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培优专题 19 圆中的最值问题
◎类型一：利用圆的对称性求最值
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧
BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2021·江苏·常熟市第一中学九年级阶段练习）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，
∠M=30°，B为弧AN的中点，点P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．23．（2020·天津·耀华中学九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，∠CAB=30°，D
为 的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为
A． B． C．1 D．2
4．（2021·贵州安顺·九年级期末）如图，MN为 的直径，⊙O的半径为3，点A在 上，
，B为 的中点，P是直径MN上一动点，则 的最小值为______．
◎类型二：利用垂线段最短求最值
5．（2017·江苏扬州·中考模拟）如图，⊙O是以原点为圆心， 为半径的圆，点 是直线 上的
一点，过点 作⊙O的一条切线 ， 为切点，则切线长 的最小值为（ ）A． B． C． D．
◎类型三：利用两点之间线段最短求最值
6．（2020·江苏·九年级专题练习）如图， 是 的外接圆， ，点 是 外一点，
， ，则线段 的最大值为（ ）
A．9 B．4.5 C． D．
7．（2018·江苏·海安市白甸镇初级中学一模）如图，已知⊙ 的半径为3，圆外一点 满足 ，点
为⊙ 上一动点，经过点 的直线 上有两点 、 ，且 ， °， 不经过点 ，则 的
最小值为_____.
◎类型四：利用直径是圆中最长的弦求最值8．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在 中， ，经过点C且与边 相切
的动圆与 分别相交于点E，F，则线段 长度的最小值是（ ）
A． B．4.75 C．5 D．4.8
9．（2021·四川绵阳·九年级期末）如图，圆与坐标轴分别交于原点O，点A(6，0)和B(0，2)，点P是圆上
一个动点，点C(0，﹣3)，则PC长度的最小值为（ ）
A．4 ﹣ B．8 ﹣ C．2 ﹣ D．5﹣
10．（2018·全国·九年级单元测试）如图，在 ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，经过点C且与边AB
相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则△线段PQ长度的最小值是( )
A． B． C．5 D．无法确定
11．（2015·江苏镇江·一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，
且DE=6，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）A． B． C． D．
