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21.3.2 菱形（第 1 课时）
知识点1：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
1．（2022年西藏）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落
在B′上，连接DB′．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则∠ADB′的度数为（ ）
A．50° B．60° C．80° D．90°
【答案】C
【分析】由翻折的性质知∠BAE=∠B′AE=50°，AB′=AB，再由菱形的性质得∠BAD=120°，AB′=AD，
最后利用三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C=120°，
∴∠BAD=∠C=120°，AB=AD，
∵将 ABE沿直线AE翻折，使点B落在B′上，
∴∠B△AE=∠B′AE=50°，AB′=AB，
∴∠BAB′=100°，AB′=AD，
∴∠DAB′=20°，
∴∠AB′D=∠ADB′=（180°-20°）÷2=80°，
故选：C．
2．（2025年四川泸州）如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边AB,BC上的点，且AE=CF．求证：AF=CE．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AE=CF，
∴AB−AE=BC−CF，即BE=BF，在△ABF和△CBE中，
¿，
∴△ABF≌△CBE(SAS)，
∴AF=CE．
知识点2：菱形的四条边都相等.
3．如图，在菱形ABCD中，AB=2，则菱形ABCD的周长为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查菱形的性质．根据菱形的性质“菱形的四条边相等”可直接进行求解．
【详解】解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为2×4=8，
故答案为：8．
4．（2024年海南）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋
转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1 B．1− √3 C．0 D．3−2√3
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作CF⊥AE于点F，利用菱形的性质，
直角三角形的性质，勾股定理计算即可．
【详解】解：作CF⊥AE于点F，
∵∠ABC=120°，
∴∠FBC=60°，
∵BC=2，1，CF=√BC2 −BF2=√3，∴AF=AB+BF=3，
∴ ，
AE=AC=√AF2+CF2=√32+(√3) 2=2√3
∵点E表示的数是3，
∴点A表示的数是3−2√3，
故选：D．
5．（2025年陕西）如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2，延长CB至点E，延长AD至点F，连接AE，CF．
若四边形AECF为菱形，则这个菱形的面积为（ ）
39 39 21
A．9 B． C． D．
8 4 2
【答案】C
【分析】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质是关
键．根据菱形的性质得到AF=AE=EC=FC，由矩形的性质得到CD=AB=3，AD=BC=2，∠D=90°，设
5 5
DF=x，则在Rt△CFD中，AF=AD+DF=2+x,则CF=AF=2+x,利用勾股定理求出x= ，即DF= ．得到
4 4
13
AF=2+x= ，根据菱形的面积求出答案即可．
4
【详解】解：∵四边形AECF为菱形，
∴AF=AE=EC=FC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=3，AD=BC=2，∠D=90°，
设DF=x，则在Rt△CFD中，AF=AD+DF=2+x,
∴CF=AF=2+x,
∵DC2+DF2=CF2，
即32+x2=(2+x) 2，
5
∴x= ，
45
即DF= ．
4
13
∴AF=2+x= ，
4
13 39
∴菱形的面积为AF⋅CD= ×3= ，
4 4
故选：C
知识点3：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
6．（2022年广西河池）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是( )
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC
【答案】C
【分析】根据菱形的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，故A、B、D选项正确，
不能得出AC=BD，故C选项不正确，
故选：C.
