文档内容
21.3.2 菱形（第 2 课时）教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学习菱形概念及性质的基础上，通过类比平行四边形和矩形的判定定理的探究过程，探索
和证明菱形的两个判定定理。
2. 内容分析
菱形的判定是在学习菱形性质、平行四边形和矩形判定的基础上展开的，是特殊平行四边形判定体系
的重要组成部分，承接“性质到判定”的几何研究逻辑，也为后续研究正方形的判定奠定基础。本节课以
类比平行四边形、矩形的判定探究思路为核心，从菱形性质的逆命题出发，探索并证明菱形的判定定理，
体现“性质与判定互逆”的几何研究规律，整个过程贯穿类比、推理的数学思想，能让学生进一步掌握几
何图形判定的一般方法。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：菱形判定的探索、证明和应用。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想，体会研究图形判定的一般思路，发展推理能力。
（2）掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算，发
展应用意识。
2. 目标解析
（1）学生能主动类比平行四边形和矩形的判定探究过程，从菱形性质的逆命题出发提出判定猜想，
通过逻辑推理完成猜想证明，理解几何图形“性质→逆命题→判定定理”的研究思路，渗透类比思想，发
展合情推理与演绎推理能力。
（2）学生能熟练掌握菱形的三种判定方法，能准确书写各判定定理的符号语言，能根据不同已知条
件选择恰当的判定方法进行推理、证明和计算，提升几何知识的综合应用意识。
三、教学问题诊断分析
学生可能出现的问题：
1.无法准确区分菱形判定的适用条件，易混淆“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”和“对角线互
相垂直且平分的四边形是菱形”，忽略判定定理的前提条件。
2.解题时不能根据已知条件合理选择判定方法，如已知四边形四边关系时误用对角线相关判定，增加
解题复杂度。
应对策略：1.采用表格梳理菱形三种判定方法的条件、符号语言和适用场景，对比“对角线互相垂直的平行四边
形” 与“对角线互相垂直且平分的四边形”的差异，通过即时提问强化条件记忆。
2.设计分层例题和练习，针对“已知平行四边形+邻边相等/对角线垂直”“已知四边形四边相等”等
不同条件，引导学生分析条件特征，选择对应判定方法，总结解题思路。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能选择适当的判定定理进行推理和计算。
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题1 满足什么条件的四边形是菱形？
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.（定义既是性质，又是判定.）
问题2 还有其他判定菱形的方法吗？你能说说菱形的性质定理的逆命题吗？
四条边相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.→对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
设计意图：通过复习菱形的定义，唤醒学生已有知识；引导学生思考菱形性质的逆命题，建立性质与
判定的思维关联；同时类比平行四边形、矩形的判定研究思路，让学生明确本节课的探究方向，激发探究
兴趣。
（二）合作探究
猜想1 四条边相等的四边形是菱形.
已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，
A
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=CD，BC=DA，
B D
∴四边形ABCD是平行四边形.
C
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
菱形的判定定理1 四条边相等的四边形是菱形.
符号语言
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形.
猜想2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在 ▱ABCD中，AC⊥BD，
求证：四边形ABCD是菱形.
A
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
B D
O
C∴AC平分BD，
又∵AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
追问 你还有其他证明方法吗？
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，
∵AC⊥BD，∴∠AOB=∠AOD=90°，
又∵AO=AO，
∴△AOB≌△AOD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
菱形的判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
符号语言
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
设计意图：从菱形性质的逆命题出发提出猜想，符合几何判定的研究逻辑；通过严格的几何证明推导
判定定理，培养学生的演绎推理能力；追问多种证明方法，鼓励学生发散思维；规范书写判定定理的符号
语言，培养学生的几何表达能力；让学生经历完整的探究过程，掌握几何判定定理的研究方法。
（三）典例分析
例4 如图，在 ▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形
AFCE是菱形.
分析：已知AC⊥EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形AFCE是平行四
边形.由题意可知AO=CO，还需证明EO=FO.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE//CF.
∴ ∠1=∠2.
A E D
又∠AOE=∠COF，AO=CO， 1
∴ △AOE≌△COF. O
2
∴EO=FO. B F C
∴ 四边形AFCE是平行四边形.又AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形.
追问 你能利用“四条边相等的四边形是菱形”证明这个例题吗?
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE//CF，∴ ∠1=∠2.
