文档内容
23.4 实际问题与一次函数
第 1 课时 分段函数
A组·基础达标
知识点 分段函数
1 某市出租车的收费标准如下表：
里程数 收费 元
/
3km以下（含3km）
8
3km以上每增加1km
设行驶里程数为xkm，收费为y元，则y与x(x≥3)之间的函数解析式为（1 . 8）
A．y=8x B．y=1.8x
C．y=1.8x+2.6 D．y=1.8x+8
2 市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水
费y（元）与用水量x(t)之间的函数关系如图所示.若该用户本月用水18t，则应交水费
（ ）
A．43.2元 B．45元 C．46.8元 D．48元
3 小李计划通过社会实践活动赚钱买一本标价为43元的书，他以1.1元/kg的价格从
批发市场购进若干数量的西瓜去销售，在销售了40kg之后，余下的打七五折全部售
完，若销售金额y（元）与售出西瓜的数量x(kg)之间的函数关系如图所示，则下列结
论正确的是（ ）A．降价后西瓜的单价为2元/kg
B．小李一共进了50kg西瓜
C．小李这次社会实践活动赚的钱可以买到43元的书
D．降价前的单价比降价后的单价多0.6元
4 为了鼓励公民节约用电，某市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费.每户
家庭每月电费y（元）与用电量x(kW⋅h)之间的函数图象如图所示.
（1） 求当x≥200时，y关于x的函数解析式；
（2） 若乙用户某月需缴电费132元，求乙用户该月的用电量.
B组·能力提升
5 小明开车去某地旅游，在高速公路上以100km/h的速度匀速行驶.已知汽车出发前油
箱有油30L，汽车每小时耗油约8L.当油箱的油少于10L时，汽车就会提醒加油.小明行
驶了2h后，在加油站加油至50L，油箱内剩余油量y(L)关于行驶时间x(h)的函数图象
如图所示（加油时间忽略不计）.
（1） 小明在加油站加了多少升油？
（2） 求图中CD所在直线的函数解析式；（3） 小明加了油后，想在汽车提醒加油之前到达下一个加油站，可供选择的有：
加油站P，距离450km；加油站Q，距离550km.请通过计算帮小明选择下一个加油站.
C组·核心素养拓展
6 【模型观念】A，B，C三地在同一条公路上，B地在A，C两地之间.甲、乙两车
分别从A地、B地同时出发前往C地.甲车的速度始终保持不变，乙车中途休息一段
时间，继续行驶，最后两车同时到达y(L)C地.如图，这是表示甲、乙两车之间的距
离y(km)与时间x(h)之间的函数关系图象.根据图象，回答下列问题.
（1） A，B两地相距____km，乙车中途休息了____h，甲车的速度是____km/h；
（2） 求图中线段DE的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3） 请直接写出甲、乙两车出发多长时间两车相遇.、
第 2 课时 方案选择（1）
A组·基础达标
知识点 套餐收费
1 某游泳俱乐部暑期面向全体市民推出会员制优惠活动，方案如下：
方案一：在微信公众号注册并在朋友圈转发一次关于游泳俱乐部的信息，成为普通
会员，每次游泳费用享受9折优惠；
方案二：缴纳135元成为游泳俱乐部Plus会员，每次游泳费用享受6折优惠；
设某市民暑期游泳x（次），按照方案一所需费用为y （元），且y =k x；按照方案
1 1 1
二所需费用为y （元），且y =k x+b，它们的函数图象如图所示.
2 2 2（1） 求y 的函数解析式；
2
（2） 求打折前的每次游泳费用和k 的值；
1
（3） 某市民小张计划暑期前往该俱乐部游泳15次，应选择哪种方案所需费用较少？
说明理由.
2 某中学要添置某种教学仪器.
方案一：到商店购买，每件需要8元；
方案二：学校自己制作，每件需要4元.但另外需要制作工具的租用费120元.
设需要仪器x件，方案一的费用为y 元，方案二的费用为y 元.
1 2
（1） 问y （元），y （元）关于x（件）的函数解析式分别是什么？（直接写结论，
1 2
不用写出自变量的取值范围）
（2） 当添置仪器多少件时，两种方案所需的费用相同？
（3） 若学校计划添置仪器60件，则采用哪种方案较便宜？
B组·能力提升
3 甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同.节日期间两家草莓采摘
园均推出优惠促销方案.设游客在采摘园采摘的草莓重量为xkg.