7．（2023年湖南湘潭）如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【分析】根据菱形的性质可得BD⊥AC,AB∥CD，则∠1=∠ACD,∠ACD+∠2=90°，进而即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形
∴BD⊥AC,AB∥CD，
∴∠1=∠ACD,∠ACD+∠2=90°，
∵∠1=20°，∴∠2=90°−20°=70°,
故选：C．
8．（2023年黑龙江大庆）将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD=α，∠CBE=β，则β=
（ ）
1 3 1 3
A．45°+ α B．45°+ α C．90°− α D．90°− α
2 2 2 2
【答案】D
【分析】由题意可得∠FBG=∠DAB=α，由菱形的性质可得AD∥BC，∠ABD=∠CBD=α+β，由平
行线的性质可得∠DAB+∠ABC=180°，进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：∠FBG=∠DAB=α，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，∠ABD=∠CBD=α+β，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=α+β+α+β=2α+2β
∴α+2α+2β=180°，
3
∴β=90°− α，
2
故选：D．
9．（2025年福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，
F．若OA=2,OD=1，则△AOE与△DOF的面积之和为 ．
【答案】1
1
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出S = AC⋅BD=4，
菱形ABCD 2∠OAB=∠OCD，然后证明△AOE≌△COF(ASA)即可求解．
【详解】解：∵菱形ABCD，OA=2,OD=1，
∴AC=4,BD=2，OA=OC，AB∥CD，
1
∴S = AC⋅BD=4，∠OAB=∠OCD．
菱形ABCD 2
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴S =S ，
△AOE △COF
1
∴S +S = S =1，
△AOE △COF 4 菱形ABCD
故答案为：1．
10．（2025年四川凉山）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O，E是边CD的中点，过点
E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G，若AC=12,BD=16，则FG的长为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质与判定，连接OE，由菱
形对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OC=6，OD=8，则可由勾股定理求出CD=10，再由直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半可得OE=5，最后证明四边形OGEF是矩形，即可得到FG=OE=5．
【详解】解：如图所示，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O，
1 1
∴AC⊥BD，OC= AC=6，OD= BD=8，
2 2
∴∠COD=90°，在Rt△COD中，由勾股定理得CD=√OC2+OD2=√62+82=10，
∵E是边CD的中点，
1
∴OE= CD=5，
2
∵EF⊥BD，EG⊥AC，
∴∠OGE=∠OFE=∠GOF=90°，
∴四边形OGEF是矩形，
∴FG=OE=5，
故答案为：5．
11．（2025年江苏无锡）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点M．过点D
作AC的平行线交BC的延长线于点N，连接MN．则MN的长为 ．
【答案】√7
【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证明△ACD为等边三角形，进而
得到AC=2，三线合一求出DM的长，证明四边形ACND为平行四边形，进而得到DN=AC=2，推出
∠MDN=90°，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，
1
∴AC⊥BD,∠ADC=∠ABC=60°,∠ADB=∠CDB= ∠ADC=30°,AD=DC=2,AD∥BC，
2
∴△ACD为等边三角形，
∴AC=AD=2，∠ACD=60°，
∵AC⊥BD，
1
∴AM= AC=1， DM=√AD2 −AM2=√3 ，
2
∵DN∥AC，
∴四边形ACND为平行四边形，∠CDN=∠ACD=60°，
∴DN=AC=2,∠MDN=∠CDB+∠CDN=90°，
∴MN=√DN2+DM2=√7；
故答案为：√7．知识点4：菱形的面积等于对角线乘积的一半.
