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培优专题 19 圆中的最值问题
◎类型一：利用圆的对称性求最值
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧
BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】作点D关于AB的对称点为D′，连接OC，OD，OD′，CD′，交AB于点E，则CE+DE的最小值就
是CD′的长度，根据已知易证∠COD′=90°，然后利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：作点D关于AB的对称点为D′，连接OC，OD，OD′，CD′，交AB于点E，∴DE=D′E，
∴CE+DE=CE+D′E=CD′，
∵∠CAB=30°，
∴∠COB=2∠CAB=60°，
∵D为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，
∴∠COD′=90°，
∵AB=2，
∴OC=OD′=1，
∴CD′= ，
∴CE+DE最小值为： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，轴对称-最短路线问题，根据题目的
已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2．（2021·江苏·常熟市第一中学九年级阶段练习）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，
∠M=30°，B为弧AN的中点，点P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】过点A作直线MN的对称点 ，连接 ，AO，则 ，可得当点 三点共线时，PA+PB的值最小，最小值为 的长，再由圆周角定理可得 ，从而得到 ，
即可求解．
【详解】解：如图，过点A作直线MN的对称点 ，连接 ，AO，则 ，
∴ ，
即当点 三点共线时，PA+PB的值最小，最小值为 的长，
∵ 关于直线MN对称，
∴ ，
∵∠M=30°，
∴ ，
∵B为弧AN的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ,
即PA+PB的最小值为 ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，轴对称图形，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
3．（2020·天津·耀华中学九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，∠CAB=30°，D
为 的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′，PC+PD的最小值即为线段 的长度，
又∵点C在⊙O上， ，D为弧BC的中点，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 则 COD′是等腰直角三角形，
△
∵ ，
∴
故选：B.
4．（2021·贵州安顺·九年级期末）如图，MN为 的直径，⊙O的半径为3，点A在 上，
，B为 的中点，P是直径MN上一动点，则 的最小值为______．【答案】
【分析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题，AB′与M的
交点即为所求的使PA+PB的值最小的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出
∠AON=2∠AMN，再求出∠NOB′，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，根据等
腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB′、AB′，由轴对称确定最短路线问题可知，
AB′与M的交点即为所求的使PA+PB的值最小的点，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，
∵B为弧AN的中点，
∴∠NOB′= ×60°=30°，
∴∠AOB′=90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
∵⊙O的半径为3，
∴AB′= =3 ，
即PA+PB的最小值为为3 ．故答案为：3 ．
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，圆周角定理，垂径定理，以及勾股定理，熟记定理以及最
短路线的确定方法是解题的关键．
◎类型二：利用垂线段最短求最值
5．（2017·江苏扬州·中考模拟）如图，⊙O是以原点为圆心， 为半径的圆，点 是直线 上的
一点，过点 作⊙O的一条切线 ， 为切点，则切线长 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OP，OQ，作OH⊥AB于H，在Rt△POQ中，勾股定理求得 ，当 时
取得最值，据此即可求解．
【详解】连接OP，OQ，作OH⊥AB于H，如图，
当x=0时，y=−x+8=8，则B(0，8)；
当y=0时，−x+8=0，
解得x=8，则A(8，0)，∵OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
，
∵OH⊥AB，
，
∵PQ为O的切线，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△POQ中，
，
∴当OP最小时，PQ最小，
而OP=OH时，OP最小，
∴切线长PQ的最小值为 ，
故选B．
【点睛】本题考查了切线的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，垂线段最短，根据
转化线段是解题的关键．
◎类型三：利用两点之间线段最短求最值
6．（2020·江苏·九年级专题练习）如图， 是 的外接圆， ，点 是 外一点，
， ，则线段 的最大值为（ ）
A．9 B．4.5 C． D．【答案】C
【分析】连接OB、OC，如图，则△OBC是顶角为120°的等腰三角形，将 OPC绕点O顺时针旋转120°
到 OMB的位置，连接MP，则∠POM=120°，MB=PC=3，OM=OP，根据△等腰三角形的性质和锐角三角
△
函数可得 ，于是求OP的最大值转化为求PM的最大值，因为 ，所以当P、
B、M三点共线时，PM最大，据此求解即可.
【详解】解：连接OB、OC，如图，则OB=OC，∠BOC=2∠A=120°，将 OPC绕点O顺时针旋转120°到
OMB的位置，连接MP，则∠POM=120°，MB=PC=3，OM=OP， △
△
过点O作ON⊥PM于点N，则∠MON=60°，MN= PM，
在直角 MON中， ，∴ ，
△
∴当PM最大时，OP最大，
又因为 ，所以当P、B、M三点共线时，PM最大，此时PM=3+6=9，
所以OP的最大值是： .
故选：C.
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、旋转的性质、解直角三角形和两点之间线段最短等
知识，具有一定的难度，将 OPC绕点O顺时针旋转120°到 OMB的位置，将求OP的最大值转化为求
PM的最大值是解题的关键.△ △
7．（2018·江苏·海安市白甸镇初级中学一模）如图，已知⊙ 的半径为3，圆外一点 满足 ，点
为⊙ 上一动点，经过点 的直线 上有两点 、 ，且 ， °， 不经过点 ，则 的
最小值为_____.【答案】4
【详解】分析：连接OP、OC、PC，如图所示，则有OP≥OC-PC，当O、P、C三点共线时，OP=OC-
PC；
由∠APB=90°可知点P在以AB为直径的圆上，则⊙O与⊙C相切时，OP取得最小值，据此求解即可.
