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第 19 章 二次根式
19.1 二次根式
第 2 课时 二次根式的性质
【素养目标】
1. 理 解 二 次 根 式 的 三 个 性 质 √a ≥ 0(a≥0),(√a) 2 = a (a≥0) 和
√a2 = a(a≥0) .会运用二次根式的性质进行有关计算和化简。(重点)
2. 通过对 √a2 的化简，了解分类讨论的思想；利用乘方与开方互为逆运算推
导结论 √a2 = a(a ≥ 0) , 感受数学知识的内在联系。(难点)
3. 经历对二次根式性质的探究活动，感受数学的探索性和创造性，体验发现的
快乐。
【情境导入】
数字猜猜猜
游戏规则：老师在心里想一个二次根式，比如√x ，提示信息：这个二次根式
的值是一个整数，大家来猜一猜 x 可能是哪些数。
如： 这个二次根式的值是 2 , 同学们猜 x 是多少？
如： 这个二次根式的值是 4 , 同学们猜 x 是多少？
如： 这个二次根式的值是 0.3 , 同学们猜 x 是多少？
【合作探究】
探究点1: √a ≥ 0(a ≥ 0)
问题1: 当 a ≥ 0 时，√a 表示什么含义？其数值有什么特点？
【归纳小结】
二次根式的实质是表示一个非负数(或式)的算术平方根。对于任意一个二次
根式 √a ，我们知道：
(1) a 为被开方数或式，为保证其有意义，可知 a ≥ 0 ；
(2) √a 表示一个数或式的算术平方根，可知 √a ≥ 0 .
二次根式 √a 的双重非负性
二次根式的被开方数或式非负，二次根式的值非负
第 1 页问题2: 我们还学过哪些非负数？
【典例精析】
例1 已知实数 m , n 满足 |m−2|+√n−1 = 0 , 则m =_____，n = _____.
【练一练】
1. 已知 (x−2)+√y+1 = 0 ，则 xy 的值为________.
2. 若 √x−3 = 3− x ，则 x 的值为_________.
探究点2: (√a) 2 = a(a ≥ 0)
问题3: 根据算术平方根的意义填空：
2
(√3) 2=_____;(√0.5) 2=_____; (√1 ) =_____;(√0 ) 2=_____.
3
【知识要点】
一般地， (√a) 2 = a(a ≥ 0) .
注意：不要忽略 a ≥ 0 这一限制条件。 这是使二次根式 √a 有意义的前提
条件。 a 可以是数，也可以是式。
例2 计算：
(1) (√1.5) 2 ; (2) (2√5) 2 .
【练一练】
3. 计算：
2
(1) (√5) 2 ; (2) (2√2) 2 . (3)(−2√3) 2 : (4) ( − √3) ⋅
2
探究点3: √a2 = a(a ≥ 0)
问题4: 填空：
第 2 页√22=______;√0.12=______;
√ (2) 2
=______;√02=______.
3
【拓展】当 a > 0 时， √a2 = _____ ；当a = 0时，√a2 =_____.
【知识要点】
一般地，根据算术平方根的意义：
√a2 = a(a ≥ 0).
即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身。
【思考】
当a为任意实数时，√a2 都有意义。如果上式中的a为负实数，那么上式还
成立吗？为什么？
问题5: 填空：
√(−2) 2=________ ;√(−0.1) 2=________ ; √ ( − 2) 2 =________ .
3
【知识要点】
问题6: 如果 a 是任意实数，那么如何化简 √a2 ?
{
________ (a ≥ 0),
√a2 = |a| = ________ (a = 0),
_________ (a < 0).
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。
例3 化简：
(1)√16 ; (2) √(−5) 2 .
【练一练】
4. 计算：
(1) ; (2) .
√64 −√(−1.2) 2 (3)√3−2; (4)√(3.14− π) 2.
第 3 页例 4 实 数 a、b 在 数 轴 上 的 对 应 点 如 图 所 示 ， 请 你 化 简 ：
√a2 − √b2 +√(a−b) 2 .
例5 已知 a、b、c 是 △ABC 的三边长，化简：
√(a+b+c) 2 − √(b+c−a) 2 + √(c−b−a) 2.
议一议：如何区别 (√a ) 2 与√a2 ?
