文档内容
第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）
考查范围：人教版第16-17章
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2023下·贵州铜仁·七年级统考期末）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了二次根式的运算，关键是能准确运用该计算法则进行计算．运用二次根式的运算法则
进行逐一计算即可求解．
【详解】解：A、 ，此选项不符合题意；
B、 ，此选项符合题意；
C、 ，此选项不符合题意；
D、 ，此选项不符合题意．
故选：B．
2．（2024下·北京西城·八年级北师大实验中学校考开学考试）如果二次根式 有意义，那么 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于零及分母不为零得到 ，进而
求解即可，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：由题意得 ，
解得： ，
故选：A．
3．（2023上·云南文山·八年级校联考期末）如图， 是斜边的高，则
（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】C
【分析】本题考查等积法求线段的长与勾股定理．先由勾股定理计算出 ，再根据等面积法求解即可，
掌握等积法，是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是斜边的高，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选C．
4．（2024上·江苏扬州·八年级校联考期末）在 中， ， ， 的对边分别是 a、b、c．下列
条件中，可以判定 为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长构成勾股数或三内角中有一个是直
角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．直角三角形的判定方法，大约有以下几种：
①勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；②三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等
于第三个内角的度数；根据两种情况进行判断即可．
【详解】解：A、 ，符合勾股定理的逆定理，能够判断 是直角三角形，符合题意；
B、由 得 ，得出 ，不符合勾股定理的逆定理，不能够判断 是直
角三角形，不符合题意；
C、 ，此时 ，不能够判断 是直角三角形，不符合题意；
D、 ，那么 、 、 ， 不是直角三角形，不符合题
意．
故选：A
5．（2023上·四川眉山·八年级统考期中）已知实数 ， 在数轴上的对应点如图，则化简
得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质与化简，利用数轴上点的位置确定 ， ，a的符号是解
题的关键．
利用数轴上点的位置确定 ， ，a的符号，再利用二次根式的性质 解答即可．
【详解】解：根据数轴可得， ， ， ，
∴ ， ，
∴原式
．
故选：A．6．（2023上·浙江绍兴·八年级校考阶段练习）如图， 是 的高，分别以线段 为
边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理即可求解．
【详解】解∶根据勾股定理可得：
，
故选：B．
7．（2024上·江苏南通·八年级统考期末）如图，在 中， ，以点A为圆心，任意长为半径画
弧，分别交 于点 ，再分别以 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 ，作
射线 ，交 于点 ．已知 ，则 的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得出 ，过点E做 交 于点D，得出 ，再由角平分线
及全等三角形的判定证明 ，得 ， ，设 ，结合勾股定理性质，
通过列方程并求解，即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴如图，过点E做 交 于点D，
∴ ，
∴ ，
根据题意得： 为 的平分线，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线、勾股定理、全等三角形、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握角
平分线、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解．
8．（2024上·浙江宁波·八年级校考期末）将两个直角三角形摆放如图，其中
，则 长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质；过点 作 于点 ，
证明 得出 ，在 中，根据勾股定理建立方程，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，
∵
∴
∵ ，
∴
在 和 中，
∴
∴
∴
在 中，根据勾股定理可得 ，
∴
解得： （负值舍去）
故选：B．
9．（2023上·云南昆明·九年级统考期末）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形 ，点O是正六边形的中心，则 的长为
（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题根据正多边形性质得到 ， ，利用等腰三角形性质和三角形内角和求得
，作 于点 ，利用等腰三角形性质得到 ，根据30度所对直角边等
于斜边一半求得 ，再利用勾股定理求得 ，即可解题．
【详解】解：由题知， ，
，
，
作 于点 ，
， ，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形性质、等腰三角形性质、30度所对直角边等于斜边一半、勾股定理、三角形
内角和定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题．10．（2024下·广东深圳·九年级深圳市福田区石厦学校校考开学考试）如图， 中， ，
，点P是 内一点， ，若 ，则 的值为（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，过点 作
，交 延长线于 ，连接 ，由题意可知 ，证明 ，
可知 为等腰直角三角形，易得 ，再证 ，则 ， ，
可证 ，易知 为等腰直角三角形，得 ，
，即可求解．添加辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键．
【详解】解：过点 作 ，交 延长线于 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，
则 ， ，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，则 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
故选：D．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（2023下·广西南宁·八年级南宁十四中校考期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于 ．先根据二次根式有意义的条件列
