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21.3.2 菱形（第 2 课时）
知识点1：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
1．添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB=CD B．AC=BD C．AB=BC D．∠BAD=90°
【答案】C
【分析】根据菱形的判定逐个进行证明，再进行判断即可．
【详解】解：A、▱ ABCD中，本来就有AB=CD，故本选项错误；
B、▱ ABCD中，对角线AC=BD，可判断平行四边形ABCD成为矩形，故本选项错误；
C、▱ ABCD中，AB=BC，可利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，判定 ▱ABCD是菱形，故本选项正
确；
D、▱ ABCD中，一个内角∠BAD=90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相
等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
2．（2023年西藏）如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知∠ABC=60°，则阴影部分的面积
是（ ）
9 9√3
A． B．3√3 C． D．6√3
2 2
【答案】D
【分析】首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB=BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案．
【详解】过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE=BF=3，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴AB=2AE，BC=2CF，
∵AB2=AE2+BE2，BE=3，
∴AB=2√3，
同理： BC=2√3，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD=2√3，
∴S =AD×BE=6√3．
菱形ABCD
故选：D．
3．（2021年北京）如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，AF=EC．只需添加一个条件即可证
明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】AF=AE（答案不唯一）
【分析】由题意易得四边形AECF是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∵AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，若要添加一个条件使其为菱形，则可添加AF=AE或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一组邻边相等的
平行四边形是菱形；
故答案为AF=AE（答案不唯一）．
4．（2023年陕西）如图，已知四边形ABCD，AD∥BC．请用尺规作图法，在边AD上求作一点E，在边BC
上求作一点F，使四边形BFDE为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
【详解】解：如图，点E，F即为所求．
理由：设EF,BD交于点O，
根据作法得：OB=OD,EF⊥BD，
∴DE=BE，
∵AD∥BC，
∴∠ODE=∠OBF,∠OED=∠BFO，
∴△ODE≌△OBF，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE为平行四边形，
∵DE=BE，
∴四边形BFDE为菱形．
5．（2022年湖南岳阳）如图，点E，F分别在▱ ABCD的边AB，BC上，AE=CF，连接DE，DF．请从以下
三个条件：①∠1=∠2；②DE=DF；③∠3=∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使 ABCD为菱形．
▱
(1)你添加的条件是______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明▱ ABCD为菱形．
【详解】（1）解：添加的条件是∠1=∠2（或∠3=∠4）．故答案为：①（或③）．
（2）证明：（添加的条件是∠1=∠2）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
在△ADE和△CDF中，
¿，
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴AD=CD，
∴ ABCD为菱形．
▱
（添加条件∠3=∠4）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
在△ADE和△CDF中，
¿，
∴△ADE≌△CDF(ASA)，
∴AD=CD，
∴ ABCD为菱形．
▱
6．（2024年内蒙古）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF，连接BF，点O为BF的中点，
AO的延长线交边BC于点E，连接EF
(1)求证：四边形ABEF是菱形：
(2)若平行四边形ABCD的周长为22,CE=1,∠BAD=120°，求AE的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,即AF∥BE,
∴∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA,
∵O为BF的中点，
∴BO=FO,
∴△AOF≌△EOB，
∴BE=FA,∵AF∥BE,
∴四边形ABEF是平行四边形，
又AB=AF,
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：∵AD=BC,AF=BE,
∴DF=CE=1,
∵平行四边形ABCD的周长为22，
∴菱形ABEF的周长为：22−2=20,
∴AB=20÷4=5,
∵四边形ABEF是菱形，
1 1
∴∠BAE= ∠BAD= ×120°=60°,
2 2
又AB=AE,
∴△ABE是等边三角形，
∵AE=AB=5．
知识点2：四条边相等的四边形是菱形.
7．（2022年浙江嘉兴）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
小洁：
∴AC垂直平分BD．
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件
才能证明．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
【详解】解：赞成小洁的说法，补充AB=CB.
