文档内容
第 21 章 四边形
21.3.2 菱形
第2课时 菱形的判定
【素养目标】
1.理解并掌握菱形的判定方法，体会类比数学思想方法的作用.
2.引导学生从边和对角线探究菱形的判定定理，养成主动探索的学习习惯.
3.运用菱形的判定方法进行证明或计算，发展学生的推理能力.
重点：菱形的判定方法的理解与应用.
难点：菱形的判定定理与性质定理的区别和联系.
【复习导入】
问题 上节课我们已经知道“菱形的对角线相互垂直”，反过来，小明猜想对角线垂直
的四边形是矩形，你觉得对吗？
【合作探究】
思考：我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转
动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四
边形什么时候变成菱形? 对此你有什么猜想？
猜想：
证一证:
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，
AC⊥BD.
求证：▱ABCD 是菱形.
知识要点：
菱形的判定定理
几何语言描述：
典例精析
第 1 页例1 如图，▱ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别交于点E、F，
求证：四边形 AFCE 是菱形.
A E D
1
O
2
B F C
探究点2: 四条边相等的四边形是菱形
思考：已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD，并使 AC 为该菱形
的一条对角线吗？
小刚：分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点
B，D，依次连接 A、B、C、D 四点.
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？
你能验证小刚的作法对吗？
猜想：
证一证:
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
知识要点：
菱形的判定定理
几何语言描述：
例1 如图，▱ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别交于点E、F，
A E D
1
第 2 页
O
2
B F C求证：四边形 AFCE 是菱形.
例2 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH，求证：四边形
EFGH 是菱形.
变式题：如图，顺次连接对角线相等的四边形 ABCD 各边的中点，得到的四边形
EFGH 是什么四边形？
归纳总结：顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到的四边形是菱形.
拓展1：如图，顺次连接平行四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四
边形？
拓展2：如图，若四边形 ABCD 是菱形，顺次连接菱形ABCD 各边中点，得到四边
形 EFGH 是什么四边形？
练一练
第 3 页1. 如图，在△ABC 中， AD 是角平分线，点 E、F 分别在 AB、 AD 上，且 AE
= AC，EF = ED.
求证：四边形 CDEF 是菱形.
2. 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点
F，使得 EF＝BE，连接 CF.
(1)求证：四边形 BCFE 是菱形； A
(2) 若 CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积．
E F
D
B C
总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相
等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证
出这个四边形是平行四边形．
当堂反馈
1.下列四边形中不一定为菱形的是( )
A.对角线相等的平行四边形
B.每条对角线平分一组对角的四边形
C.对角线互相垂直的平行四边形
D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形
2.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，要使四边形AFDE
为菱形，应添加的条件是 (添加一个条件即可).
第2题图
3.如图，在 ▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线
段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为 .
第 4 页第3题图
4.在 ▱ABCD中，AB＝5，AC＝6，当BD的长度为 时，四边形ABCD是菱形.
5.如图，AE∥BF，BD平分∠ABF，且交AE于点D，过点D作DC∥AB交BF于点C.求
证：四边形ABCD是菱形.
书写通关
证明：∵AE∥BF，DC∥AB，
∴四边形ABCD是 .
∴∠ADB＝ .
∵BD平分∠ABF，
∴ ＝∠CBD.
∴∠ABD＝∠ADB.
∴ .
∴四边形ABCD是菱形.
6.如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)求证：四边形BEDF是菱形.
参考答案
【合作探究】
证一证:
证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA = OC.
第 5 页又∵ AC⊥BD，∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线.
∴ BA = BC.∴ ▱ABCD 是菱形（菱形的定义）.
典例精析
例1 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AE∥CF. ∴∠1=∠2.
又 ∠AOE =∠COF，AO = OC，
∴ △AOE≌△COF，
∴EO = FO.
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形.
又 AC⊥EF，
∴ 四边形 AFCE 是菱形.
还有其他的证明方法吗？
探究点2: 四条边相等的四边形是菱形
证一证:
证明：∵ AB = BC = CD = AD，∴ AB = CD，BC = AD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.又∵ AB = BC，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
例1 方法二：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AE∥CF. ∴∠1=∠2.
又 ∠AOE =∠COF，AO = OC，
∴ △AOE≌△COF，
∴AE = CF.
又∵EF 垂直平分AC，∴AE = EC，AF = FC.
∴AE = EC = AF = FC.
∴ 四边形 AFCE 是菱形.
例2 证明：连接 AC、BD
∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AC = BD.
∵ 点 E、F、G、H 为各边中点，
∴ EF = FG = GH = EH，∴ 四边形 EFGH 是菱形.
变式题：
解：四边形 EFGH 是菱形.
理由如下：连接 AC、BD.
∵点 E、F、G、H 为各边中点，
又∵AC = BD，∴EF=FG=GH=HE.∴ 四边形 EFGH 是菱形.
拓展1：
解：连接 AC、BD.
∵ 点 E、F、G、H 为各边中点，
第 6 页∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.
拓展2：
四边形 EFGH 是矩形.
练一练1.
证明： ∵∠1 = ∠2，AE = AC，AD = AD，
∴ △ACD≌△AED (SAS). 同理，△ACF≌△AEF.
∴ CD = ED，CF = EF.又∵ EF = ED，
∴ CD = ED = CF = EF.∴ 四边形 CDEF 是菱形.
2. 解：(1) 证明：∵ D、E 分别是 AB、AC 的中点，
∴ DE∥BC 且 2DE＝BC.
又∵ BE＝2DE，EF＝BE，
∴ EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形 BCFE 是平行四边形．
又∵ EF＝BE，
∴ 四边形 BCFE 是菱形.
(2) 解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴ △EBC 是等边三角形，
∴ 菱形的边长为 4，高为 2√3 ，
∴ 菱形的面积为 4×2√3=8√3 .
当堂反馈
1. A 2.AB＝AC(答案不唯一)
3. 2
4. 8
5. 平行四边形 ∠DBC ∠ABD AB＝AD
6.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠BAE＝∠DCF.
又∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)如图，连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO.
∵AE＝CF，∴EO＝FO.
∴四边形BEDF是平行四边形.
又∵BD⊥EF，
∴四边形BEDF是菱形.
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