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10.2 平面向量的数量积（精练）
1．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）（多选）已知平面向量 ， ， ，则
下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则向量 在 上的投影为
B．若 ，则 ，
C．若 ， ，则
D．若 ，则向量 与 的夹角为锐角
【答案】AD
【解析】对于A，因为 ，所以 ，又 ，
所以向量 在 上的投影为 ，正确；
对于B，因为 ，且 ， ， ，
所以 ，即 ，该方程有无数组解，错误；
对于C，因为 ， ，且 ， ， ，
则 ， ，即 ， ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，错误；
对于D， ， ，若 时， ，所以 ，
此时 与 为相反向量，当 时， ，
则向量 与 的夹角为锐角，正确；
故选：AD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2022秋·云南保山·高三统考阶段练习）（多选）已知向量 ， ，其中 ，则
下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 与 的夹角为钝角，则
D．若 ，向量 在 方向上的投影为
【答案】ABD
【解析】选项A：由 得 ，得 ，故A正确；
选项B：由 得 ，即 ，
所以 ，故B正确；
选项C： 与 的夹角为钝角，则 ，且 与 不共线，
由 得 ，即 ，
由选项A知 与 不共线时， ，故C错误；
选项D： 时， ，向量 在 方向上的投影为 ，故D正确.
故选：ABD
3．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）（多选）已知单位向量 的夹角为 ，则使 为钝角的一个充
分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】若 ，则 可能为 ，A选项不是 为钝角的充分条件，故A不正确，
若 ，两边平方得 ，即向量 的余弦值为 ，所以 ，
B选项是 为钝角的一个充分条件故B选项正确，
若 ，则 ，即向量 的余弦值为 ，所以 且 为钝角，，
C选项是 为钝角的充分条件，故C选项正确，
若 ，两边平方得 ，当 时满足题意
所以 不一定为钝角，D不是 为钝角的充分条件，故D不正确，故选：BC.
4．（2022秋·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）（多选）已知向量 ，则下列结论正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．向量 与向量 的夹角为
【答案】ACD
【解析】对于A中，由 ，可得 ，所以A正确；
对于B中，由 ，可得 ，可得 ，所以B错误；
对于C中，由 ，可得 ，
可得 ，所以 ，所以C正确；
对于D中，由 ，可得 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ，即向量 与向量 的夹角为 ，所以D正确.
故选：ACD.
5．（2023春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）（多选）已知平面向量 ， ，
，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则向量 在 上的投影向量为 D．若 ，则向量 与 的夹角为锐角
【答案】AB
【解析】对于A，若 ，则 解得 ，故A正确；
对于B，若 ，可得 ，即 ，解得 ，故B正确；
对于C，若 ， ，
则向量 在 上的投影向量为 ，故C错误；
对于D，若 ，则 ，所以 ，
但当 时， ，此时 同向，其夹角为 ，故D错误.
故选：AB.
6．（2023秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考开学考试）（多选）已知向量
，其中 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 与 夹角为锐角，则
C．若 ，则 在 方向上投影向量为 D．若
【答案】AC
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】若 ，则 ，解得 ，A正确；
若 与 夹角为锐角，则 ，解得 ，
当 ， ，此时 ， 与 夹角为 ，B错误；
若 ，则 ，因为 在 方向上投影为 ，与 同向的单位向量为 ，
所以 在 方向上投影向量为 ，C正确；
由题设， ，D错误.
故选：AC
7．（2023·江苏常州·校考一模）已知平面向量 ，满足 ，则 在 方向上的投
影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ， ，且 ，
平方得 ，解得 ，
所以 在 方向上的投影向量为 .
故选：B.
8．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）若向量 ， 满足 ， ，则 在 方向上的投影
为（ ）
A．1 B． C． D．－1
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为 ， ，
所以 ，即 ，则 ，
故 在 方向上的投影 .
故选：B.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 （2，1）， （ ，3），则向量 在 方向上的投影向量
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为向量 （2，1）， （ ，3），
所以向量 在 方向上的投影向量为
，
故选：C
10．（2023·河北·统考模拟预测）在平行四边形 中，已知 ，且 ，则向量
与 的夹角的余弦值为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，在平行四边形 中， ， ，
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
故 ，则 ，
所以向量 与 的夹角的余弦值为 0 .
故选：B.
11（2023·江苏苏州·模拟预测）已知向量 在向量 上的投影向量是 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为向量 在向量 上的投影向量是 ，所以 ,
因此 .
故选：A.