证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AB=CB，
∴AB＝AD=CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．8．（2025年宁夏）如图，点P在直线l外．
①在直线l上任取一点A，连接AP；
②以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B；
1
③分别以点P和点B为圆心，以大于 BP的长为半径画弧，两弧在∠BAP内交于点Q，作射线AQ；
2
④以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C；
⑤连接CB,CP．
(1)由②得AP与AB的数量关系是__________；由③得到的结论是__________．
(2)求证：四边形ABCP是菱形．
【详解】（1）解：∵以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B，
∴AP=AB，
∵步骤③是作角平分线的尺规作图方法，
∴射线AQ平分∠BAP．
故答案为：AP=AB；射线AQ平分∠BAP．
（2）证明：∵以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B，
∴AP=AB，
∵射线AQ平分∠BAP，
∴∠BAC=∠PAC；
在△ABC和△APC中，
¿，
∴△ABC≌△APC(SAS)，
∴BC=PC，
又∵以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C，
∴PA=PC，
∴AP=AB=BC=PC，
∴四边形ABCP是菱形．
9．（2024年四川广元）如图，已知矩形ABCD．(1)尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接AE、CF．求证：四边形AFCE是菱形．
【详解】（1）解：如图1所示，直线EF为所求；
（2）证明：如图2，设EF与AC的交点为O，
由（1）可知，直线EF是线段AC的垂直平分线．
∴EA=EC，FA=FC，∠COE=∠AOF=90°，OA=OC，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠ECO=∠FAO，
∴△COE≌△AOF(ASA)，
∴EC=FA，
∴EA=EC=FA=FC，
∴四边形AFCE是菱形．
知识点3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
10．（2022年湖北襄阳）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
【答案】D
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
1 1
∴OA=OC= AC，OB=OD= BD，
2 2
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
11．（2025年黑龙江龙东地区）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，请添加一个条
件 ，使平行四边形ABCD为菱形．
【答案】AB=AD(或AC⊥BD，答案不唯一）
【分析】本题考查添加条件使平行四边形为菱形，根据菱形的判定方法，添加条件即可．
【详解】解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：AB=AD；
根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：AC⊥BD；
故答案为：AB=AD(或AC⊥BD，答案不唯一）．
12．（2023年湖南湘西）如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M，N，连
接MD,BN．(1)求证：∠DMN=∠BNM；
(2)若∠BAC=∠DAC．求证：四边形BMDN是菱形．
【详解】（1）证明：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵BM∥DN，
∴∠MBO=∠NDO，
又∠BOM=∠DON，
∴△BOM≌△DON，
∴BM=DN，
∴四边形BMDN为平行四边形，
∴BN∥DM，
∴∠DMN=∠BNM；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BCA=∠DAC，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．13．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题关键．
根据对角线互相垂直或邻边相等的平行四边形是菱形，逐项判断是否能使得对角线垂直或邻边相等即可．
【详解】解：A：由等角对等边，可知邻边相等，可以说明是菱形；
B：180°− ，故3由0°图中−6数0°据可=9知0°对角线垂直，可以说明是菱形；
C：根据图中数据，只能说明对边平行，不能说明是菱形；
D：通过平行四边形的性质，可以推出所给角的内错角也为60°，即由对角线分成的两个三角形为等边三
角形，故邻边相等，可以说明是菱形，
故选：C．
14．（2025年四川遂宁）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，且
AF⊥AB，CE⊥CD．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)连接AE，CF，若∠ABD=30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【详解】（1）证明：∵AF⊥AB，CE⊥CD，
∴∠BAF=∠DCE=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
∵BE=EF=FD，
∴BF=DE，
∴△ABF≌△CDE(AAS)；
（2）解：四边形AECF是菱形，理由如下：
∵△ABF≌△CDE，∴AF=CE，∠AFB=∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
在直角三角形ABF中，∵∠ABD=30°，
1
∴AF= BF，
2
在直角三角形DCE中，∵EF=DF，
1
∴CF= DE，
2
∵BF=DE，
∴AF=CF，
∴四边形AECF是菱形.
15．如图，已知平行四边形ABCD，AB=4，AD=6，∠B=60°，M、N分别是AD、BC上的点，将四边形沿
MN对折，使B点和D点重合，则折痕MN= ．
√57
【答案】
2
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理、折叠的性质、含30度直角三角形的性质及菱形的性
质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、勾股定理、折叠的性质、含30度直角三角形的性质及菱形的性质
与判定是解题的关键；过点B作BE⊥AD于点E，连接BD，BM，BD与MN交于点O，由折叠的性质可知：
1
BN=DN，BM=DM，∠BMN=∠DMN，MN垂直平分BD，即OB=OD= BD，MN⊥BD，由题意易得
2
AD∥BC，则有∠EAB=∠ABC=60°，∠DMN=∠BNM，然后可得四边形BMDN是菱形，DE=AE+AD=8，进而根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：过点B作BE⊥AD于点E，连接BD，BM，BD与MN交于点O，如图所示：
1
由折叠的性质可知：BN=DN，BM=DM，∠BMN=∠DMN，MN垂直平分BD，即OB=OD= BD，MN⊥BD，
2
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=4，AD=6，∠ABC=60°，
∴AD∥BC，
∴∠EAB=∠ABC=60°，∠DMN=∠BNM，
∴∠AEB=30°，∠BMN=∠BNM，
1
∴AE= AB=2，BE=√AB2 −AE2=2√3，BM=BN=DN=DM，
2
∴四边形BMDN是菱形，DE=AE+AD=8，
1
∴OM=ON= MN，BD=√DE2+BE2=2√19，
2
1
∴OB= BD=√19，
2
设AM=x，则有EM=2+x，DM=AD−AM=6− x=BM，
∴在Rt△BEM中，由勾股定理可得：(2√3) 2+(2+x) 2=(6− x) 2，
5
解得：x= ，
4
5 19
∴BM=6− = ，
4 4
∴在Rt△BOM中，由勾股定理可得：OM=√BM2 −OB2=
√57
，
4
√57
∴MN=2OM= ；
2
√57
故答案为 ．
2
