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第二十二章 函数
22.1 函数的概念
第2课时 函数的概念
【素养目标】
1.理解函数、自变量、函数值的概念.
2.会判断两个变量之间是否具有函数关系，联系求代数式的值的知识，探索求函数值的
方法.
3.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律，学会用含一个变量的代数式表示另一个
变量，体会“变化与对应”的思想.
重点：函数概念的理解及函数关系式的建立.
难点：对函数概念的理解.
【复习导入】
通过上节课的学习，这些量中，哪些是常量哪些是变量？这些变量之间有什么
关系呢？
思考: 1. 昨天问题 1 ~ 4 中是否各有两个变量?
2. 同一个问题中的变量之间有什么联系?
【合作探究】
探究点一：确定两个变量之间的关系
思考：教材第90页“思考”的4个问题，每个问题中都含有两个变量.那么，这两个变
量之间有着怎样的关系？如何表示这种关系？
归纳总结：上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量
就有唯一确定的值与其对应
第 1 页探究点二：自变量与函数
思考：（1）潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象，我国某港
口潮水的高度（简称潮高）在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量 t与h.
这两个变量之间有什么关系？
（2）某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表所示，存款期限与年利率分
别记作变量x和y.这两个变量之间有什么关系？
存款期限与年利率
存款期限x/月 3 6 12 24 36 60
年利率y/％ 1.15 1.35 1.45 1.65 1.95 2.00
概念引入：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x与y，并且对于x的每一个
确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如
果当x＝a时y＝b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.
练一练
1. 填表并回答问题：
x 1 4 9 16
y = ±2x
(1) 对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应吗？答： .
(2) y 是 x 的函数吗？为什么？
例1 下列关于变量 x ，y 的关系式：① y = 2x + 3； ② y = x2 + 3；③ y = 2| x
|；④ y2 - 3x = 10，其中表示 y 是 x 的函数关系的是 ．
第 2 页做一做
下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量.
(1) 改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化；
(2) 秀水村的耕地面积是 106 m2，这个村人均占有耕地面积 y (单位：m2) 随这个村
人数 n 的变化而变化；
(3) P 是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，它对应的实数为 y，y 随 x 的
变化而变化．
4x−2
例2 已知函数y＝
x+1
(1) 求当 x =2 ，3，-3 时，函数的值；
(2) 求当 x 取什么值时，函数的值为 0.
当堂反馈
1.下列几个式子，其中y是x的函数的是（ ）
A.y＝2x B.y2＝2xC.y＝±2x D.｜y｜＝2x
1
2.在函数关系式y＝ x2－1中，当自变量x＝2时，函数y的值是（ ）
2
A.－2 B.－1 C.1 D.2
3.[教材变式]下列各题中，哪些是函数关系，哪些不是函数关系？
（1）在一定的时间内，匀速运动所走的路程和速度；
（2）三角形的面积一定，它的一边的长和这边上的高；
（3）正方形的面积和梯形的面积；
（4）水管中水流的速度和水管的长度.
参考答案
【合作探究】
探究点一：确定两个变量之间的关系
思考：4个问题中都有两个变量相关，每当变量t，x，r，S取定一个值时，另一个变量
第 3 页s，y，S，h就有唯一确定的值与其对应.
1000
它们的关系式分别为：（1）s＝60t；（2）y＝40x；（3）S＝πr2；（4）h＝ .
S
探究点二：自变量与函数
思考：（1）对于t的每一个确定的值，h都有唯一确定的值与其对应.
（2）对于表中的每一个确定的存款期限x，都对应着一个确定的年利率y.
练一练1. 答：2 和－2 8 和－8 18 和－18 32 和－32
(1) 不是 (2) 不是，因为 y 的值不是唯一的.
例1 答：①②③
【做一做】
解：(1) S 是 x 的函数，其中 x 是自变量.
(2) y 是 n 的函数，其中 n 是自变量.
(3) y 不是 x 的函数.
4×2−2 5
例2 解：(1) 当 x = 2 时，y = = 2； 当 x = 3 时，y = ；
2+1 2
当 x = -3 时，y = 7.
4x−2 1 1
(2) 令 = 0，解得 x = ，即当 x = 时，y = 0.
x+1 2 2
当堂反馈
1. A
2. C
3.解：（1）是函数关系；（2）是函数关系；
（3）不是函数关系；（4）不是函数关系.
第 4 页
