24.2第1课时方差_初中数学人教版_八年级数学下册_保存转存之后查看(1)_2026春季新版-持续更新中_第三套-东方_01.人教数学8下第4套课件+教案+导学案26春已更完

第二十四章 数据的分析 24.2 数据的离散程度 第1课时 方差 【素养目标】 1.理解离差平方和与方差概念的产生和形成的过程，体会方差在实际生活中的应用价值. 2.会求一组数据的方差，会根据计算结果比较两组数据的波动大小. 3.感悟到方差是一种描述数据离散程度的统计量，能根据方差的大小对实际问题做出评 判. 重点：对离差平方和与方差意义的理解及应用，用样本方差估计总体方差. 难点：运用方差知识解决实际问题. 【情境导入】 甲，乙两名射击选手的测试成绩统计如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 10 6 10 6 8 现要从甲，乙两名射击选手中挑选一名射击选手参加比赛.若你是教练，你认为 挑选哪一位比较合适？ 【合作探究】 探究点：方差 第 1 页问题 某农业农科院专家为某地选择合适的甜玉米种子. 选择种子时，甜玉米的产量和 产量的稳定性是专家所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家 各用10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t） 如下表： 根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？ 思考：如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？ 概念引入：一般地，有n个数据x ，x ，…，x ，用x表示它们的平均数，我们把x－x 1 2 n i （i＝1，2，…，n）叫作x关于平均数x的离差或偏差. i 思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？ 概念引入：我们把（x －x）2＋（x －x）2＋…＋（x －x）2叫作这个数据关于平均数 1 2 n 的 离 差 平 方 和 ， 记 作 “ d2”. 把 离 差 平 方 和 的 平 均 数 第 2 页（x －x）2＋（x －x）2＋…＋（x －x）2 1 2 n 叫作这组数据的方差.记作“s2”.方差 n 反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画 数据离散程度最常用的统计量.方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离 散程度越小. 思考：用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？ [典例精析] 例1 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩了（单位：环）如表所示. 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 哪名射击运动员的发挥更稳定？ [练一练] 1.用条形图表示下列各组数据，计算并比较它们的平 均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的. （1）6 6 6 6 6 6； （2）5 5 6 6 6 7 7； （3）3 3 4 6 8 9 9； （4）3 3 3 6 9 9 9. [知识拓展] 若数据 x 、x 、…、x 的平均数为 x ，方差为 s2，则 1 2 n (1) 数据 x －3，x －3，x －3，…，x －3，平均数为 ，方差为 . 1 2 3 n 第 3 页(2) 数据 x + 3，x + 3，x + 3，…，x + 3，平均数为 ，方差为 . 1 2 3 n (3) 数据 3x ，3x ，3x ，…，3x ， 平均数为 ，方差为 . 1 2 3 n (4) 数据 2x －3，2x －3，2x －3 ，…，2x －3，平均数为 ，方差为 1 2 3 n . [归纳总结] [练一练] 1. 在这次篮球联赛中，最后是九班和三班争夺这次篮球赛冠军，赛前两个班的拉拉队 都表演了啦啦操，参加表演的女同学的身高 (单位:cm) 分别是： 九班 163 163 165 165 165 166 166 167 三班 163 164 164 164 165 166 167 167 哪个班拉拉队女同学的身高更整齐? （1）你是如何理解“整齐”的？ （2）从数据上看，你是如何判断哪个队更整齐的？ [归纳总结] 求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法： 1.取一个适当的基准数 a 2.将原数据都减去 a，得到一组新数据 3.求新数据的方差 [练一练] 2. 若已知一组数据 x ，x ，…，x 的平均数为x，方差为 s ，那么，另一组数据 1 2 n 2 3x －2，3x －2，…，3x －2 的平均数为 ，方差为 . 1 2 n 当堂反馈 1.下列各组数据中方差最大的一组是（ ） A.6，6，6，6，6B.5，6，6，6，7 第 4 页C.4，5，6，7，8D.3，3，6，9，9 1 2.在方差计算公式s2＝ [（x －20）2＋（x －20）2＋…＋（x －20）2]中，数20表示 10 1 2 10 这组数据的 . 3.定义：一组数据x ，x ，…，x 的平均数为x，那么称这n个数据与平均数的差的平方 1 2 n 和叫作这n个数据的离差平方和，记作d2＝（x －x）2＋（x －x）2＋…＋（x －x）2. 1 2 n 数据1，2，3，4，5的离差平方和为 . 4.已知一组数据10，8，9，x，5的众数是8，那么这组数据的方差是 . 