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1.3 复数（精练）
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则
的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，故 ，
所以 的虚部为 .
故选：A.
2．（2023·广东广州·统考二模）若 为实数，且 ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】由题意得， ，故选：C．
3．（2023·山西·高三校联考阶段练习）复数z满足 ，则 =（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ .故选：A
4．（2023·吉林延边·统考二模）已知复数 满足 ，给出下列四个命题其中正确的
是（ ）
A． B． 的虚部为 C． D．
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】∵ ，∴ ，故z的虚部为 ，
则 ， ， ，所以B正确，A，C，D不正
确.
故选：B.
5．（2023·安徽·校联考二模） 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据复数的四则运算法则化简可得， ，
所以 的虚部为 ，故选：B
6．（2023春·河北·高三统考阶段练习）设复数 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】A
【解析】 ，故 .故选：A
7．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测） 是虚数单位，已知 与
互为共轭复数，则 （ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】D
【解析】 ，
与 互为共轭复数， ， .故选：D.
8．（2023·江苏常州·校考二模）1977年是高斯诞辰200周年，为纪念这位伟大的数学家对
复数发展所做出的杰出贡献，德国特别发行了一枚邮票，如图，这枚邮票上印有4个复数，
设其中的两个复数的积 ，则 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，因此 ，而
，
则 ，所以 .
故选：D
9．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ,故选：D
10．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）设 为虚数单位，且 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】由题意， ，
根据复数相等运算法则，则 且 ，解得 .故选：D.
11．（2023·河南郑州·统考一模）已知复数z满足 ，则z在复平面内所对应的点
位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由题意，复数 满足 ，
可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以复数 在复平面内对应的点 位于第二象限.故选：B.
12．（2023春·河南平顶山·高三校联考阶段练习）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ．故选：C.
13．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）已知复数 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ，
所以 ，所以 ，解得： ，
所以 .故选：C
14．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知复数 ，则 在复平
面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因为 ，则 ， ，
所以 在复平面内对应的点 位于第四象限．
故选：D
15．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）复数z满足 ，则 的虚部为（ ）．
A．1 B． C． D．3
【答案】B
【解析】依题意， ，所以 ，其虚部为 .
故选：B
16．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）复数 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】由 ，
其在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第一象限，
故选：A.
17．（2023·湖南·校联考二模）已知i为虚数单位， ，则复数 在复平面内对应的
点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】∵ ，∴ 的对应点为 ，在第一象
限，
故选：A．
18．（2023·广东梅州·统考二模）已知复数 ， ，且 为纯虚数，
则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】复数 ， ，则 ，
依题意， ，解得 ，即 ，
所以 .
故选：C
19．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）已知复数 满足
，则 的共轭复数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
可得 ，所以 .
故选：C.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】20．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知复数z满足 ， 是虚数单位，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
，
，
，解得 ，
.
故选：B.
21．（2023·重庆·统考模拟预测）设复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
则
， ，
.
故选：B.
22．（2023·江西宜春·统考一模）若复数 满足 为纯虚数，且 ，则 的虚部为
（ ）
A． 1 B． C． D．1
【答案】B
【解析】设 ，
为纯虚数， ， ，
又 ， ，解得： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的虚部为 .
故选：B.
23．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知复数 满足 ，
则 （ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【解析】由 ，得 ，整理得 ．
设 ，则 ，
所以 ， ，所以 ，所以 .
故选：B
24．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 为实数，则实数 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为 为实数，所以 .
故选：A
25．（2023·全国·高三专题练习）“ ”是“复数 为纯虚数”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 ，
时 是纯虚数，充分； 是纯虚数，则 ，不必要．
故选：A
26．（2023·陕西汉中·统考二模）已知复数 为纯虚数，则复数
在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【解析】若复数 为纯虚数，则 ，解得 ，
则 ，
故复数 在复平面内对应的点为 ，在第一象限.
故选：A.
27．（2023·全国·浮梁县第一中学校联考模拟预测）如果一个复数的实部和虚部相等，则称
这个复数为“等部复数”，若复数 （其中 ）为“等部复数”，则复数
在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】∵ ，又∵“等部复数”的实部和虚部相等，复数z为“等部
复数”，
∴ ，解得 ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴复数 在复平面内对应的点是 ，位于第四象限.
故选：D.
28．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）（多选）已知复数 满足
，则（ ）
A． B． 在复平面内对应的点位于第二象限
C． D． 满足方程
【答案】AD
【解析】对于A： ， ，故A正确；
对于B： 在复平面内对应的点位于第四象限，故B错误；
对于C： ，故C错误；
对于D： ，故D正确；．
故选：AD．
29．（2023·山西·校联考模拟预测）（多选）若复数 满足 ，则（ ）
A． 的虚部为 B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】BC
【解析】因为 ，
对于A， 的虚部为 ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D，z在复平面内对应的点 位于第一象限，故D错误；
故选：BC．
30．（2023·全国·高三专题练习） ____________
【答案】 /
【解析】 ， ，
.
故答案为：
1．（2023·山东聊城·统考模拟预测）若 在复数范围内分解为 ，则在复数平面
内，复数 对应的点位于（ ）
A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 ， 时， ， ，
所以 ；
当 ， 时， ，
综上，复数 对应的点位于虚轴上.
故选：B．
2．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）在复平面内，已知复数 对应的向量为 ，现
将向量 绕点 逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量 ，设 对应
的复数为 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】依题意， ，将向量 绕点 逆时针旋转90°所得向量坐标为 ，
，
则有 ，解得 ，因此 ，即 ，
所以 .