甲采摘园：游客进园需购买100元的门票，采摘的草莓按照6折计费，所花的费用为
y 元；
甲
乙采摘园：游客进园不需购买门票，采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优
惠价格计算.设所花的费用为y 元，y 与x之间的函数关系如图所示.
乙 乙（1） 优惠前草莓的销售价格为____元/kg，y 关于x的函数解析式是_____________
甲
___；
（2） 当x≥10时，求y 关于x的函数解析式；
乙
（3） 当游客采摘草莓的重量为15kg时，在哪家草莓园采摘更划算？并说明理由.
C组·核心素养拓展
4 【应用意识】某学校准备从甲、乙两家网店购入若干教学用品，该教学用品在两家
网店的标价均为15元/件，但两店进行不同的促销活动：甲网店一次性购买金额不超
过300元的按原价购买，超过300元的部分按标价的6折出售；乙网店商品全部按标
价的8折出售.
（1） 若该校需要购买40件教学用品，则在甲网店需花费____元；在乙网店需花费
____元.
（2） 若学校计划购买教学用品x件，设在甲网店花费y 元，在乙网店花费y 元，请
甲 乙
求出y ，y 关于x的函数解析式.
甲 乙
（3） 假如你是学校采购员，你认为选择哪家网店花费较少？
第 3 课时 方案选择（2）
A组·基础达标
知识点 方案问题
1 为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A，B两种类型的羽毛球
拍.已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A，B两种类型的羽
毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍.那么最省钱
的购买方案是（ ）
A．买22副A种球拍和8副B种球拍
B．买21副A种球拍和9副B种球拍
C．买20副A种球拍和10副B种球拍D．买19副A种球拍和11副B种球拍
2 北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给深圳12台、
广州4台，每台车床的运费如下表所示，那么总运费最少是多少元？
终点起点 深圳 广州
北京 元 元
500 900
上海 元 元
下面是解题过程，请补充完整. 700 1 000
解：设从北京运往深圳x台，北京运往广州为________台，上海运往深圳为________
台，上海运往广州为________台，运费为w元，则
x≥0,
{
10−x≥0,
.
12−x≥0,
x−6≥0,
解得________，
w=________________________________________
=500x+9000−900x+8400−700x+1000x−6000=−100x+11400.
∵−100<0，
∴w随x的增大而减小，
∴ 当x取最大值时，w有最小值，
∴ 当x=____时，w=−100× ____+11400=______（元），
∴ 总运费最少是______元.
3 火龙果是一种花青素、维生素E含量较为丰富的水果，有延缓衰老、调节免疫的作
用.现有"白心火龙果"和"红心火龙果"两个品种，某水果店试销这两种火龙果，已知
每箱的售价"红心火龙果"比"白心火龙果"贵10元，销售6箱"白心火龙果"的总价比销
售5箱"红心火龙果"的总价多30元.
（1） 问"白心火龙果"与"红心火龙果"每箱的售价各是多少元？
（2） 若"白心火龙果"每箱的进价为65元，"红心火龙果"每箱的进价为70元.现水果
店购进这两种火龙果共38箱，计划所花资金不高于2 600元，设购进"白心火龙果"a
箱，销售这两种火龙果的利润为w元，则该水果店应如何设计购进方案才能使得利润
w最大，最大利润是多少？B组·能力提升
4 一文具店购进甲、乙两种品牌的书包共80个，其进价与售价情况如下表所示：
甲品牌 乙品牌
进价 （元 件）
/ / 60 56
售价 （元 件）
设购进甲品牌书包x个/，销售/完这80个书包所获得8的0 总利润是y元.72
（1） 求y关于x的函数解析式.
（2） 该文具店是否会获得利润1 406元？请说明理由.
（3） 若该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，如何设计
进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
C组·核心素养拓展
5 【模型观念】根据以下素材，探索完成任务.
