为140米．
【点睛】本题考查了正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
42．（2024八年级下·贵州六盘水·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然
灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．
如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当
AC⊥BC时，A点到B，C两点的距离分别为500km和300km，以台风中心为圆心周
围250km以内为受影响区域．
(1)求BC；
(2)海港C受台风影响吗？为什么？
(3)若台风的速度为35km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)400km
(2)海港C受台风影响，理由见解析；
(3)4小时
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出
直角三角形，再利用勾股定理解答．
（1）依据三角形中三边的关系确定∠ACB的度数；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1）解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，
∵AB=500km，AC=300km，
∴BC=❑√AB2−AC2=❑√5002−3002=400(km)；
（2）解：海港C受台风影响，理由如下：
过点C作CD⊥AB，
1 1
∵ AC×BC= CD×AB，
2 2
∴300×400=500×CD，
∴CD=240(km)，
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）解：当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，
∵ED=❑√EC2−CD2=70(km)，FD=❑√FC2−CD2=70(km)，
∴EF=140km，
∵台风的速度为35km/h，
∴140÷35=4小时，
答：海港C受台风影响的时间会持续4小时．
十九.用勾股定理构造图形解决问题
43．（2024八年级上·四川成都·期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记
载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意
是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，
点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 寸．【答案】101
【知识点】用勾股定理构造图形解决问题
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
1
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝ CD＝1寸，
2
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2＋DE2＝AD2，即（r﹣1）2＋102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故答案为：101
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
44．（2024八年级上·全国·单元测试）如图，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4
km，又往北走1.5 km，遇到障碍后又往西走2 km，再折回向北走到4.5 km处往东一拐，
仅走0.5 km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？【答案】登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5 km.
【知识点】用勾股定理构造图形解决问题
【分析】过点B作BC⊥AD于点C,根据题意可得AC＝4－2＋0.5＝2.5(km),BC＝4.5＋
1.5＝6(km),然后根据勾股定理可得AB2＝AC2＋BC2＝2.52＋62＝6.52,继而求出AB.
【详解】解：如图,过点B作BC⊥AD于点C,
则AC＝4－2＋0.5＝2.5(km),BC＝4.5＋1.5＝6(km),
在Rt△ABC中,由勾股定理,得:
AB2＝AC2＋BC2＝2.52＋62＝6.52,
∴AB＝6.5(km)．
答:登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5 km.
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用勾股定理进
行解答.
二十.勾股定理逆定理的实际应用
45．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需
要准备一块会场背景板，形状如图所示．具体要求如下：在四边形ABCD中，连接
AC，∠ACB=90°，AB=13米，BC=12米，CD=3米，AD=4米．(1)求线段AC的长；
(2)若该背景板制作成本为10元/平方米，制作这样一块背景板需花费多少元？
【答案】(1)线段AC的长为5米；
(2)制作这样一块背景板需花费360元．
【知识点】勾股定理逆定理的实际应用
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，
熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理求出的长即可；
（2）由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，然后由三角
形面积公式求出四边形ABCD的面积，即可解决问题．
【详解】（1）解：∵∠ACB=90°，BC=12米，AB=13米，
∴AC=❑√AB2−BC2=❑√132−122=5（米)，
即线段AC的长为5米；
（2）解：∵32+42=52，CD=3米，AD=4米，AC=5米，
∴CD2+AD2=AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，
∴S =S +S
四边形ABCD ΔABC ΔACD
1 1 1 1
= AC⋅BC+ CD⋅AD= ×5×12+ ×3×4=36（平方米），
2 2 2 2
∴36×10=360（元)，
答：制作这样一块背景板需花费360元．
二十一.求最短路径(勾股定理的应用)
46．（2024九年级·全国·专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B
离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．5❑√21 B．25 C．10❑√5+5 D．35
【答案】B
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，
然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方
形，如图1，
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB=❑√BD2+AD2=25；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2，
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=❑√BD2+AD2=5❑√29；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3，
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴AC=CD+AD=20+10=30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB=❑√AC2+BC2=5❑√37；
∵25<5❑√29<5❑√37，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25，
故选：B．
【点睛】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点
之间线段最短解答．
47．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方
体的木块．已知AD=6米，AB=4米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为
2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（ ）
A．8m B．10m C．2❑√13m D．2❑√34m【答案】B
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了平面展开−最短路线问题，两点之间线段最短．将木块表面
展开，然后根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：如图，将木块展开，AC即为所求，
则AB=4+2+2=8（米)，BC=AD=6米，
∴最短路径为：AC=❑√AB2+BC2=❑√82+62=10（米)．
故选：B．
48．（2024八年级上·广东广州·期中）如图，圆柱体的底面圆周长为16cm，高AB为4cm，
BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最
短路程为 ．
【答案】4❑√5cm
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】先把圆柱体沿AB剪开，则AD的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在
Rt△ABC中，利用勾股定理即可求出AC的长．
【详解】解：圆柱体的侧面展开图如图所示，
∵底面圆周长为16cm，
∴AD=8cm，又∵AB=4cm，
∴在Rt△ABC中，AC=❑√42+82=4❑√5(cm)．
故答案为4❑√5cm．
【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，
并利用勾股定理解答．
49．（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是
20cm、长是50cm、宽是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短
线路的长度是 ．
【答案】130cm
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，
解题的关键是：利用两点之间线段最短．
【详解】解：将台阶展开成平面图形：
在Rt△ABC中，AC=50cm，BC=120cm，
AB=❑√AC2+BC2=❑√502+1202=130(cm)，
其爬行的最短长度AB=130(cm)，故答案为：130cm．
50．（2024七年级上·山东东营·期末）如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，
在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，
离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m．
【答案】1
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】画出容器侧面展开图（见详解），作点A关于EF的对称点A′，根据两点之
间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】解：如图，将容器侧面展开，作点A关于EF的对称点A′，连接A′B，
则A′B为最短距离．
由题意知，A′D＝0.6m，A′E＝AE=0.2m，
∴BD＝0.9-0.3+0.2=0.8m，∴A′B＝❑√A′D2+BD2
＝❑√0.62+0.82
＝1（m）．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将圆柱的侧面展开，利用轴对称
的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
二十二.垂美四边形
51．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现
有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD=3，
BC=8，则AB2+CD2= ．
【答案】73
【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得
BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，进一步得
BO2+CO2+OD2+OA2=64+9=73，再根据
AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，然后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵BD⊥AC，
∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，
在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得：
BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，
∴CB2+AD2=BO2+CO2+OD2+OA2=64+9=73，
∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，
∴AB2+CD2=BO2+AO2+OC2+OD2=(BO2+OD2)+(AO2+OC2)=CB2+AD2=73
.
故答案为：73．
