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20.1 勾股定理及其应用
第1课时 勾股定理
1.了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的
截、割、补证明勾股定理.
2.描述勾股定理，并能应用它进行简单的计算.
3.通过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养学生的动手实践
和创新能力.
重点：运用割补、拼图的方法证明勾股定理的正确性，并能进行简
单计算.
难点：“数形结合”思想方法的理解和应用.
知识链接：在八年级上学期我们学习了三角形，回忆一下相关知识.
创设情境——见配套课件
探究点一：勾股定理的认识与证明
在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个
勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二
十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于
以弦为边的正方形的面积.
商高所指的面积关系可以用图形表示，如图，直角三角形的三
边长分别为3，4，5，分別以这三边为边向外作正方形，所得正方
形的面积分别为9，16，25，且9＋16＝25.从边的角度看，这个直
角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.问题1：其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
满足
问题2：（教材P23探究）
（1）如图，每个小方格的面积均为1，求正方形A ，B ，C ，A ，
1 1 1 2
B ，A ，B ，C 的面积.
2 3 3 3
提示：以直角三角形的斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形
的面积减去4个直角三角形的面积.
A 的面积＝1，B 的面积＝4，C 的面积＝5；
1 1 1
A 的面积＝4，B 的面积＝9，C 的面积＝13；
2 2 2
A 的面积＝9，B 的面积＝25，C 的面积＝34.
3 3 3
（2）它们的面积之间有什么关系？
A 的面积＋B 的面积＝C 的面积；
1 1 1
A 的面积＋B 的面积＝C 的面积；
2 2 2
A 的面积＋B 的面积＝C 的面积.
3 3 3
（3）以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，然后类似
地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能
得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？
归纳总结：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为
c，那么a2＋b2＝c2.
阅读教材P24，25，了解赵爽是如何利用拼图的方法来证明上述命
题的，我国把这个命题称为 勾股定理 ，感兴趣的同学可以自己
用拼图试一试.
请你补全下列证明勾股定理的一种方法.已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边
分别为a，b，c.
求证：a2＋b2＝c2.
证明：整个图形可以看作是边长为 c 的大正方形，它的面积为
c 2 ；也可以看作由四个全等的直角三角形和一个边长为 b － a
1
的小正方形组成，其面积为 4 × ab ＋ （ b － a ） 2 .所以可以得到
2
1
等式： 4 × ab ＋ （ b － a ） 2 ＝ c 2 .化简，得 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 .
2
探究点二：利用勾股定理进行计算
（教材P25例1）如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中
未知边的长.
解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝
100，所以AB＝10.
（2）在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2＋EF2＝DF2，从而DE2＝
DF2－EF2＝172－152＝64，所以DE＝8.
【对应训练】教材P25练习.
1.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，则AC的长为（ B
）
A.10 B.12 C.13 D.24
2.长方形的相邻两边长分别是3和5，则它的对角线长是（ C ）A.6 B.7 C.√34 D.8
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）若a＝3，b＝4，则c＝ 5 ；（2）若a＝8，c＝17，则b＝
15 ；（3）若a＝b＝1，则c＝ √2 .
第3题图 第4题图
4.[教材变式]如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，
它们的面积分别为S ，S ，S ，若S ＝4，S ＝9，则S ＝ 1 3 .
1 2 3 2 3 1
5.如图是由四个全等的直角三角形拼接而成的一个正方形，其中直
角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，a＞b.利用等面
积法验证勾股定理.
1
解：∵S ＝c2，S ＝4S ＋S ＝4× ab＋（a－b）
大正方形 大正方形 小三角形 小正方形 2
2，
1
∴c2＝4× ab＋（a－b）2.
2
整理，得2ab＋a2－2ab＋b2＝c2.∴c2＝a2＋b2.
6.求图中的Rt△ABC的面积.
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得（x＋4）2＝36＋x2，
5 1 5
解得x＝ .所以S ＝ ×6× ＝7.5.
2 △ABC 2 2（其他课堂拓展题，见配套PPT）
