文档内容
第 20 章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第 1 课时 勾股定理
【素养目标】
1. 了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补
证明勾股定理.(重点)
2. 掌握勾股定理，并能应用它进行简单的计算.(重点)
3.通 过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养动手实践和创新能力.(难点)
【复习导入】
思考：直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、
其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？
【合作探究】
探究点1：勾股定理的认识与证明
在《周牌算经》的开篇，商高(约公元前 11 世纪)构造了一个勾、股、弦分
别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩其长二十有五”，意指分别以勾、
股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积。
商高所指的面积关系可以用图形表示，如图，红色直角三角形的三边长分
别为 3, 4, 5, 分别以这三边为边向外作正方形，
所得正方形的面积分别为_________，_________，
且它们的数量关系是__________________，
从边的角度看，
这个直角三角形的三边满足：
____________________________________________.
第 1 页问题1：其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
问 题 2: (1) 如 图 ， 每 个 小 方 格 的 面 积 均 为 1, 求 正 方 形
A ,B ,C ,A ,B ,C ,A ,B ,C 的面积。
1 1 1 2 2 2 3 3 3
这两幅图中 A , B 的面积都好求，该怎样求 C 的面积呢？
方法一：分割为四个直角三角形和一个小正方形。
方法二：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积。
方法三：将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色(或绿色)可拼成一个
小正方形。
第 2 页(2) 它们之间的面积有什么关系？
(3) 以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形， 类似地作出三个正方
形， 这三个正方形的面积有什么关系？ 由此，你能得出关于直角三角形三边
关系的猜想吗？
【归纳总结】
可以发现， 以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和， 等于以
斜边为边的正方形的面积。 由此我们猜想：
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a , b , 斜边长为 c ，
那么 a2 + b2 = c2 .
证法 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图， 再用所拼的图形证明命题吧。
【典例精析】
例1 请你补全下列证明勾股定理的一种方法。
已知：在△ABC中，∠ACB = 90∘，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 的对边分别为
a,b,c . 求证：a2 + b2 = c2 .
证明： 整个图形可以看作是边长为 ______ 的大正方形，
它的面积为 ______ ；也可以看作由四个全等的直角三
角
形和一个边长为 ______ 的小正方形组成，
其面积为 ____________ .
所以可以得到等式： ________________________ .
第 3 页化简，得 __________________ .
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为 a , b ，
斜边长为 c ，那么 a2 + b2 = c2 .
几何语言：
在Rt Δ ABC 中，∠C = 90∘ ,
∴ a2 + b2 = c2 .
公式变形：
a = √c2 −b2 , b = √c2 −a2 , c = √a2+b2.
2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是
以此图为原型设计的。在西方，人们称勾股定理为毕达
哥拉斯定理。
探究点2：利用勾股定理进行计算
例2 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长。
【练一练】
1. 求下列图中未知数 x , y 的值：
第 4 页【练一练】
2.在 Rt △ABC 中， ∠C = 90∘ .
(1) 若 a:b = 1:2 ， c = 5 ，求 a ；
(2) 若 b = 15 ， ∠A = 30∘ ，求 a ，c .
3.在Rt △ABC 中，AB = 4,AC = 3 ，求 BC 的长。
第 5 页当堂反馈
1. 在 △ABC 中， ∠C = 90∘ ，AB = 15 ，BC = 9 ，则 AC 的长为 ( )
A. 10 B. 12 C. 13 D. 24
2. 长方形的相邻两边长分别是3和5，则它的对角线长是( )
A. 6 B. 7 C. √34 D. 8
3. 如图，在Rt △ABC 中， ∠C = 90∘ .
(1)若 a = 3 , b = 4 ，则 c =_____；
(2)若 a = 8, c = 17 ，则 b = _____；
(3)若 a = b = 1 ，则 c = _____.
4. [教材变式]如图，以 Rt △ABC 的三边 为 边 ，
分 别 向 外 作 正 方 形 ， 它 们 的 面 积 分 别 为 S ， S ， S ， 若
1 2 3
S = 4 , S = 9 ，则 S = _______ .
2 3 1
5. 如图是由四个全等的直角三角形拼接而成的一个正方形，其中直角三角形的
两条直角边长分别为 a , b , 斜边长为 c , a > b . 利用等面积法验证勾
股定理。
6. 求图中的Rt △ABC 的面积。
第 6 页参考答案
探究点1：勾股定理的认识与证明
1
例1 证明： c c2 ; b−a ， 4× ab + (b−a) 2 .
2
1
4× ab+(b−a) 2 = c2 a2+b2 = c2 .
2
探究点2：利用勾股定理进行计算
例2 解：(1)在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AB2 = AC2+BC2 = 82+62 = 100 ，所以 AB = 10 .
(2) 在 Rt △DEF 中，根据勾股定理， DE2+EF2 = DF2 ，
从而 DE2 = DF2 −EF2 = 172 −152 = 64 ，所以 DE = 8 .
【练一练】
1. 左图： 解： 由勾股定理可得 81+144 = x2 , 解得 x = 15 .
右图 解： 由勾股定理可得y2+144 = 169， 解得 y = 5 .
2. 解： (1) 设 a = x , b = 2x ，根据勾股定理建立方程得
x2+(2x) 2 = 52 ，解得 x = √5 , ∴a = √5 .
(2) ∵∠C = 90∘, ∠A = 30∘, ∴c = 2a . 因此设 a = x,c = 2x ，根
据勾股定理建立
方程得 (2x) 2 − x2 =152 ，解得 x = 5√3.∴ a = 5√3,c = 10√3 .
3. 解： 本题斜边不确定， 需分类讨论：
当 BC 为斜边时，如图①, BC = √42 −32 = √7 ;
当 BC 为斜边时，如图②, BC = √42+32 = 5 .
当堂反馈
1. B. 2. C.
3. (1) 5 ; (2) 15 ; (3) √2 . 4. 13 .
1
5. 解∵S = c2,S = 4S +S = 4× ab+(a−b) 2,
大正方形 大正方形 小三角形 小正方形 2
1
∴c2 = 4× ab+(a−b) 2 .整理，得 2ab+a2 −2ab+b2 = c2 . ∴ c2 = a2+b2
2
.
5
6. 解：在Rt △ABC 中，由勾股定理得 (x+4) 2 = 36+x2 , 解得 x = .
2
第 7 页1 5
所以 S = ×6× = 7.5 .
△ABC 2 2
第 8 页
