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10.1 平面向量的线性运算及基本定理（精练）
1．（2023秋·广东深圳·）已知平面直角坐标系内 三个顶点的坐标分别为 ， ，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，
故选：B.
2．（2023秋·江西·高三统考开学考试）已知 ， ， ，若 ，则
（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】由题意得， ，
由 ，得 ，
解得 .
故选：B.
3．（2024秋·北京房山·高三统考开学考试）已知向量 ， 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设 ，则由题意可得 ，
解得 ，
所以 ，
故选：D
4．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若向量 ， ，则
（ ）
A． B． C．40 D．46
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ．
故选：D
5．（2023·青海西宁）已知向量 ， ， 若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为向量 ， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，解得 .
故选：A.
6．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）己知 的外接圆圆心为 ，且
，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接 、 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，则 ，所以， 且 ，
又因为 ，则四边形 为菱形，
设 ，则 为 的中点，且 ，
因此， 在 上的投影向量为 ，
故选：A.
7．（2023秋·湖北·高三校联考开学考试）在 中，点 在线段 上， ，则
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】因为点 在线段 上，所以存在实数 ，使得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 .
故选：C
8．（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）如图，在 中， 为 上一点，
且满足 ，若 ，则 的值为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中，由 ， 为 上一点，
且满足 ，则 ，
又由 三点共线，则 ，即 ，
因为 ，
则 ，
则 的值为 .
故选：C.
9．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）如图，在 中， ，P是BN上一点，若
，则实数t的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由题意， 是 上一点，设 ，
则 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 .
故选：C
10．（2023·全国·高三专题练习）在 中，点 是线段 上任意一点，点 满足 ，若存在
实数 和 ，使得 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意， ，且 ，
而 ，
所以 ，
即 ，
由已知， 则 ，选项D正确.
故选：D
11．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）已知 分别为 的边 上的中线，设
， ,则 ＝（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． ＋ B． ＋
C． D． ＋
【答案】B
【解析】 分别为 的边 上的中线,
则 ,
,
由于 ， ，所以 ,
故解得
故选：B
12．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在 中， ， ，若点D是斜边AB
的中点，点P是中线CD上一点，且 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】依题意，点P在线段CD上，如图所示
则 ，即 ，于是有 ，
因为点D是斜边AB的中点，
所以 .
所以
所以 ，解得 .
故选：D.
13．（2022秋·山东济宁·高三济宁市育才中学校考阶段练习）（多选）下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若 ， 满足 且 与 同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且 ” “四边形ABCD是平行四边形”
【答案】AD
【解析】对于A，由相反向量的概念可知A正确；
对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且 ，
可得 ，且 ，故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可知 ，且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时A、B、C、D是不共线的四点，且 ，故D正确.
故选：AD.
14．（2023·广东梅州·统考三模）（多选）如图所示，四边形 为等腰梯形， ， ，
， 分别为 ， 的中点，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】因为 ， ，所以 ，
因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，所以 ， .
可知：AD错误，BC正确.
故选：BC.
15．（2023秋·河北邯郸·高三统考阶段练习）（多选）设 ， 是两个非零向量，且 ，则下
列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． ， 的夹角为钝角 D．若实数 使得 成立，则 为负数
【答案】AD
【解析】对A，当 不共线时，根据向量减法的三角形法则知 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 反向共线时， ，
故 ，A正确；
对B，若 ，则以 为邻边的平行四边形为矩形，
且 和 是这个矩形的两条对角线长，则 ，故B错误；
对C，若 的夹角范围为 ，根据向量加法的平行四边形法则知： ，故C错误；
对D，若存在实数 ，使得 成立，则 共线，由于 ，
则 反向共线，所以 为负数，故D正确.
故选：AD.
16（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知平面向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 在 方向上的投影向量为
C．与 垂直的单位向量的坐标为
D．若向量 与向量 共线，则
【答案】AD
【解析】由题意知 ， ，
对于选项A： ，故A正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于选项B： 在 方向上的投影向量为 ，故B错误；
对于选项C：设与 垂直的单位向量的坐标为 ，
可得 ，解得 或 ，
所以与 垂直的单位向量的坐标为 或 ，故C错误；
对于选项D：因为向量 与向量 共线，
所以若存在 ，使得 ，
则 ，解得 ，故D正确．
故选：AD.
17．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①若 ，则 ；②若 是不共线的四
点，则 是四边形 为平行四边形的充要条件；③若 ， ，则 ；④ 的充要
条件是 且 ；⑤若 ， ，则 ．其中正确命题的序号是 ．
【答案】 /
【解析】②对于③①③，②两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；
对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于 且 ，即等价于四边形
ABCD为平行四边形，故②正确；
对于③，若 , ，则 ，显然正确，故③正确；
对于④，由 可以推出 且 ，但是由 且 可能推出 ，故“ 且
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】”是“ ”的必要不充分条件，故④不正确，
对于⑤，当 时， ， ，但推不出 ，故⑤不正确.
