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第二十三章 一次函数
23.4 实际问题与一次函数
第1课时 分段函数问题
【素养目标】
1.能根据实际问题中的文字信息或图象信息，建立分段函数模型.
2.能将简单的实际问题转化为数学问题，从而解决实际问题.
3.在应用一次函数解决问题的过程中，渗透数形结合的数学思想.
重点：根据题意列出一次函数解析式解决实际问题.
难点：分段函数的实际应用.
【复习导入】
思考：在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画，那如
何用一次函数解决实际问题呢？
探究：有一个容积为 2 升的圆柱形开口空瓶，小明以 0.8 升/秒的速度匀速向空瓶注
水，注满后停止，等 3 秒后，再以 1 升/秒的速度匀速倒空瓶中的水，设所用时间为
x秒，瓶内水的体积为 y 升，y 与 x 的函数关系图象如图所示，则图中
a＝ ；
b＝ ；
c＝ ；
【合作探究】
探究点一：分段函数的应用
问题1：该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？
分段函数：在一个变化过程中，函数 y 随自变量 x 变化的函数解析式有时要分成几
部分，这样在确定函数解析式或函数图象时，要根据自变量的取值范围分段描述，这
种函数通常称为分段函数.
问题2：该函数分成了几段？
问题3：怎样求该函数的解析式呢？
第 1 页[归纳总结]
对于分段函数，
一要注意自变量的取值范围，
二要注意分段讨论. 同时，在看图获取信息时，不仅要注意坐标轴所表示的量是什么，
还要抓住图中的一些关键点（起点、终点、拐点）所反映出来的信息.
[典例精析]
例1 某玉米种子的价格为40元/kg.若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一
次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打6折.
（1）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象；
分析：①填写下表：
购买种子数量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
付款金额/元 20 40 60 80 92 104 116 128 …
②写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象.
（2）一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？
【练一练】1.为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费
和污水处理费组成，每月用水不超过 16 m3 时，使用费为每立方米 1.3 元；超过
第 2 页16 m3 时，超过部分的使用费为每立方米 2.0 元；污水处理费为每立方米 1.2 元，设
一户每月用水 x m3，应缴水费为 y 元.
（1）写出 y 与 х 之间的函数表达式；
（2）画出上述函数的图象；
(3) 某两户某月用水量分别为 10 m3 和 20 m3 时，求这两户该月应缴的水费；
(4) 某一户某月缴水费 59.2 元，求该户这个月的用水量.
【方法归纳】 要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要
的条件，结合实际意义得到正确的结论，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的
含义，理解问题叙述的过程．
2.为了鼓励居民节约用电，某电力公司按月用电量分段收费，居民每月应缴电费 y 元
与月用电量 x kW·h 的函数图象是一条折线(如图所示). 根据图象解答下列问题：
(1)求出 y 与 x 之间的函数表达式；
(2)若某用户某月应缴电费 105 元，则该用户当月用了多少电？
由分段函数的图象确定函数解析式的方法：
①定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定函数的类型；
②设函数式：设出函数的解析式；
第 3 页③列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程(组)，求出该段内的解析式；
④下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.
当堂反馈
1.歇马杏的上市时间约为每年六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销往省外某地.某快递
公司的收费标准为：物品不超过 3kg需付13元，以后每增加 1kg（不足1kg按1kg
计）需增加托运费1.5元.直接写出歇马杏的托运量x（单位：kg）（x＞3）与托运费用
y（单位：元）的函数关系式为 .
2.共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3～10km的出行市场.图中反映某
共享电动车平台收费y（单位：元）与骑行时间x（单位：min）之间的函数关系，根
据图中的信息，某天王老师从家到学校一共骑行40分钟，则需要向平台付费 元.
