文档内容
第 21 章 四边形
数学活动 黄金矩形与剪拼正方形
【素养目标】
1.理解黄金矩形原理，掌握剪拼正方形的方法.
2.体会数学与美学、实践的联系，提升动手与推理能力.
3.感悟古代数学思想，激发文化探究兴趣.
重点：黄金矩形验证、正方形剪拼操作.
难点：黄金矩形推导、剪拼方案创新.
【复习导入】
观察这些图片形中的矩形，有没有发现它们的形状看起来特别和谐、美观？
【合作探究】
活动1：黄金矩形
宽与长的比是 (约为 0.618) 的矩形叫作黄金矩形.
黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.
典例精析
例1 下面我们做一次折叠活动：
第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形，然后
把纸片展开.
第二步：如图②，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平.
第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图③中所示的AD处.
第四步：展平纸片，如图④，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE就是黄金矩形，你
能说明为什么吗？
第 1 页归纳总结：依据勾股定理计算边长，通过比例推导，验证黄金矩形满足宽、长比为
√5－1
，理解其美学与数学融合性.
2
活动2：剪拼正方形
例2 我国是最早了解勾股定理的国家之一.魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作
注中依据割补术而创造了勾股定理的无字证明“青朱出入图”.
归纳总结：“出入相补法”是古代数学智慧，借图形变换证明勾股定理，体现数学推
导的简洁与巧妙，可迁移用于图形剪拼.
当堂反馈
1.如图，当以黄金矩形ABCD的宽AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF时，
若AF＝√5－1，则AD的长为（ ）
A.2 B.4 C.2√5－2 D.3＋√5
2.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形 ABCD，分别取AB，CD的中点E，
第 2 页F，连接 EF；以点 E 为圆心，以 ED 为半径画弧，交 BA 的延长线于点 G；作
GH⊥CD，交CD的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A.矩形BCHG B.矩形EFCBC.矩形ADHG D.矩形EFHG
第2题图 第3题图
3.“出入相补”原理是中国古代几何学基本原理之一，由魏晋时期的数学家刘徽提出的，
运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就.
如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形 ABCD，
BEFG，AHIG均为正方形.
（1）若S ＝10，AE＝4，则S ＝（ ）
正方形AHIG △GFI
3
A. B.14 C.6 D.3
2
（2）若AH＝13，BG＝12，则△AJD与△GIF的面积之和等于 .
参考答案
第 3 页【合作探究】
典例精析
1
例1 解：∵正方形BCNM的边长为2，正方形BCNM沿AF对折，∴AC＝ NC＝1.
2
在△ABC中，∵BC＝2，AC＝1，∴AB＝√AC2＋BC2＝√5.
CD √5－1
∵AD＝AB＝√5，∴CD＝AD－AC＝√5－1.∴ ＝ .
BC 2
∴矩形BCDE就是黄金矩形.
例2
解：如图所示，连接大正方形的一条对角线DE，
可知S ＝S ＋S ＋S ，
梯形ACDE △ABE △BDE △DBC
1 1 1 1
其中，S ＝ （a＋b）（a＋b），S ＝ ab，S ＝ c2，S ＝ ab，
梯形ACDE 2 △ABE 2 △BDE 2 △DBC 2
1 1 1 1
代入可得 （a＋b）2＝ ab＋ c2＋ ab，即a2＋b2＝c2.
2 2 2 2
当堂反馈
1. A 2. C
845
3.（1）A （2）
24
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