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23.4 实际问题与一次函数
第1课时 分段函数问题
1.能根据实际问题中的文字信息或图象信息，建立分段函数模型.
2.能将简单的实际问题转化为数学问题，从而解决实际问题.
3.在应用一次函数解决问题的过程中，渗透数形结合的数学思想.
重点：根据题意列出一次函数解析式解决实际问题.
难点：分段函数的实际应用.
知识链接：前面我们学习了用待定系数法求一次函数的解析式的方
法，回顾一下相关知识.
创设情境——见配套课件
探究点一：分段函数的应用
（教材P131例）某玉米种子的价格为40元/kg.若一次购买不超
过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部
分的种子价格打6折.
（1）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象；
分析：①填写下表：
购买种子数量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
付款金额/元 20 40 60 80 92 104 116 128 …
②写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象.
分析：1.说一说，付款金额、种子价格、购买量三者有怎样的关系？
答：付款金额＝种子价格×购买量.
2.通过题意我们可知，种子价格不是固定不变的，它与 购买量
有关，设购买xkg种子，付款金额为y元.则有：
若购买种子量为0≤x≤2时，种子价格y为：y＝40x；若购买种子量为x＞2时，种子价格y为：y＝80＋24（x－2）＝24x
＋32.
因此，写函数解析式与画函数图象时，应分 0 ≤ x ≤ 2 和 x ＞ 2
讨论.
解：设购买量为xkg，付款金额为y元.
当0≤x≤2时，y＝40x；
当x＞2时，y＝80＋24（x－2）＝24x＋32.
{40x，0≤x≤2，
所以y＝
24x+32，x>2.
函数图象如图所示.
概念引入：我们将此类自变量在不同区间对应不同函数解析式的函
数，称为分段函数.
注意：1.它是一个函数；2.要写明自变量的取值范围.
（2）一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？
解：因为4＞2，所以y＝24×4＋32＝128.因此，一次购买4kg种子，
需付款128元.
归纳总结：分段函数问题的一般解题策略：①分段函数的特征：不
同的自变量区间所对应的函数解析式不同，其函数图象是一个折线，
解决分段函数问题，关键是要考虑与它所对应的区间；②分段函数
中“拐点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上，在
求解析式时，要用好“拐点”坐标，同时，在分析图象时还要注意
“拐点”表示的实际意义；③分段函数应用广泛，在收费问题、行
程问题、几何问题中都有应用.
【对应训练】教材P131－132练习.1.歇马杏的上市时间约为每年六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销
往省外某地.某快递公司的收费标准为：物品不超过3kg需付13元，
以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费1.5元.直接写
出歇马杏的托运量x（单位：kg）（x＞3）与托运费用y（单位：
元）的函数关系式为 y ＝ 1 . 5 x ＋ 8 . 5 .
2.共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3～10km的出
行市场.图中反映某共享电动车平台收费y（单位：元）与骑行时间
x（单位：min）之间的函数关系，根据图中的信息，某天王老师从
家到学校一共骑行40分钟，则需要向平台付费 1 2 元.
3.某日，王爷爷准备了80kg苹果在市场上销售，在销售过程中，顾
客均通过电子支付的方式向王爷爷支付购买费用.他按市场价售出
50kg苹果后，为早点收摊回家，他将剩余苹果降价处理且全部售完.
已知王爷爷手机电子钱包中的零钱总额y（单位：元）（含原有零
钱）与售出水果的千克数x的关系如图所示，请结合图象回答问题：
（1）王爷爷的电子钱包中原有零钱 8 0 元；
（2）苹果降价前每千克 1 2 元，降价后每千克 1 0 元；
（3）请求出y关于x的函数解析式.
解：当0≤x≤50时，y＝12x＋80；
当50＜x≤80时，y＝10（x－50）＋680＝10x＋180.
{12x+80，0≤x≤50；
综上，y关于x的函数解析式为y＝
10x+180，50