(√a) 2 √a2
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
意义
第 4 页当堂反馈
1. 化简 的结果是( )
√(−3) 2
A. -3 B. 3 C. ±3 D. 9
2. 用一个x的值说明“ √x2 = x ”是错误的，则x的值可以是( )
A. 2 B. 0 C. -1 D. 1
3. 若 |a−3|+√b+1 = 0 ，则 2a+b =_____ .
4. (1)若 ，则 的取值范围是 ;
√(4− m) 2= 4− m m _____
( 2 )若 √a2 = −a ，则a的可能取值为_____ (请写出一个符合条件的无理
数).
5. 计算：
(1) ; (2) √ 1 2 ; (3) (4) .
(2√5) 2 ( ) √10−4 √(3− π) 2
6
6. 已知实数a , b在数轴上的对应点如图所示， 化简： √(a−b) 2 −√(a+b) 2 .
第 5 页参考答案
探究点1: √a ≥ 0(a ≥ 0)
问题1: 当 a > 0 时， √a 表示 a 的算术平方根，因此 √a > 0 ;
当 a = 0 时， √a 表示 0 的算术平方根，因此 √a = 0 ; 所以当 a ≥ 0
时， √a≥0 , 即当 a 是非负数时， √a 也是非负数。
问题2: 答： 一个数的绝对值； 一个数的偶次幂。
例 1 分 析 ： |m−2| ≥ 0,√n−1 ≥ 0 ,∴m-2= 0, n = 1 .
∴ m = 2 , n = 1 .
【练一练】 1. 2 2. 3
探究点2: (√a) 2 = a(a ≥ 0)
问题3: 分析： √3 是 3 的算术平方根，根据算术平方根的意义，
√3 是一个平方等于3的非负数。 因此， (√3) 2=3 .
√1 1
同理， √0.5, ,√0 分别是 0.5, ,0 ，的算术平方根。
3 3
2
因此， (√3) 2=3,(√0.5) 2=0.5, (√1) = 1 ,(√0) 2=0 .
3 3
例2 解： (1) (√1.5) 2=1.5 . (2) (2√5) 2=22×(√5) 2=4×5=20 .
【练一练】
3. 解： (1) ; (2) .
(√5)
2=5
(2√2)
2=22×(√2) 2=4×2=8
(3) (−2√3) 2=(−2) 2×(√3) 2=4×3=12 . (4) ( − √3) 2 = (−√3) 2 = 3 .
2 22 4
探究点3:
√a2 = a(a ≥ 0)
问题4: √ 2 2 2
√22= 2;√0.12 = 0.1; ( ) = ; √02 = 0.
3 3
【拓展】当 a > 0 时， √a2 = a ；当a = 0时，√a2 = 0.
第 6 页问题5：填空： √ 2 2
√(−2) 2 = 2; √(−0.1) 2=0.1; ( − ) =3.
3
猜想： 当 a < 0 时， √a2 = −a
证明： ，则 .
∵a < 0,∴− a > 0 √a2 = √(−a) 2 = −a
{
a (a ≥ 0),
问题6: √a2 = |a| = 0 (a = 0),
−a (a < 0).
例3 解： (1)√16=√42=4 ;(2) √(−5) 2=√52=5 .
【练一练】
4. 解： (1) √64=√82=8 ;(2) −√(−1.2) 2 = −√1.222 = −1.2 ;
(3) √ 3−2 = √(3−1) 2 = 3−1 = 1 ;
3
(4) .
√(3.14− π) 2 = √(π−3.14) 2 = π−3.14
例4 解： 由数轴可知 a < 0,b > 0, a−b < 0 ,
∴ 原式 = |a|−|b|+|a−b|= −a−b−(a−b) = −2a.
例 5
√(a+b+c) 2 −√(b+c−a) 2+√(c−b−a) 2 = a+b+c−b−c+a+b+a−c = 3a+b−c.
议一议：
(√a) 2 √a2
从运算顺序看 先开方，后平方 先平方， 后开方
从取值范围看 a≥0 a 取任何实数
从运算结果看 a | a |
意义 表示一个非负数 a 的算术 表示一个实数 a 的平方的算
平方根的平方 术平方根
当堂反馈
1. B.
2. C.
3. 5.
4. (1) m ≤ 4 ; (2) — √3 (答案不唯一)
1 1
5. (1) 原式 =20 . (2)原式 = . (3)原式 = . (4) 原式 = π−3 .
6 100
6. 解： 由数轴可得a−b > 0,a+b < 0 ，故原式 = a−b+a+b = 2a .
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