12．（2023·新疆·统考三模）设向量 ， 为单位向量，且 ，则向量 ， 的夹角
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知， ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
故选：C.
13．（2023秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）已知空间向量 ， ， 满足 ， ，
， ，则 与 夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 与 的夹角为 ，由 ，
得 ，两边平方，得 ，
所以 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
故选：B.
14．（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）如图，在 中， 为 上一点，
且满足 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中，由 ， 为 上一点，
且满足 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又由 三点共线，则 ，即 ，
因为 ，
则 ，
则 的值为 .
故选：C.
15．（2023·江西九江·统考一模）已知 、 为单位向量，则向量 与 夹角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ，
，
则 ，
令 ，因为 ，所以 ，
，当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ，
所以向量 与 夹角的最大值为 ．
故选：A．
16．（2022秋·广东惠州·高三统考阶段练习）向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，
所以 ， ，
所以 在 上的投影向量为 .
故选：B
17．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知定点 ， 为坐标原点，点 是圆 上的一
点，且圆 的半径为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知， ，则
，
当且仅当点 为线段 与圆 的交点时，等号成立.
因此， 的最大值为 .
故选：C.
18（2023秋·广东深圳·高三深圳市宝安第一外国语学校校考阶段练习）（多选）已知
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， 若 ， 则与 共线的单位向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】因为
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
因此 ，
于是与 共线的单位向量为 ，
故选：BC
19．（2023·河南·统考三模）已知 ， ，若 ，则向量 的夹角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意 ，故 ，
所以 ，故 ，
由 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B
20．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）在三角形 中， ， ，
， 在 上的投影向量为 ，则 （ ）
A．-12 B．-6 C．12 D．18
【答案】A
【解析】由题意， ， 为 中点，由 在 上的投影向量为 ，
即 ，又 ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
21．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知 ， ，且 在 方向上的投影与 在 方向上
的投影相等，则 ．
【答案】 或 .
【解析】由题意，向量 ， ，可得 ， 且 ，
因为 在 方向上的投影与 在 方向上的投影相等，
可得 ，即 ，解得 .
故答案为： 或 .
22．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知向量 ， ，且 ，则向量
在 方向上的投影为 ．
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】向量 ， ，由 ，得 ，所以 ，
所以 在 方向上的投影为 ．
故答案为： .
23．（2023·北京通州·统考三模）已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条
直径，则 = .
【答案】1
【解析】
.
故答案为: 1.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】24．（2023·全国·高三专题练习）如图，在 中，P为线段AB上一点，则 ，若
， ， ，且 与 的夹角为 ，则 的值为 .
【答案】-3
【解析】因为 ，所以 ，
所以
，
即 ，
故答案为：-3
25．（2023·四川成都·校联考二模）平面向量 ， 满足 ，且 ，则 的最小值
是 ．
【答案】 /
【解析】由 两边平方得 ．
又因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 的最小值是 .
故答案为： .
1．（2023·全国·高三专题练习）十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知
一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个
角均小于 时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 ；当三角形有一内角大于或等于 时，
所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求点称为费马点.已知在 中，已知 ，
，且点M在AB线段上，且满足 ,若点P为 的费马点，则
（ ）
A．﹣1 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为在 中， ， ，
所以由余弦定理可得 ，
由正弦定理可得 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又B为锐角，所以 ，
设 ，则 ，
即 ，解得 ，即 ，
所以 ，则 ，
又 ，
则 为锐角，由于 ，故 ，
所以 的三个内角均小于 ，
则P为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 ；
所以
，
所以 ，
所以
，
故选：C．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023·全国·高三专题练习）向量 ，若存在整数 使得方程
在 上有两个不同的实数根，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】 ，
若 有两个不同的实数根，则 有两个不同实数根，
，有 ，
如图，画出函数 的图象，
要使得 有两个不同实数根， ，于是 为整数，所以 .
故选：C
3．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知长方形ABCD的边长 ，P，Q分
别是线段BC，CD上的动点， ，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设A点为坐标原点，分别以AB，AD为x，y轴建立坐标系，如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】不妨设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，则 ，
所以 ，解得 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
则 的最小值为 .
故选：D.