出关于 的不等式，求出 的取值范围即可．
【详解】解： 式子 在实数范围内有意义，
，
解得 ．
故答案为： ．
12．（2024下·广东·九年级专题练习）若实数m满足 ，则m的取值范围是 ．【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解
是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知： ，
解得： ，
故答案为： ．
13．（2023下·内蒙古呼和浩特·七年级校考期中）已知 的整数部分是a，小数部分是b，则
， ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的估算，二次根式的乘法；
根据无理数的估算方法得出 ， ，然后再进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ， ．
14．（2023上·辽宁本溪·七年级校考阶段练习） ， ，动点P从点B出发沿
射线 以 的速度移动，设运动的时间为 ，当 为直角三角形时，t的值为 ．
【答案】4或【分析】本题主要考查了勾股定理，先由勾股定理求出 ，当点P与点C重合时， ，
则 ，可得 ；当 时， ，则 ，由勾股定理得到
，则 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴
当点P与点C重合时， ，即此时 是直角三角形，
∴ ，
∴ ；
当 时，由题意得， ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得
∴ ，
∴ ，
解得 ，
综上所述，t的值为4或 ，
故答案为：4或 ．
15．（2023上·江苏南京·八年级校考期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所
在直线 的距离分别为 ， ， ．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，
使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用
对称解决最短问题．
根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可．
【详解】解：如图所示：作A点关于直线 的对称点 ，再连接 ，交直线 于点P，
则此时 最小，过点B作 交延长线于点E，
∵ ， ， ．
∴ ， ，
∴ ， ，
在 中，
，
则 的最小值为 ．
故答案为： ．
16．（2024上·四川成都·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ．点D
为 外一点，满足 ， ，则 的面积是 ．【答案】
【分析】过点A作 ，交 的延长线于点E，从而可得 ，在 中，利用含
的直角三角形的性质及勾股定理可得 ，然后利用 证明 ，从而可得
， ，再利用三角形的外角性质可得 ，从而可得 是等腰直角
三角形，进而可得 ，最后利用线段的和差关系可得 ，从而利用三角形的面积公式
进行计算，即可解答．
【详解】解：过点A作 ，交 的延长线于点E，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ 是 的一个外角，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，
含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．（2023上·四川达州·八年级校考期中）问题探究：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：
．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简的方法，关键是把复合二次根式的被开方数 配成完全
平方式．观察式子可知： ， ，故 可看作 平方的结果．
【详解】解： ，
．
故答案为：
18．（2024上·陕西西安·八年级陕西师大附中校考期末）如图，折叠边长为 的正方形纸片 ，折
痕是 ，点C落在点E处，分别延长 、 交 于点F、G．若点M是 边的中点，则
．【答案】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键；
根据折叠的性质可得 ， ，连接 ，设 ，由勾股定理求出x的值，得出
，连接 ，证明 ，设 ，再结合勾股定理可得答案．
【详解】解：连接 如图，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵点M为 的中点，
∴ ，
由折叠得， ∠ ，
∴∠ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 则有 ，
∴ ，
又在 中， ，
解得， ，
∴ ， ，
连接 ，
同理可得： ，
∴设 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（2024上·河南郑州·八年级统考期末）计算∶
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计
算．
（1）先利用二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法，结合平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：．
20．（2024下·江西宜春·八年级江西省丰城中学校考开学考试）已知其中 ，化简求值
．
【答案】 ，
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，先根据分式的运算法则化简代数式，然后将
代入，即可求解．
【详解】
，
，
原式
21．（2024下·江西宜春·八年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，在正方形 网格中，每个小正方
形的边长均为1，已知点 ，点 均为格点．按下列要求作图，使得每个图形的顶点均在格点上．(1)请在图①中，画出以 为边的正方形 ；
(2)请在图②中，画出以 为底的等腰 ，且 的面积为_____．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】（1）根据正方形的定义画出图形即可；
（2）作出等腰直角三角形 即可，证明 是等腰直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可
求解．
【详解】（1）如图，正方形 即为所求；
（2）如图，等腰 即为所求；
，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ 的面积为
22．（2024上·山东泰安·七年级统考期末）如图， ， ， ，垂足分别为D，E， ， ．
(1)求 的度数；
(2)求线段 的长度．
【答案】(1)
(2)7
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关
键．
（1）根据条件可以得出 ，进而运用 得出 ，就可以得出 即可
得到结论；
（2）利用（1）中结论，先运用勾股定理求出 长，然后根据全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴
（2）∵ ， ， .
