文档内容
21.3.2 菱形
第2课时 菱形的判定
1.理解并掌握菱形的判定方法，体会类比数学思想方法的作用.
2.引导学生从边和对角线探究菱形的判定定理，养成主动探索的学
习习惯.
3.运用菱形的判定方法进行证明或计算，发展学生的推理能力.
重点：菱形的判定方法的理解与应用.
难点：菱形的判定定理与性质定理的区别和联系.
知识链接：上节课我们学习了菱形的性质，回顾一下相关知识.
创设情境——见配套课件
探究点一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
问题1：类比矩形的定义也是判定矩形的一种方法，由菱形的定义
可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.除了此方法，还有没有
其他判定方法呢？
与研究平行四边形、矩形的判定类似，我们研究菱形的性质定理的
逆命题，看一看它们是否成立.
问题2：如图，用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小
钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边
形.转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？请说明理由.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
下面我们来进行验证：已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且
▱
BD⊥AC.求证： ABCD是菱形.
▱
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.
∵BD⊥AC，
∴AB＝BC（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相
等）.
∴ ABCD是菱形.
▱
归纳总结：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，∴ ABCD
▱
是菱形.
【对应训练】教材P75练习第1题.
探究点二：四条边相等的四边形是菱形
问题3：如图，先画两条等长的线段AB，AD，然后分别以B，D为
圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C，连接BC，CD，得到的四
边形ABCD是菱形吗？请说明理由.
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
下面我们来进行验证：
如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD.求证：四边形ABCD
是菱形.
证明：∵AB＝CD，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.又AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形.
归纳总结：四条边相等的四边形是菱形.
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形.
【对应训练】教材P75练习第3题.
（教材P74例4）如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分
▱
线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF.∴∠1＝∠2.
又∠AOE＝∠COF，AO＝CO，∴△AOE≌△COF（ASA）.
∴EO＝FO，∴四边形AFCE为平行四边形.
又AC⊥EF，∴四边形AFCE为菱形.
问题4：你能利用“四条边相等的四边形是菱形”证明这个例题吗？
同方法一，证得△AOE≌△COF，∴AE＝CF.
又∵EF是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，AF＝CF.
∴AE＝EC＝CF＝AF.∴四边形AFCE是菱形.
【对应训练】
1.你还能用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”证明这个例题
吗？
2.教材P75练习第2题.
1.下列四边形中不一定为菱形的是（ A ）
A.对角线相等的平行四边形 B.每条对角线平分一组对角的四边形
C.对角线互相垂直的平行四边形 D.用两个全等的等边三角形拼成
的四边形2.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，
要使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是 AB ＝ AC （ 答案不唯
一 ） （添加一个条件即可）.
第2题 第3题图
3.如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a
▱
个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为
2 .
4.在 ABCD中，AB＝5，AC＝6，当BD的长度为 8 时，四边形
▱
ABCD是菱形.
5.如图，AE∥BF，BD平分∠ABF，且交AE于点D，过点D作
DC∥AB交BF于点C.求证：四边形ABCD是菱形.
书写通关
证明：∵AE∥BF，DC∥AB，
∴四边形ABCD是 平行四边形 .
∴∠ADB＝ ∠ DBC .
∵BD平分∠ABF，
∴ ∠ ABD ＝∠CBD.
∴∠ABD＝∠ADB.
∴ AB ＝ AD .
∴四边形ABCD是菱形.
6.如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝
CF.（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形BEDF是菱形.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAE＝∠DCF.
又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF（SAS）.
（2）如图，连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO.
∵AE＝CF，∴EO＝FO.∴四边形BEDF是平行四边形.
又∵BD⊥EF，∴四边形BEDF是菱形.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