3.某日，王爷爷准备了80kg苹果在市场上销售，在销售过程中，顾客均通过电子支付
的方式向王爷爷支付购买费用.他按市场价售出50kg苹果后，为早点收摊回家，他将剩
余苹果降价处理且全部售完.已知王爷爷手机电子钱包中的零钱总额 y（单位：元）
（含原有零钱）与售出水果的千克数x的关系如图所示，请结合图象回答问题：
（1）王爷爷的电子钱包中原有零钱 元；
（2）苹果降价前每千克 元，降价后每千克 元；
（3）请求出y关于x的函数解析式.
参考答案
【复习导入】
思考：
①将实际问题抽象为一次函数问题；
②根据条件求得一次函数的解析式；
③结合一次函数的图象和性质分析并解决问题.
第 4 页探究：2.5 5.5 7.5
【合作探究】
探究点一：分段函数的应用
问题1：既不是正比例也不是一次函数，这是分段函数.
问题2：3段
问题3：该函数分成了三段，所以应根据自变量的不同取值范围，求其对应的函数关系
的表达式.
解：当 0≤x≤2.5 时，可设此时函数解析式为 y = k x.
1
∵图象经过了 (2.5，2)，
∴代入可得 2 = k ×2.5，解得 k = 0.8.即 y = 0.8x.
1 1
当 2.5＜x≤5.5 时，y = 2.
当 5.5＜x≤7.5 时，可设此时函数解析式为 y = k x + b，
2
∵图象经过了(5.5，2)和(7.5，2)
{5.5 k
2
+ b = 2， {k＝－1，
可得 解得
7.5k + b = 2 b =7.5，
2
即 y = -x + 7.5.
{ 0.8x ( 0≤x≤2.5 )，
综上所述：此函数图象的解析式为
y=
2 ( 2.5＜x≤5.5)，
−x + 7.5 ( 5.5＜x≤7.5 )
[典例精析]
例1 解：(1)设购买量为xkg，付款金额为y元.
当0≤x≤2时，y＝40x；
当x＞2时，y＝80＋24（x－2）＝24x＋32.
{40x，0≤x≤2，
所以y＝
24x+32，x>2.
函数图象如图所示.
(2)因为4＞2，所以y＝24×4＋32＝128.因此，一次购买4kg种子，需付款128元.
【练一练】1.解：(1)当 0≤ x≤16 时，y = (1.3 + 1.2)x = 2.5x.
当 x＞16 时， y = (1.3 + 1.2)×16 + (2.0 + 1.2)(x - 16) = 3.2x - 11.2.
{2. 5x， 0≤x≤16，
y 与 х 的函数表达式可表示为：y＝
3.2x − 11.2， x＞16.
(3) 当 x = 10 时，y = 2.5×10 = 25 .
当 x = 20 时，y = 3.2×20 - 11.2 = 52.8.
答：这两户该月应缴的水费分别为 25 元、52.8 元.
(4)因为59.2＞2.5×16，所以该户这个月用水超过 16 m3.
因此，3.2x - 11.2 = 59.2. 解得 х = 22.
答：该户这个月的用水量为 22 m3.
2.解：(1) 当 0≤x≤100 时，设 y = k x.
1
把 (100，65) 代入，得 100k = 65，
1
解得 k = 0.65，
1
所以 y = 0.65x.
当 x > 100 时，设 y = k x + b.
2
把 (100，65)，(130，89) 分别代入，
得y＝
{100k
2
+ b = 65，
解得
{k＝0.8，
130k + b = 89. b = －15，
2
所以 y = 0.8x－15.
第 5 页{0.65x，(0≤x≤100)，
所以y与x之间的函数表达式为y＝
0.8x－15，(x＞100).
(2) 因为 105 > 65，所以 x > 100.
将 у = 105 代入 y = 0.8x－15，
得 0.8x－15 = 105，
解得 x = 150.
所以该用户当月用了 150 kW·h电.
当堂反馈
1. y＝1.5x＋8.5 .
2. 12 .
3.（1） 80 ；
（2） 12 ， 10 ；
（3）解：当0≤x≤50时，y＝12x＋80；
当50＜x≤80时，y＝10（x－50）＋680＝10x＋180.
{12x+80，0≤x≤50；
综上，y关于x的函数解析式为y＝
10x+180，50