如何选择合适的种植方案？
素某中学为了加强劳动教育，拟建一处劳动实践园， 年计划
材将其中100m2的土地全部种植甲、乙两种蔬菜. 2025
1
素甲种蔬菜种植总成本y（元）与甲种蔬菜种植面积x(m2 )的函数关
材系如图所示，其中20≤x≤100；乙种蔬菜每平方米的种植成本为40
2 元.
问题解决
任务1，列出函数关系
（1） 求甲种蔬菜种植总成本y与甲种蔬菜种植面积x的函数解析式；
任务2，确定种植成本（2） 若乙种蔬菜种植面积为55m2，求2025年甲、乙两种蔬菜总种植成本.
任务3，设计种植方案
（3） 若甲种蔬菜种植面积不超过乙种蔬菜种植面积的3倍，设2025年甲、乙两种
蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小
值.
23.4 实际问题与一次函数
第1课时 分段函数
A组·基础达标
知识点 分段函数
．
1．C
2．C
3．C（ ） 解：当x≥200时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b
4 1 .代入(200,100)，(300,180)，
{200k+b=100,
得
300k+b=180,
.
{k=0.8,
解得
b=−60,
.
∴ 当x≥200时，y关于x的函数解析式为y=0.8x−60.
（2） 当y=132时，132=0.8x−60，
解得x=240.
答：乙用户该月的用电量为240kW⋅h
B组·能力提升 .
．（ ） 解：行驶了2h后耗油16L，油箱内剩余油量30−16=14(L)，50−14=36(L)，
∴
5 小明1在加油站加油36L
（ ） 设CD段的函数解析. 式为y=kx+b，k≠0.
∵ 2汽车每小时耗油8L，
∴k=−8，
把(2,50)代入y=−8x+b，
得50=−8×2+b，解得b=66，
∴CD所在直线的函数解析式为y=−8x+66.
（3） 把y=10代入y=−8x+66，
得x=7，
则50L的油行驶5h后汽车提醒加油，此时行驶了500km，
∴ 选择450km远的加油站P
C组·核心素养拓展 .
．（ ） ； ；
6（ ）1 解：2结0合图1象得6：0点E的坐标为(4,0)，点D的坐标为(3,20)
设2线段DE的函数解析式为y=kx+b， .
{4k+b=0, {k=−20,
∴ 解得
3k+b=20, b=80,
. .
∴ 线段DE的函数解析式为y=−20x+80(3≤x≤4)
（ ） 乙车中途休息前的速度是(40−20)÷2+60.=70(km/h)，
由3两车相遇可得，60x=2×70+20，8
解得x= ，
3
8
即甲、乙两车出发 h两车相遇
3
.
第2课时 方案选择（1）
A组·基础达标
知识点 套餐收费
{2k +b=195,
．（ ） 解：将(2,195)，(0,135)代入y =k x+b，得 2
2 2 b=135,
1 1 .
{k =30,
解得 2
b=135,
.
∴y =30x+135.
2
（2） 当x=1时，y =30+135=165，
2
165−135=30（元），
即一次游泳的费用打6折后为30元，
∴ 打折前的每次游泳费用为30÷60%=50（元），
由条件可知k =50×0.9=45.
1
（3） 选择方案二.理由如下：
由（1）（2）知y =45x，y =30x+135，
1 2
当x=15时，y =45×15=675，y =30×15+135=585.
1 2
∵585<675，
∴ 选择方案二费用更少
．（ ） 解：y =8x，.y =4x+120.
1 2
2（2） 1由题意，得y = y ，
1 2
即8x=4x+120，
解得x=30.
∴ 当需要的仪器为 件时，两种方案所需的费用相同
（ ） 把x=60分别代30入y =8x，y =4x+120中， .
1 2
得3y =8×60=480，y =4×60+120=360，
1 2
∵y >y ，
1 2
∴ 当需要的仪器为 件时，选择方案二较便宜
B组·能力提升 60 .．（ ） ； y =18x+100
甲
3[解析]1根据题30意得，甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格为300÷10=30（元/kg）
（ ） 解：当x≥10时，设y =kx+b .
乙
2 {10k+b=.300,
代入(10,300)，(25,480)，得
25k+b=480,
.
{k=12,
解得
b=180,
.
∴y 关于x的函数解析式为y =12x+180(x≥10)
乙 乙
（ ） 解：当x=15时，y =18×15+100=370，.y =12×15+180=360.