故答案为：②③
18．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是 ．
①空间向量 与 是共线向量，则 ， ， ， 四点必在一条直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形 是平行四边形的充要条件是 ；
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．
【答案】④⑤
【解析】由共线向量即为平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量 ， 在
同一条直线上，所以①不正确．
由单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，所以②不正确．
零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，所以③不正确，．
若 ，可得 且 ，所以四边形 为平行四边形，
当时若 为平行四边形，可得 ，所以④正确．
由模为0是一个向量为 ，其中 的方向时不确定的，所以⑤正确．
故答案为：④⑤.
19．（2023秋·广东深圳·高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习）在平行四边形 中， ，
.若 ，则 .
【答案】 /
【解析】因为在平行四边形 中， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：
20．（2023·全国·高三专题练习）已知 为数列 的前n项和， ，平面内三个不共线的向量
，满足 （ 且 ），若 、 、 在同一直线上，则
.
【答案】2
【解析】因为平面内三个不共线的向量 ， 满足 ，
又 在同一直线上，所以 ，即 ，
因为 ，所以数列 为：
则数列 是以6为周期的周期数列，前6项为
又因为 ，所以 .
故答案为：2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】21（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）在 中， 为 的三等分点（靠近 点）， 为 的中
点，若 ，则 ．
【答案】
【解析】
，
所以 .
故答案为：
22．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）设 是两个不共线的单位向量，若 ，
， ，且 三点共线，则实数 的值为 ．
【答案】 /0.4
【解析】因为 三点共线，设 ，
且 ，
则 ，即 ，
因此 ，解得 ，
故答案为： ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】23．（2023·全国·高三专题练习） ， 是两个不共线的向量，已知 ， ，
且 三点共线，则实数 .
【答案】
【解析】依题意得， ，于是 ，
由 三点共线可知，存在 ，使得 ，即 ，
由于 ， 是两个不共线的向量，则 ，解得 .
故答案为：
24（2024秋·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）向量 与 能作为平面向量的一组基底.
(1)若 ， ， ，证明 三点共线
(2)若 与 共线，求 的值
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1） ， ，
，又因为 有公共点点 ， 三点共线.
（2）设 ， ，
即
则 ，解得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如
图所示的直角三角形来构造无理数. 已知 与 交于点 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的坐标系，
由题意得 ，
则 ， .
因为 ，故 ，
因为 ，所以 （负值舍去），
所以 ，
故 .又 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ，
解得 ，所以 ，
故选：A.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在 中， 是 边上的点，满足 ， 在线段 上（不
含端点），且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【解析】因为 是 边上的点，满足 ，则 ，
所以， ，
因为 在线段 上（不含端点），则存在实数 ，使得 ，
所以， ，
又因为 ，且 、 不共线，则 ，故 ，
因为 ，则 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 的最小值为 .
故选：B.
3．（2023·陕西宝鸡·校考一模）已知椭圆 ， 为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意椭圆 ， 为两个焦点，可得 ，
则 ①，即 ，
由余弦定理得 ，
，故 ，②
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立①②，解得： ，
而 ，所以 ，
即 ，
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点G为三角形ABC的重心，且 ，当 取最大值
时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，
又 ， ，
则 ，
所以 ，即 ，
由 ， ， ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
又 在 上单调递减， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以当 取最大值时， .
故选：A
5．（2023春·江西赣州·高三兴国平川中学校联考阶段练习）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，
b，c， ， ， ，点D满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故 ，
故选：B.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．（2023·全国·高三专题练习）设点 是圆： 上的动点，定点 ，则
的最大值为 ．
【答案】10
【解析】由题意知， ，
所以 ，
由于点 是圆上的点,故其坐标满足方程 ，
故 ，
所以 .
由圆的方程 ，易知 ，
所以当 时， 的值最大，最大值为 .
故答案为：10
7．（2023秋·江西·高三校联考开学考试）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，
P为 内一点．若点P满足 ，且 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
即 ，
整理可得 ，
故点P在 的平分线上，同理可得点P在 的平分线上，
所以点P为 的内心．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】如图，延长 ，交 于点D，过点P作 ， ，垂足分别为E，F，
设 ， ，
由 ，得 ，
由D，A，C三点共线得 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
代入得 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
故 的最大值为 ．
8．（2023·上海·高三专题练习）设x、 ，若向量 ， ， 满足 ， ， ，且向
量 与 互相平行，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】由 ，又向量 与 互相平行，
所以 ，故 ，
令 ， ，则 ，
所以 ，将 按向量 平移至 ，
所以 是直线 上的动点，如下图示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，故 ，
由图知：要使 最小，只需 三点共线且 到直线 距离最短，
故 最小值为原点到直线 的距离，最小值为 ，此时题设中的x=2，
y=1.
故答案为：
9（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）已知在边长为 的等边 中， 是边 的一个三等分点
， 是直线 上一点，若 ，则 ．
【答案】2
【解析】 则 ，则 共线，故 .
则 ， ， ，故 .
又 是边 的一个三等分点 ，故 ，故 ， .
则
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：2
10．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知正方形 的边长为2，对角线
相交于点 是线段 上一点，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】记 ，设 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以，当 时， 取得最小值 .
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