12．（2025年云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O．若AC=6，BD=5，则菱形
ABCD的面积是 ．
【答案】15
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可，掌握菱形的性质是解
题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=5，
1 1
∴菱形ABCD的面积是 AC×BD= ×6×5=15，
2 2
故答案为：15．
13．（2025年四川巴中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AO=4，BO=3，
DH⊥AB于点H，DH的长为 ．
24
【答案】
5
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据勾股定理可得AB=5，利用面积法即可求得DH的值．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，AC=2AO=8,BD=2BO=6，
∴AB=√AO2+BO2=5，
AC⋅BD
菱形ABCD的面积= =AB⋅DH=24，
2
24 24
∴DH= = ，
AB 5
24
故答案为： ．
514．（2022年湖南湘西州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，
连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32√3，则CD的长为（ ）
A．4 B．4√3 C．8 D．8√3
【答案】C
【分析】在Rt△BDH中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长．
【详解】∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
1
∴OB＝OD，OC＝OA＝ AC，AC⊥BD，
2
1
∴OH＝OB＝OD＝ BD（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
2
∴OD＝4，BD＝8，
1
由 AC⋅BD=32√3得，
2
1
×8⋅ AC＝32√3，
2
∴AC＝8√3，
1
∴OC＝ AC＝4√3，
2
∴CD＝√OC2+OD2＝8，
故答案为：C．
15．（2023年湖北随州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC,CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若BC=3,DC=2，求四边形OCED的面积．
【详解】（1）解：∵DE∥AC,CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵矩形ABCD中，OC=OD，
∴平行四边形OCED是菱形；
（2）解：矩形ABCD的面积为BC⋅DC=3×2=6，
1 3
∴△OCD的面积为 ×6= ，
4 2
3
∴菱形OCED的面积为2× =3．
2
16．（2025年黑龙江绥化）如图，在菱形ABCD中，AB=4，对角线BD=4√3，点P是边CD的中点，点M是
对角线BD上的一个动点，连接PM、CM．则PM+CM的最小值是 ．
【答案】2√3
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，
连接AC，根据两点之间线段最短可知PM+CM的最小值为CP′，再结合菱形的性质得
1 1
AD=AB=CD=4，AC⊥BD,DO= BD=2√3，AO= AC，然后根据勾股定理得AO，可得AC=AD=CD=4，
2 2
1
结合等腰三角形的性质得CP′⊥AD，AP′= AD=2，接下来根据勾股定理得CP′，此题可解．
2
【详解】解：如图，连接AC，
作点P关于直线BD的对称点P′，则PM=P′M，点P′是AD的中点，
∴PM+CM=P′M+CM≥CP′．
根据两点之间线段最短，可知PM+CM的最小值为CP′，
∵四边形ABCD是菱形，
1 1
∴AD=AB=CD=4，AC⊥BD,DO= BD=2√3，AO= AC，
2 2根据勾股定理，得AO=√AD2 −DO2=2，
∴AC=AD=CD=4．
∵点P′是AD的中点，
1
∴CP′⊥AD，AP′= AD=2．
2
在Rt△ACP′中，CP′2=√AC2 −AP′2=2√3．
所以PM+CM的最小值为2√3．
故答案为：2√3．
17．（2025年贵州）如图，在▱ ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E．延长
BC至F，使CF=CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G．
(1)求证：▱ ABCD是菱形；
(2)若BE=EF,EC=4，求△DCF的面积．
【详解】（1）证明：∵E为对角线AC上的中点，且BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴BA=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形；
▱
（2）解：如图：
∵EB=EF,CE=CF=4，
∴∠3=∠2=∠1，设∠3=∠2=∠1=α
∴∠4=∠1+∠2=2α，
∵BE⊥AC，
∴∠3+∠4=90°，
∴α+2α=90°，
解得：α=30°
∴∠4=60°，
∵BE⊥AC，
∴BC=2CE=2×4=8，
又∵BC=BA，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD,CD=BC=8，
∴∠FCG=∠ABC,∠ECG=∠BAC，
∴∠FCG=∠ECG，
∵CF=CE=4，
∴CG⊥EF，
∵∠2=30°，
1
∴CG= CF=2，
2
∴FG=√FC2 −CG2=2√3，
1 1
∴S = CD×FG= ×8×2√3=8√3．
△DCF 2 2
18．（2023年浙江绍兴）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作
弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 ．
【答案】10°或80°1
【分析】根据题意画出图形，结合菱形的性质可得∠CAD= ∠DAB=20°，再进行分类讨论：当点E在
2
点A上方时，当点E在点A下方时，即可进行解答．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=40°，
1
∴∠CAD= ∠DAB=20°，
2
连接CE，
①当点E在点A上方时，如图E ，
1
∵AC=AE ，∠CAE =20°，
1 1
1
∴∠AE C= (180°−20° )=80°，
1 2
②当点E在点A下方时，如图E ，
2
∵AC=AE ，∠CAE =20°，
1 1
1
∴∠AE C= ∠CAE =10°，
2 2 1
故答案为：10°或80°．