5.甲、乙两人进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统计如下： 命中环数/环 7 8 9 10 甲命中的频数/次 2 2 0 1 乙命中的频数/次 1 3 1 0 （1）甲、乙两人射击成绩的平均数、方差分别是多少？ （2）谁的射击成绩波动较小？ 参考答案 【情境导入】 x ＝8，x ＝8. 甲 乙 第 5 页（7－8）2＋（8－8）2×3＋（9－8）2 s2 ＝ ＝0.4， 甲 5 （10－8）2×2＋（6－8）2×2＋（8－8）2 s2 ＝ ＝3.2. 乙 5 由s2 ＞s2 可知，选择甲更合适. 甲 乙 【合作探究】 探究点：方差 问题分析：（1）计算出两组数的平均数，你有什么发现？ x ＝7.537，x ＝7.515， 甲 乙 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大，由此估计出这个地区种植 这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大. （2）画出甲、乙两种甜玉米的产量统计图. （3）观察（2）题图，你发现了什么？ 比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量 较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此， 从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好. 思考：当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中 时，数据与平均数的差异相对较小.反过来也成立.这样，为了全面反映一组数据的离散 程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画. 思考：用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由（x －x）＋（x －x）＋…＋ 1 2 （x －x）＝x ＋x ＋…＋x －nx＝0可知，一组数据的离差和总是 0，因此平均离差无 n 1 2 n 法刻画一组数据与平均数的差异.为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先 对离差进行平方，然后求和. 解：利用公式求出甲、乙两种甜玉米产量的两组数据的方差： 1 s2 ＝ ×[（7.65－7.537）2＋…＋（7.41－7.537）2]≈0.010. 甲 10 1 s2 ＝ ×[（7.55－7.515）2＋（7.56－7.515）2＋…＋（7.49－7.515）2]≈0.002. 乙 10 由s2 ＞s2 ，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定 甲 乙 第 6 页性较好.∴这个地区比较适合种植乙种甜玉米. 思考：离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.在比较两组数据的离散程度时，离差 平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制. [典例精析]例1 9+7+…+10 9+10+…+9 解：两名运动员射击成绩的平均数分别为x ＝ ＝8.7，x ＝ ＝ 甲 10 乙 10 8.6. 两名运动员射击成绩的方差分别为 （9－8.7）2＋（7－8.7）2＋…＋（10－8.7）2 s2 ＝ ＝2.41， 甲 10 （9－8.6）2＋（10－8.6）2＋…＋（9－8.6）2 s2 ＝ ＝1.04. 乙 10 由s2 ＞s2 可知，乙射击运动员的发挥更稳定. 甲 乙 [练一练] 4 1.答：(1)平均数：6，方差：0；(2)平均数：6；方差： 7 44 54 (3)平均数：6，方差： ；(4)平均数：6，方差： . 7 7 [知识拓展] 分析：(1) 平均数： =(xxx...x)n3x3 123 n 2 2 2 方差：   (x 1 3)(x3)    (x 2 3)(x3)  ...  (x n 3)(x3)  n 2 2 2 x3x3x3x3...(x3x3) 1 2  n  = n =(xx)2(xx)2...(xx)2ns2 1 2 n 同理：(2) 平均数：x + 3； 方差：s2 . (3) 平均数：3x3x3x...3x3(xxx...x) 123 n123 n=3x n n (3x3x)2(3x3x)2...(3x3x)2 方差： 1 2 n n 32(xx)232(xx)2...32(xx)2 1 2 n n (xx)2(xx)2...(xx)2 91 2 n 9s2. n 同理：(4) 平均数：3x － 3 ； 方差：4s2. [归纳总结] 第 7 页[练一练] 1. 解：取 a = 165，将所有数据都减去 165，得 九班新数据为： －2，－2， 0， 0，0，1，1，2； 三班新数据为： －2，－1，－1，－1，0，1，2，2. 求两组新数据的方差： [练一练] 2.3x－2 9s2 当堂反馈 1.D 2. 平均数 3. 1 0 4. 2 . 8 1 1 5.解：（1）x ＝ ×（7×2＋8×2＋10）＝8（环），x ＝ ×（7＋8×3＋9）＝8（环）； 甲 5 乙 5 1 1 s2 ＝ ×[2×（7－8）2＋2×（8－8）2＋（10－8）2]＝1.2，s2 ＝ ×[（7－8）2＋3×（8－ 甲 5 乙 5 8）2＋（9－8）2]＝0.4， ∴甲射击成绩的平均数是8，方差是1.2，乙射击成绩的平均数是8，方差是0.4. （2）∵x ＝x ，s2 ＞s2 ，∴乙的射击成绩波动较小. 甲 乙 甲 乙 第 8 页