文档内容
第 19 章 二次根式
综合与实践：纸张规格的奥秘
【素养目标】
1. 探究纸张长与宽比值规律及折叠后长方形特征。(重点)
2. 推导折叠后长方形长与宽比值并证明。(难点)
3. 经历观察、计算、分析、归纳等活动过程，培养探究能力和逻辑思维能力。
4. 通过数学活动，感受数学与生活的紧密联系，培养应用意识与创新思维。
【情境导入】
观察：打印机里的纸张是多大的呢？教科书与课外读物的长与宽是固定的
吗， 它们之间有什么关系呢？
【合作探究】
探究1：计算纸张长与宽的比值
例1 在探索纸张规格的奥秘的数学活动中，林老师让同学们通过测量、折纸的
方式得到 A1, A2, A3, A4, A5, B1, B2, B3, B4, B5 纸的长和宽的数据如下
表所示，试猜想 A 型纸和 B 型纸的长与宽的比。
A 型 宽×长 B 型 宽×长
A5 148×210 B5 182×257
A4 210×297 B4 257×364
A3 297×420 B3 364×515
A2 420×594 B2 515×728
A1 594×841 B1 728×1030
第 1 页操作2：测量教科书与课中山的长与宽， 看一看它们的长与宽的比是否也有类
似确定的关系。
观看配套课件视频：
【归纳总结】
发现各规格纸张长与宽比值接近√2 ，同一类型 ( A 型、 B 型) 纸张，长
与宽比值基本一致，且相邻规格纸张， 大规格长、宽分别是小规格宽、长的一
定倍数 (如 A4 长 297 是 A5 宽 148 的约 2 倍， A4 宽 210 等于 A5 长)，
测量书本等纸张，验证多数符合此规律。
探究2：沿中点连线折叠后长方形长与宽比值
例 2 已 知 长 方 形 ABCD 长 与 宽 的 比 值 为 √2 ， 设
AB = a , AD = √2a , E、F 分别是 AD、BC 的中点，求长方形 ABFE
的长 (AB = a) 、宽 ( AE = √2 a ) 比值，判断是否为
2
√2 .
探究点3：折叠两次后长方形长与宽的比值
例3 设原长方形 ABCD 的长 AD = √2x ，宽 AB = x ， 按下图折叠，折痕
分别为 AE ，EI ，推导长方形 GHID 的长、宽，计算比值，判断是否为 √2 .
第 2 页当堂反馈
1. 如图，把两个边长为 1 的小正方形沿对角线剪开， 所得的 4 个直角三角
形拼成一个面积为 2 的大正方形。 以一个小正方形为例，可以得到一般结论：
正方形的对角线与边长的比为 ________.
2. 按照国际标准，A 系列纸为长方形，其中 A0 纸的面积为 1 平方米，将
A0 纸沿长边对折、剪开，便成 A1 纸；将 A1 纸沿长边对折、剪开，便成
A2 纸；将 A2 纸沿长边对折、剪开，便成 A3 纸；将 A3 纸沿长边对折、剪
开，便成 A4 纸，现将一张 A4 纸按下图所示的方式进行两次折叠(折痕分别
是 AB 和 AE )，观察发现点 B 恰好与点 C 重合，求 A4 纸的长、宽的比。
3. 已知 A0 纸的长、宽之比是√2:1，面积为1平方米。估算 A0 纸的长与宽
分别是多少毫米？(结果取整数，√2≈1.414,√70.7≈8.4083 ,√70.7214≈8.1)
第 3 页参考答案
探究1：计算纸张长与宽的比值
例1 解：420÷297≈1.414 ， 594÷420≈1.414 ，……，√2≈1.414 ，
所以 A 型纸的长与宽的比约为 √2:1 .
515÷364≈1.415,728÷515≈1.414,⋯⋯,
所以B 型纸的长与宽的比值约为 √2:1 .
探究2：沿中点连线折叠后长方形长与宽比值
√2
例2 解：a÷ a = √2 ，所以长方形 ABFE 仍为长与宽比值为 √2 的长方
2
形，即沿长边中点连线折叠，长与宽的比值不变。
例 3 解 ： 由 折 叠 可 知 ， AB = AG = x ， 所 以
GD = AD−AG = AD−AB = √2x−x .
所 以 DI = CD−IC = x−(√2x−x) = 2x−√2x . 所 以
DI 2x−√2x
= = √2 .
GD √2x−x
所以长方形 GHID 的长、宽比值还是 √2∶1 .
当堂反馈
1. √2:1 .
2. 解：设A4纸的长为m ，宽为 n .
第一次折叠形成一个正方形，所以 AB = √2n ；
第二次折叠得到 AB = AC = m .
m
∴√2n = m.∴ = √2 . ∴ A4 纸的长宽的比为 √2:1 .
n
3. 解： 因为 A0 纸的长、宽之比是 √2:1 ，设 A0 纸的宽为 x 毫米，长为
√2x 毫米。因为 A0 纸的面积 =1 平方米 =1000000 平方毫米，
所以 x×√2x =1000000 ，解得 x ≈ 841 .所以 √2×841≈1189 .
答： A0 纸的长是 1189 毫米， 宽是 841 毫米。
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