甲 乙
∵y3 >y ，
甲 乙
∴ 游客在乙家草莓园采摘更划算
C组·核心素养拓展 .
．（ ） ；
4解析 1根据4两8家0网店48的0优惠方案标价为15×40=600（元），
[则在甲]网店需花费300+(600−300)×0.6=480（元）；
在乙网店需花费600×0.8=480（元）.
（2） 解：300÷15=20（件）.
当020时，y =9x+120(x为整数)，
甲
{ 15x (020,且x为整数);
.
y =0.8×15x=12x(x>0，且x为整数)
乙
（ ） 解：不超过 件时，y =1.5x，y =12x，y >y ，故应选择乙网店；
甲 乙 甲 乙
当3购买超过 件时2，0y =9x+120，y =12x
甲 乙
由y >y ，则209x+120>12x，解得x<40. .
甲 乙
故购买超过20件，不超过40件时，选择乙网店；
由y = y ，则9x+120=12x，解得x=40.
甲 乙
故购买40件时花费相同，选择甲、乙两家网店皆可；
由y 40.
甲 乙
故购买超过40件时，选择甲网店.综上所述，购买40件以下时选择乙网店；购买40件时，甲、乙两家网店皆可选择；
购买40件以上时选择甲网店.
第3课时 方案选择（2）
A组·基础达标
知识点 方案问题
1．C
2．(10−x)； (12−x)； (x−6)； 6≤x≤10； 500x+900(10−x)+700(12−x)+1000(x−6)；
； ； ；
1．0 （1）0 解1：0设 40白0心火10龙 4果00每箱的售价为x元， 红心火龙果 每箱的售价为y元
3 1
{
y−x"=10, " " " .
由题意，得
6x−5 y=30,
.
{x=80,
解得
y=90.
.
答： 白心火龙果 每箱的售价为 元， 红心火龙果 每箱的售价为 元
（ ）" 由题意，得" w=(80−65)a+( 8900−70)⋅ " (38−a)=−5a+"760， 90 .
∴w2随a的增大而减小
∵ 计划所花资金不高.于 元，
∴65a+70(38−a)≤2600， 2 600
解得a≥12，
∴ 当a=12时，w取得最大值，此时w=700，38−a=26.
答：当购进"白心火龙果"12箱，"红心火龙果"26箱时，利润w最大，最大利润是
元 700
B组. ·能力提升
．（ ） 解：y=(80−60)x+(72−56)(80−x)=4x+1280，
∴4y=4x1+1280.
（2） 该文具店不会获得利润1 406元.理由如下：
当y=1406时，4x+1280=1406，
解得x=31.5
∵x为整数，.
∴ 该文具店不会获得利润 元
1 406 .1
（ ） 由条件可得x≤ (80−x)
2
3 .
80
∴x≤ .
3
在y=4x+1280中，y随x的增大而增大
∵x为整数， .
∴ 当x=26时，该文具店获得利润最大，最大利润为4×26+1280=1384（元）.
C组·核心素养拓展
5．（1） 解：设甲种蔬菜种植总成本y与甲种蔬菜植面积x的函数关系式为y=kx+b(k，
b为常数，且k≠0)
将坐标(20,300)和(.60,1500)分别代入y=kx+b，
{20k+b=300,
得
60k+b=1500,
.
{ k=30,
解得
b=−300,
.
∴y与x的函数解析式为y=30x−300(20≤x≤100)
（ ） 100−55=45(m2 )， .
当2x=45时，y=30×45−300=1050，
1050+40×55=3250（元）.
答：2025年甲、乙两种蔬菜总种植成本为3 250元.
（3） 根据题意，得x≤3(100−x)，
解得x≤75，
∵20≤x≤100，
∴20≤x≤75.
W =30x−300+40(100−x)=−10x+3700.
∵−10<0，
∴W随x的增大而减小
∵20≤x≤75， .
∴ 当x=75时，W的值最小，W =−10×75+3700=2950，100−75=25(m2 )
最小值
答：甲种蔬菜种植面积为75m2、乙种蔬菜种植面积为25m2可使总种植成. 本最小，最小
为2 950元.
