文档内容
第 21 章 四边形
21.3.3 正方形
第2课时 正方形的判定
【素养目标】
1.用类比方法归纳正方形的判定方法，培养学生的数学表达能力.
2.探究并证明正方形的判定定理，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的判定方法之
间的区别和联系.
3.灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能力.
重点：正方形判定方法的理解与应用.
难点：正方形判定方法的探究及证明.
【复习导入】
问题1：什么是正方形？正方形有哪些性质？
问题2：你是如何判定矩形、菱形的？
思考：怎样判定一个四边形是正方形呢？
【合作探究】
探究点1: 正方形的判定
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，
可量一量验证验证.
猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？
第 1 页证一证：对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角
线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量
看是不是正方形.
猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？
证一证：对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
归纳总结
常用的正方形判定方法：
定义法
矩形法
菱形法
归纳总结
正方形判定的几条途径：
练一练
1.在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是
第 2 页（ ）
A．AC = BD，AB∥CD，AB = CD
B．AD∥BC，∠BAD =∠BCD
C．AO = BO = CO = DO，AC⊥BD
D．AO = CO，BO = DO，AB = BC
典例精析
例2 在正方形 ABCD 中，点 E、F、M、N 分别在各边上，且 AE = BF = CM =
DN．
求证：四边形 EFMN 是正方形．
A N D
E
M
B F C
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A、∠B 的平分线交于点 D，DE⊥AC
于点 E，DF⊥BC 于点 F. 求证：四边形 CEDF 为正方形.
练一练
2.如图，EG，FH 过正方形 ABCD 的对角线交点 O，且 EG⊥FH. 求证：四边形
EFGH 是正方形.
第 3 页例4 如图，正方形 ABCD 中，动点 E 在 AC 上，AF⊥AC，垂足为 A，AF =
AE．
(1) 求证：BF = DE；
(2) 当点 E 运动到 AC 中点时 (其他条件都保持不变)， A D
问四边形 AFBE 是什么特殊四边形？说明理由.
F
E
B C
思考：前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四
边形. 顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的
特殊平行四边形？
当堂反馈
1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该菱形成为正方形，则应
添加的条件是( A )
A.AC＝BD
B.AC⊥BD
C.OA＝OC
D.∠AOB＝60°
第 4 页2.甲、乙、丙、丁四位同学到工厂实习，工人师傅拿一把尺子要他们帮助检测一个四边
形构件是否为正方形，他们各自做了如下检测：
甲量得构件四边都相等；
乙量得构件的两条对角线相等；
丙量得构件的一组邻边相等；
丁量得构件的四边相等且两条对角线也相等.
检测后，他们都说是正方形，你认为说得最有把握的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC＝BD，在不添加任何辅助线的前提
下，若使四边形ABCD是正方形，只需添加的一个条件是 .
第3题图
4.有下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD.从中选取两
个作为补充条件，使 ABCD为正方形(如图).现在文文选择了②③，
你认为文文选择的 (填“对”或“不对”).
▱
第4题图
5.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，
CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
第 5 页参考答案
【合作探究】
探究点1: 正方形的判定
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角
线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°.
∵ AC⊥DB，
∴ AD = AB = BC = CD.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
证一证：对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.
∵ AC = DB，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.
∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
练一练1.C
典例精析 例2 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC = CD = DA，∠A =∠B =∠C =∠D = 90°.
∵ AE = BF = CM = DN，∴ AN = BE = CF = DM.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM 中，
AE = BF = CM = DN，
∠A =∠B =∠C =∠D，
AN = BE = CF = DM，
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM.
∴ EN = FE = MF = NM，∠ANE =∠BEF.
∴ 四边形 EFMN 是菱形.
又∵∠NEF = 180°－(∠AEN +∠BEF)
= 180° － (∠AEN+∠ANE) = 180°－ 90° = 90°.
∴ 四边形 EFMN 是正方形.
第 6 页例3 证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC =∠DFC = 90°.
又∵∠C = 90°，
∴ 四边形 CEDF 是矩形.
过点 D 作 DG⊥AB 于点 G.
∵ AD 是∠CAB 的平分线，
∴ DE = DG. 同理，DG = DF，∴ DE = DF.
∴ 四边形 CEDF 为正方形.
练一练2.证明：∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ OB = OC，∠ABO =∠BCO = 45°，
∠BOC = 90° = ∠COH +∠BOH.
∵ EG⊥FH，
∴∠BOE +∠BOH = 90°.
∴∠COH =∠BOE.
∴△CHO≌△BEO. ∴ OE = OH.
同理可证：OE = OF = OG.
∴ OE = OF = OG = OH，
即 EG 与 FH 互相垂直平分.
∴ 四边形 EFGH 为菱形.
∵ EO + GO = FO + HO，即 EG = HF，
∴ 四边形 EFGH 是正方形.
例4 (1) 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = AD，∠BAD = 90°.
∵ AF⊥AC，∴∠EAF =∠BAD = 90°.
∴∠BAF =∠DAE.
在△ABF 和△ADE 中，
AB = AD，∠BAF =∠DAE，AF = AE，
∴△ABF≌△ADE (SAS). ∴ BF = DE.
(2) 解：当点 E 运动到 AC 的中点时，四边形 AFBE 是正方形.
理由：∵ 点 E 运动到 AC 的中点，AB = BC，
1
∴ BE⊥AC，BE = AE = AC.
2
∵ AF = AE，∴ BE = AF = AE.
又∵ BE⊥AC，∠FAE =∠BEC = 90°，
∴ BE∥AF. ∵ BE = AF，
∴ 四边形 AFBE 是平行四边形.
∵∠FAE = 90°，AF = AE，
∴ 四边形 AFBE 是正方形．
第 7 页当堂反馈
1. A
2. D
3. AC⊥BD(答案不唯一) .
4. 不对
5.证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
1
∴∠EBC＝∠ECB＝ ×90°＝45°.
2
∴∠BEC＝90°，BE＝CE.
∴四边形BECF是正方形.
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