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第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第1课时 勾股定理
教学设计
课题 20.1第1课时 勾股定理 授课人
1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定
理.
教学目标 2.会用勾股定理进行简单的计算.
3.经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展合情合理的推理能力
问题解决.
教学重点 掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.
教学难点 了解利用拼图验证勾股定理的方法.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
新课导入 直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一 通过回顾
个角是直角、其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们 旧知为学
之间有什么特殊关系呢？ 习新知做
好准备.
在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一
个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共
长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰
好等于以弦为边的正方形的面积.
商高所指的面积关系可以用图形表
示.如图，红色直角三角形的边长分别为
3，4，5，分别以这三边为边向外作正方
形，所得正方形的面积分别为 9，16，
25，且 9+16=25.从边的角度看，这个直
角三角形的三边满足：
两条直角边长的平方和等于斜边长的平
方.
其他直角三角形的三边是否也满足
上述数量关系？
探究新知 1.认识勾股定理 在本环节
引导学生
1.如图，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A，B，C的面积
进行尝试
之间有什么关系？D，E，F呢？
性学习，
充分相信
学生的能力，学生
在尝试活
动中自己
解决教师
提出的一
些问题，
充分发挥
学生的主
体地位，
帮助学生
观察：（数格子法） 提升分析
推理能力
正方形A中含有 9 个小正方形，
和归纳总
即A的面积是 9 ． 结能力.
同时渗透
正方形B中含有 9 个小正方形，
从特殊到
即B的面积是 9 ． 一般的数
学思想，
正方形C中含有 1 8 个小正方形，
为学生提
即C的面积是 1 8 ． 供参与数
学活动的
9＋9＝18，满足两直角边的平方和等于斜边的平方．
时间和空
正方形D中含有 4 个小正方形， 间，培养
学生探索
即D的面积是 4 ．
问题和类
正方形E中含有 4 个小正方形， 比迁移的
能力.
即E的面积是 4 ．
正方形F中含有 8 个小正方形，
即F的面积是 8 ．
4＋4＝8，满足两直角边的平方和等于斜边的平方．
2.对于下图中的直角三角形，是否还满足前面所猜想的数量关
系？你又是如何计算的呢？
正方形C的面积可以怎么计算呢？
提示：以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形
的面积减去4个直角三角形的面积.
方法一：分“割”成若干个直角边为整数的三角
形
S ＝1×4×3×4＋1×1＝25
C
2
方法二：
把C“补” 成边长为7的正方形
S ＝7×7－1×4×3×4＝25
C
2
观察：
正方形A中含有 1 6 个小正方形，
即A的面积是 1 6 ．
正方形B中含有 9 个小正方形，
即B的面积是 9 ．
正方形C中含有 2 5 个小正方形，
即C的面积是 2 5 ．
16＋9＝25，满足两直角边的平方和等于斜边
的平方．
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长
分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝
c2．
我国古代把直角三角形中
较短的直角边称为勾，
较长的直角边称为股，
斜边称为弦，
“勾股定理”因此而得名．
（在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理）
证明勾股定理的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽的证
法.
“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽
在为《周髀算经》作注时给出的，右图是
弦图的示意图．
弦图由四个全等的直角三角形与一个小正
方形组成，恰好拼成一个大正方形，尝试
验证：a2＋b2＝c2．
尝试验证：a2＋b2＝c2
证明：S ＝S ＋4S
大正方形 小正方形 直角三角形ab
c2 ＝(b－a)2＋4· ．
2
化简得：c2 ＝a2＋b2．
这就证明了勾股定理．
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形．与上面
的方法类似，根据这一图形，尝试证明勾股定理．
证明：S ＝S ＋4S
大正方形 小正方形 直角三角形
ab
(b＋a)2 ＝ c2＋4· ．
2
化简得：c2 ＝a2＋b2．
2.利用勾股定理进行计算
（链接例1、例2）
典例精析 【例1（教材P25例题）】 如图，根据所给条件分别求两个直角 通过例题
三角形中未知边的长. 讲解，加
深学生对
勾股定理
的理解，
并学会应
用.
【解】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100，所以AB=10.
（2）在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2＋EF2＝DF2，从而
DE2＝DF2-EF2＝172＋152＝64，所以DE=8.
【方法总结】首先分清斜边和直角边，然后利用“直角三角形两
直角边的平方和等于斜边的平方”即可求出未知边的长．
【例2】在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;
（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
【解】（1）设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得
x2+(2x)2=52，解得x=√5，∴a=√5.
(2)∵b=15，∠A=30°,∴c=2a.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得
(2x)2-x2=152，解得x=5√3，∴a=5√3，c=10√3.
【方法总结】通过三个直角三角形，明确已知的正方形边长和未
知的正方形边长之间的关系，从而得到所求正方形的边长，即可得到所求正方形的面积．
随堂检测 1.下列说法中,正确的是 （ C ） 通过设置
随 堂 检
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
测，及时
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 获知学生
对所学知
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
识的掌握
情况，明
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
确哪些学
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 3 6 c m 2 . 生需要在
课后加强
辅导，达
到全面提
高 的 目
的.
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c= 1 7 .
（2）若c=13，b=12，则a= 5 .
4.若直角三角形中，有两边长是 5和7，则第三边长的平方为
7 4 或 2 4 .
5.求斜边长17 cm，一条直角边长15 cm的直角三角形的面积．
【解】∵三角形是直角三角形，
∴BC2 ＝AB2－AC2
＝172－152
＝64，
∴BC＝8．
∴S ＝1×AC×BC＝1×15×8＝60
△ABC
2 2
（cm2）．
6．如图，求等腰△ABC的面积．
【解】作AD⊥BC.
∵△ABC是等腰三角形，
∴BD＝DC＝3 cm，
在直角三角形 ABD 中，AD2＝
AB2－BD2＝16，
∴AD＝4 cm．
∴S ＝1×AD×BC＝1×4×6＝12（cm2）．
△ABC
2 2
课堂小结 （1）本节课你有哪些收获？（2）还有没解决的问题吗？ 巩固所学
知识，加深对本节
知识的理
解.
作业布置
板书设计 20.1第1课时 勾股定理
1.认识勾股定理
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
a2＋b2＝c2．
2.利用勾股定理进行计算
教学反思