故选：A
3．（2023·北京延庆·统考一模）若 ，则“ ”是“复数 是纯
虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 ，
当 时，复数 ，是纯虚数；
复数 是纯虚数时，有 ，解得 .
则“ ”是“复数 是纯虚数”的充分必要条件.
故选：C
4．（2023春·上海嘉定·高三上海市育才中学校考阶段练习）复数z满足 ，则下列
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】结论正确的是（ ）
A． B．
C． 在复平面内对应的点位于第四象限 D．
【答案】D
【解析】由 可得 ，
所以 ，故A错误；
由 知 ，故B错误；
在复平面内对应的点 位于第三象限，故C错误；
由 知 ，故D正确.
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 满足 ，则复数 在复平面内对
应的点 所在区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 且 ，则 ，
所以 ，
所以复数 在复平面内对应的点 所在区域是圆 和圆
围成的圆环，
所以点 所在区域的面积为 .
故选：C.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 （ ， ），满足 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得， ，
又 ，所以 ，即有 ，
所以，点 在以 为圆心，1为半径的圆上，设圆心为 ，
则 ， ，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，所以， .
故选：D.
7．（2023·辽宁丹东·统考一模）（多选）在复平面内， 为坐标原点，复数 、 对应
的点 、 都在单位圆 上，则（ ）
A． 为直角三角形 B． 对应的点在单位圆 上
C．直线 与虚轴垂直 D．
【答案】BC
【解析】设 ，则 ，
因为复数 、 对应的点 、 都在单位圆 上，则 ，
所以， ，解得 ，所以， 或 .
对于A选项，由复数的几何意义可知 ，
所以， 为等边三角形，A错；
对于B选项，当 时， ，
则 ，
当 时， ，
则 ，
所以， 对应的点在单位圆 上，B对；
对于C选项，若 ，则 、 ，此时直线 与虚轴垂直，
若 ，则 、 ，此时直线 与虚轴垂直，C对；
对于D选项，当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，D错.
故选：BC.
8．（2023·吉林·统考三模）（多选）已知复数 ， ，下
列说法正确的是（ ）
A．若 纯虚数，则
B．若 为实数，则 ，
C．若 ，则 或
D．若 ，则m的取值范围是
【答案】ABC
【解析】对于A，复数 是纯虚数，则 ，A正确；
对于B，若 为实数，则 ，则 ， ，B正确；
对于C，若 ，则 ，则 ，
解得 或 ，C正确；
对于D，若 ，则 ，且 ，则 ，D错误，
故选：ABC
9．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）（多选）下列命题为真命题的是（
）
A．复数 的虚部为
B．在复平面内，复数 的共轭复数对应的点在第四象限
C．若 为虚数单位，n为正整数，则
D．若 ，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为
【答案】CD
【解析】选项A：复数 的虚部为 ，故A错误；
选项B：在复平面内，复数 的共轭复数为 ，
对应的点的坐标为 ， 位于第二象限，故B判断错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】选项C： ，故C判断正确；
选项D：设 ， ，对应的点的坐标为 ，由 得
，所以 在以原点为圆心1为半径的圆内（含圆周），在复平面内z对应的
点Z的集合确定的图形面积为 ，故D判断正确.
故选：CD
10．（2023·全国·高三专题练习）（多选）设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，
则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则z的虚部为－2i
B．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
C．若点Z坐标为（－1，3），且z是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的一个根，则p＋q
＝12
D．若 ，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
【答案】CD
【解析】A选项：因为 ，所以 的虚部为-2，故A错；
B选项：设 ，则 可以得到 ，即 ，有好多种情况，例如，
， ，此时 ，故B错；
C选项：若 的坐标为 ，则 ，又 是关于 的实系数方程 的
一个根，所以 ，所以 ，
解得 ， ，故C正确；
D选项：设 ，则 ，即 ，所以 的集合所构
成的图形为环形，如下所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以面积为 ，故D正确.
故选：CD.
11．（2023·全国·高三专题练习） __________．
【答案】 /
【解析】由 ， ， ，
， ， ，
则 ， ，
所以
，
故答案为： .
12．（2023·全国·高三专题练习）设 且 ，满足 ，则 的取值
范围为____．
【答案】
【解析】设 ，
，则 ，
所以 ，
，所以 ，
即 对应点 在以 为圆心，半径为 的圆 上.
， 对应点为 ，
与 关于 对称，
所以点 在以 为圆心，半径为 的圆 上，
表示 与 两点间的距离，
圆 与圆 相交，圆心距为 ，如图所示，
所以 的最小值为 ，最大值为 ，
所以 的取值范围为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
13．（2023·上海·高三专题练习）如果复数 满足 ， 那么 的最
大值是_____.
【答案】5
【解析】设 ， ，则 ，
变形为 ，两边平方后得到 ，
两边平方后得到 ，将 代入 ，
即 ，故 ，
则 ，
当 时， 取得最大值，最大值为5
故答案为：5
14．（2023·全国·高三专题练习）如果复数z满足 ，那么 的最大值是
______ ．
【答案】2 ＃＃ ＋2
【解析】设复数z在复平面中对应的点为
∵ ，则点 到点 的距离为2，即点 的轨迹为以 为圆心，半径为2的
圆
表示点 到点 的距离，结合图形可得
故答案为： ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