详解：连接OP、OC、PC，如图所示，则有OP≥OC-PC，当O、P、C三点共线时，OP=OC-PC.
∵∠APB=90°，OA=OB，
∴点P在以AB为直径的圆上，
∴⊙O与⊙C相切时，OP取得最小值，则OP′=OC-CP′=2，
∴AB=2OP′=4.
故答案为4.
点睛：本题考查了圆与圆的位置关系，两点之间线段最短，判断出当⊙O与⊙C相切时，OP取得最小值是
解答本题的关键.
◎类型四：利用直径是圆中最长的弦求最值
8．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在 中， ，经过点C且与边 相切
的动圆与 分别相交于点E，F，则线段 长度的最小值是（ ）A． B．4.75 C．5 D．4.8
【答案】D
【分析】设EF的中点为O，⊙O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，则有OD⊥AB，由勾股定理
逆定理知， 是直角三角形，OC+OD=EF，而 OC+OD≥CD，只有当点O在CD上时，OC+OD=EF有
最小值为CD的长，即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值，由直角三角
形的面积公式知求出CD的长即可．
【详解】解：设EF的中点为O，⊙O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，
∵ ，
∴AC2+BC2=AB2，
∴ 是直角三角形，∠ACB=90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴OC+OD=EF，
∵⊙O与边AB相切，
∴OD⊥AB，
∵OC+OD≥CD，
即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上时，OC+OD=EF有最小值，
此时最小值为CD的长，
∵CD= ，
∴EF的最小值为4.8．
故选D．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理逆定理，直角三角形的面积公式，圆周角定理等知识．解题的
关键是得到OC+OD≥CD．
9．（2021·四川绵阳·九年级期末）如图，圆与坐标轴分别交于原点O，点A(6，0)和B(0，2)，点P是圆上
一个动点，点C(0，﹣3)，则PC长度的最小值为（ ）A．4 ﹣ B．8 ﹣ C．2 ﹣ D．5﹣
【答案】D
【分析】连接AB，取AB的中点T，连接CT，PT，根据∠ABO=90° ，可知AB为圆的直径，T为圆心，
PC的最小长度即为点C到圆T上一点的最短距离.
【详解】解：连接AB，取AB的中点T，连接CT，PT．
∵A（6，0），B（0，2），
∴OA＝6，OB＝2，
∵∠ABO=90° ，
∴ ，AB为圆的直径，
∴TB＝AT＝PT＝ ，
∴T（ ， ）即（3，1），
∵C（0，﹣3），
∴
∴PC≥CT﹣PT＝5﹣ ，
∴PC的最小值为5- ．
故选D．【点睛】本题主要考查了两点中点坐标公式，两点距离公式，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，圆外
一点到圆的最短距离等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
10．（2018·全国·九年级单元测试）如图，在 ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，经过点C且与边AB
相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则△线段PQ长度的最小值是( )
A． B． C．5 D．无法确定
【答案】B
【详解】∵在△ABC中，AB=13，AC=5，BC=12，
∴AB2=AC2+BC2．
∴∠ACB=90°，
∴PQ一定是直径．
要使过点C且与边AB相切的动圆的直径最小，则PQ等于斜边上的高，
则PQ= = ．
故选B．
点睛：本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，圆周角定理的推论，直角三角形的面积公式，判断出
PQ等于斜边上的高是解答本题的关键.
11．（2015·江苏镇江·一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，
且DE=6，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：如图：设DE的中点为O，连接CO并延长交AB于点F，连接ON,当CF AB时，弦
心距OF最小，此时弦MN的值最大，因为在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，所以AB=10，所以
CF= ,因为DE=6，所以OC=ON=3，所以OF= -3= ,所以NF= ,所以
MN=2NF= ,故选D．
考点：1．圆的性质；2．直角三角形的性质．
12．（2022·安徽·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D是BC边上动点，连
接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为___．【答案】1
【分析】作AC为直径的圆，圆心为O，即可得当O、E、B三点共线时，BE是最短，根据勾股定理求OB
的长度即可求．
【详解】解：如图，作以AC为直径的圆，圆心为O，连接CE，OE，OB，
∵E点在以CD为直径的圆上，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CED＝90°，
∴点E也在以AC为直径的圆上，
∵AC＝8，
∴OE=OC＝4，
∵BC＝3，∠ACB＝90°，
∴OB= ，
∵点E在⊙O上运动，根据两点之间线段最短，
∴BE+OE≥OB，
∴当点B、E、O三点共线时OB最短，
∵OE定值，
∴BE ＝OB﹣OE＝5﹣4＝1，
最短
故答案为：1
【点睛】本题考查直径所对圆周角性质，动点轨迹，勾股定理，最短路径，掌握直径所对圆周角性质，动
点轨迹，勾股定理，最短路径是解题关键．