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
23．（2023上·广东梅州·八年级统考期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、
经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向 ，由点A飞
向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线 上两点 A，B的距离分别为 和 ，又
，飞机中心周围 以内可以受到洒水影响．
(1)着火点C 受洒水影响吗？为什么？
(2)若飞机的速度为 ，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
【答案】(1)着火点C受洒水影响，理由见详解
(2)能，理由见详解
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，
（1）过点C作 ，垂足为D，勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，进而等面积法求得
长度，与260进行比较即可求得答案；
（2）以点C为圆心， 为半径作圆，交 于点E，F． 勾股定理求得 ，根据等腰三角形的性质进
而求得 的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题．
【详解】（1）着火点C受洒水影响，理由如下，
如图，过点C作 ，垂足为D，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
所以 ，
∵ ，
∴着火点C受洒水影响．
（2）如图，以点C为圆心， 为半径作圆，交 于点E，F．
则 ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴着火点C能被扑灭．
24．（2024上·江苏南京·八年级校联考期末）在 中， ，(1)如图①， 为 边上一点，连接 ，以 为边作 ， ， ，连接 ．求证：
，
(2)如图②， 为 外一点．若 ， ， ．则 的长为______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质；
（1）先证明 可得 ，进而可得 ，再证明
，即可得出结论；
（2）根据（1）的方法，以 为边作 ， ， ，证明 ，根据已知条
件得出 是等腰直角三角形， ， 中，勾股定理求得 ，进而根据 ，
即可求解．
【详解】（1）证明：∵
即
在 和
∴即 ；
（2）解：如图所示，以 为边作 ， ， ，
同（1）可得 ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴
在 中，
∴
∴ ，
故答案为： ．
25．（2023上·浙江宁波·八年级校考期末）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知
识．整理如下：对于正数a、b，有 ，所以 ，即 （当且仅当
时取到等号）．特别地， （当且仅当 时取到等号）．因此，当 时， 有最
小值2，此时 ．
【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他．（1）函数 的最大值为________．
（2）求函数 的最小值，并写出取最小值时x的值．
【猜想提升】小明由上述的 提出猜想： （当且仅当 时取到等号）．
通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题．
（3）设a，b，c是非负实数，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）8
（3）2
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，不等式性质，熟练掌握完全平方公式和
基本不等式的性质是解题的关键．
（1）变形得 ，则有 ，即可求解．．
（2）变形得 ，则有， ，即可求解．
（3）变形得 ，则有 ，即
，即可求解．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴y有最大值 ；
（2）∵ ，
∴ ，∴y有最小值 ；
（3）∵ ，
∵a，b，c是非负实数，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为2，
∴ 的最小值为2．
26．（2024上·云南玉溪·八年级统考期末）如图，点 ， 分别是边长为 的等边 边 ，
上的动点，点 从顶点 沿 向点 运动，点 同时从顶点 沿 向点 运动，它们的速度都为
，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为 秒，连接 ， 交于点 ．
(1)如图甲，求证： ；
(2)如图乙，连接 ，若 ，探究 与 之间的数量关系，并证明；
(3)如图丙，在点 ， 运动的过程中，是否存在以点 ， ，C为顶点的三角形是直角三角形的情况，
若存在，请直接写出对应的运动时间 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见详解；
(2) ，理由见详解；
(3) 或 ；
【分析】本题考查三角形全等的判定，勾股定理，以及动点问题．
（1）根据运动得到 ，根据等边三角形得到 ， 即可得到证明；
（2）在 上截取 ，证明 ，再证 ，即可得到答案；（3）根据题意表示出， ， ，分类讨论结合勾股定理列方程求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵点 从顶点 沿 向点 运动，点 同时从顶点 沿 向点 运动，它们的速度
都为 ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ ；
（2）解： ，理由如下，
如图在 上截取 ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（3）解：存在 或 ，理由如下，
由题意可得，
∵ ， ，
∴ ，
∵以点 ， ，C为顶点的三角形是直角三角形，
当 时，
∵ ，
∴ ，
，
即 ，
解得： ，
当 ，
∵ ，
∴ ，
，
即： ，
解得： ，
综上所述： 或 ．