A E D
∵EF垂直平分AC， 1
3
∴AE=CE，AF=CF， O
2
∴∠2=∠3，∴∠1=∠3. B F C
由“等角的余角相等”得：
∠AEO=AFO，
∴AE=AF，∴AE=CE=AF=CF，
∴四边形AFCE是菱形.
设计意图：以平行四边形为背景的典例，综合考查平行四边形的性质和菱形的判定，让学生掌握“先
证平行四边形，再利用对角线垂直判定菱形”的核心思路；追问用“四条边相等的四边形是菱形”证明，
让学生体会不同判定方法的应用，培养一题多解的能力。
（四）巩固练习
1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O且互相垂直平分.求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵对角线AC，BD互相平分，
D
∴四边形ABCD是平行四边形，
A C
∵对角线AC，BD互相垂直， O
∴四边形ABCD是菱形.
B
2.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？
解：四边形ABCD是菱形，理由如下：
∵纸条的对边平行，
∴四边形ABCD是平行四边形.
作AB边上的高h，作AD边上的高h，
1 2
∵两张纸条等宽，∴h=h.
1 2
∵S =AB·h=AD·h，∴AB=AD，
▱ABCD 1 2
∴四边形ABCD是菱形.
3.一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形，使∠A是菱形的一个内角，和点A相对的顶
点在边BC上，并说明所折图形是菱形的理由.作法：1.作∠BAC的平分线，交BC于点D；
2.作AD的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F；
3.将△ABC沿直线EF折叠即可得到菱形AEDF.
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AD，
∴∠3=∠4=90°，AE=DE，AF=DF.
又∵AO=AO，
∴△AOE≌△AOF.
∴AE=AF，∴AE=DE=AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形.
追问 你还有其他证明方法吗？
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AD，∴AE=DE，
∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AF//DE.
同理可证：AE//DF.
∴四边形AEDF是平行四边形.
又∵AE=DE，
∴四边形AEDF是菱形.
设计意图：三道练习题层层递进，基础证明题巩固对角线相关判定的应用，实际情境题让学生感受菱
形判定的实际应用，动手操作题融合角平分线、垂直平分线知识与菱形判定，培养学生的动手能力和知识
综合运用能力；追问其他证明方法，进一步拓展学生的思维，同时通过练习及时反馈学生的学习效果，便
于教师针对性点拨突破难点。
（五）归纳总结（六）感受中考
1．（2024年四川攀枝花）如图，四边形ABCD是平行四边形，给出下列四个条件：①AB=BC；②
AC=BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD．若添加其中一个条件，不能使四边形ABCD是菱形的为（ B ）
A．① B．② C．③ D．④
2．（2025年湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB=3，则四边形ABCD的
周长为（ C ）
A．6 B．9 C．12 D．18
3．（2024年湖北武汉）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位
长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；
④连接BC，CD，BD．若∠A=44°，则∠CBD的大小是（ C ）
A．64° B．66° C．68° D．70°
4．（2022年湖南郴州）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，连接
BF，FD，DE，EB．求证：四边形DEBF是菱形．
解：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，BD⊥AC，
又∵AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
又∵BD⊥AC，即BD⊥EF，
∴四边形DEBF是菱形．
5．（2025年西藏）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是BC的中点，且AC平分
∠DAE．
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)已知AB=3，AE=2，求线段AC的长．
（1）证明：∵点E是BC的中点，∴BC=2CE，
∵BC=2AD，∴CE=AD，
∵AD∥BC，∴四边形AECD为平行四边形，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACE，
∵AC平分∠DAE，∴∠DAC=∠EAC，
∴∠ACE=∠EAC，∴AE=CE，
∴平行四边形AECD为菱形；
（2）解：∵AE=2，
根据（1）可得CE=BE=AE=2，BC=4，
∴∠ACE=∠EAC，∠ABE=∠EAB，∵∠ACE+∠ABE+∠EAC+∠EAB=180°，
∴∠BAC=∠EAC+∠EAB=90°，
∵AB=3，
∴AC=√BC2 −AB2=√42 −32=√7．
设计意图：选取近年中考真题，涵盖判定方法辨析、基础计算、综合证明、几何计算等题型，让学生
感受菱形判定在中考中的考查形式和难度，增强中考备考意识；综合考查学生对菱形判定与性质的综合运
用能力，提升学生分析和解决中考型几何问题的能力，体会本节课知识的中考价值。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题21.3 第5，10题.
2.探究性作业：
如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向
无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2025次，点B的落点依次为B ，B ，B ，…，则B 的坐标为
1 2 3 2025
．
五、教学反思