4．（2023秋·江苏苏州·高三统考开学考试）我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利
用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点 ，
，O为坐标原点，余弦相似度为向量 ， 夹角的余弦值，记作 ，余弦距离为
.已知 ， ， ，若P，Q的余弦距离为 ，
，则Q，R的余弦距离为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得
则 ，
又 ，
∴ ，
∴ ， ，
，
故选：
5．（2023·福建泉州·统考模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技
术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦
距离．设 ， ，则曼哈顿距离 ，余弦距离 ，
其中 （O为坐标原点）．已知 ， ，则 的最大值近似等
于（ ）
（参考数据： ， ．）
A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948
【答案】B
【解析】设 ，
由题意可得： ，即 ，
可知 表示正方形 ，其中 ，
即点 在正方形 的边上运动，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，由图可知：
当 取到最小值，即 最大，点 有如下两种可能：
①点 为点A，则 ，可得 ；
②点 在线段 上运动时，此时 与 同向，不妨取 ，
则 ；
因为 ，
所以 的最大值为 .
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）（多选）如图，已知直线 ，点 是 ， 之间的一个定点，点 到 ，
的距离分别为1，2.点 是直线 上一个动点，过点 作 ，交直线 于点 ， ，
则（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． 面积的最小值是
C． D． 存在最小值
【答案】ABC
【解析】取 中点 ，连接 ，如图，
由 ，得 ，因此点 共线，
且 ，A正确；
设 ，由于 ，而 ，则 ，
由 ，得 ，显然点 为 的重心，
则 的面积 ，
当且仅当 ，即 时取等号，B正确；
，当且仅当 ，即 时取等号，C正确；
由 ，得 ， ，
因此
，令 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而函数 在 上单调递增，值域为R，所以 值域为R，无最小值，D
错误.
故选：ABC
7．（2023秋·河北·高三校联考期末）（多选）已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 （
且 ）交 与 、 两点，直线 、 分别与 的准线交于 、 两点，（ 为坐标原点），
下列选项错误的有（ ）
A． 且 ，
B． 且 ，
C． 且 ，
D． 且 ，
【答案】ACD
【解析】
由 ，可得 ，
设 , ， , ，
则 ， ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
直线 的方程为 ，由 ，可得 ，
同理可得 ，
所以 , ， , ，
， ，
对于A， , , ，
, , ，
只有当 时， ，此时 ，直线与 轴垂直，不存在斜率，不满足题意，
所以， ，故A错误；
对于B，因为 , , ，
, , ，故B正确；
对于C，由B得 ，而 ，所以 ，故C错误；
对于D，由C可知不存在 且 ，使 成立，故D错误．
故选：ACD．
8．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）（多选）已知向量 ， ， 满足 ， ，则
可能成立的结果为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】由题意 ， ，设 ，
不妨设 ，如图动点 在以原点为圆心，2为半径的圆 上，
动点 在以 为圆心，1为半径的圆上，且满足 ，
圆 方程是 ，当 在圆 上运动时，由 ，得 ，
当且仅当 ， ， 三点共线时取等号，又由图易知 ，即 ，故选项A满足，选项B不满足；
对于选项C，D，设 ，则 ，
由 ，解得 ，所以 ，又 ，
即 ，所以 ，选项D满足，C错误，
故选：AD.
9．（2023·江西鹰潭·统考一模）十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问
题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是:当三角形
的三个角均小于 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角
:当三角形有一内角大于或等于 时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】费马点.已知 分别是 三个内角 的对边，且 ，若点 为 的费马点，
则 .
【答案】
【解析】由于 ，所以三角形 的三个角都小于 ，
则由费马点定义可知： ，
设 ，由 得：
，整理得 ，
则
.
故答案为：
10．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）已知平面向量 ， ， 满足 ， ，
，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】设 ， ， ， ，
由已知可得： ，
当且仅当 时，取等号，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，有 ，得 ，
当 时，有 ，得 ，
所以当 时， .
所以 的最大值为 .
故答案为： .
11．（2023·河北衡水·校联考二模）已知平面向量 满足
，则以 为直径长的圆的面积的最大值为 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 与 的夹角大小为 ，
如图，作 ，
连接 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 四点共圆，
故当 为圆的直径时， 最大.
此时 ，
在Rt 中， .
在 中， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 .
所以 ，即 的最大值为 .
所以以 为直径的圆的面积的最大值为 .
故答案为：
12．（2023·上海松江·统考二模）已知点 是平面直角坐标系中关于 轴对称的两点，且 ．
若存在 ，使得 与 垂直，且 ，则 的最小值为
．
【答案】
【解析】设 在直线 上，又 是平面直角坐标系中关于 轴对称的两点， ，
；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ， ，则 ， ，
，
不妨设 在 的左侧， ，则 ，
与 垂直， ，
即 有解， ，
，即 的最小值为 .
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
