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第 20 章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第 3 课时 利用勾股定理作图或计算
【素养目标】
1. 理解直角三角形三边的关系，会应用勾股定理解决直角三角形全等判定定理
的证明。
2. 利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点。(重点)
3. 理解实数与数轴的一一对应关系，在比较复杂的图形中利用勾股定理进行计
算.(难点)
4. 在数学活动中培养探究意识和合作交流的习惯，并体会勾股定理的应用价值。
【情境导入】
欣赏下面图片：
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺形”图案，如第七届国际数学教育大
会的会徽。这个图是怎样绘制出来的呢？
【合作探究】
探究点1：勾股定理的认识与证明
思考：在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，学习了勾股定理后，
你能证明这一结论吗？
已 知 ： 如 图 ， 在 Rt △ABC和 Rt △A′B′C′ 中 ，
∠C = ∠C′=90∘, AB = A′B′,AC = A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′ .
第 1 页探究点2: 利用勾股定理在数轴上表示实数
问题1: 我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理
数。你能在数轴上分别画出表示 3，-2.5 的点吗？
问题2：求下列直角三角形的各边长。
问题3: 能否找到这样的三角形，满足斜边为√13 ，直角边均为整数？
思考：根据上面问题你能在数轴上画出表示 √13 的点吗？
作法：
第 2 页问题4: 你能在数轴上画出表示 √2 的点吗？−√2 呢？
【类比迁移】
类似地， 利用勾股定理可以作出长为 √2,√3,√5⋯ 线段。
“数学海螺”
【归纳总结】
利用勾股定理表示无理数的方法：
(1)利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边。
(2)以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的
点表示是负无理数， 在原点右边的点表示是正无理数。
【典例精析】
例1 如图，数轴上点 A 所表示的数为 a ，求 a 的值。
【练一练】
1.如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3 ， AD = 1 ，AB在数轴上，若以点 A 为
圆心，对角线 AC 的长为半径作弧交数轴于点 M ，则点M表示的数为
( )
第 3 页A. 2 B. √5−1 C. √10−1 D. √5
2. 你能在数轴上画出表示 √17 的点吗？
例2 在 5×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，请在给定网格中
以 A 出发分别画出长度为 √2,√5,√8 的线段 AB .
【练一练】
在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为 1，写出格点△ABC
各顶点的坐标，并求出此三角形的周长。
例3 如图，折叠长方形 ABCD 的一边 AD ，使点 D 落在 BC 边的 F 点处，若
AB = 8cm , BC = 10cm , 求EC的长。
第 4 页【变式题】
如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B
落在 CD 边上的 B′ 处，点 A 的对应点为 A′ ，且 B′C = 3 ，求 AM 的长。
【归纳总结】
折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法：
(1) 设一条未知线段的长为 x (一般设所求线段的长为 x )；
(2) 用已知线数或含 x 的代数式表示出其他线段长；
(3) 在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于 x的方程；
(4) 解这个方程，从而求出所求线段长。
第 5 页当堂反馈
1. 如图，在 Rt △ABC 中， ∠C=90∘ ，AC = 8 ，BC = 6 ，分别以点
A , B 为圆心，以 AB 长为半径画弧，两弧相交于点 D ，连接 AD , BD ，
则 △ABD 的周长为( )
A. 18 B. 24 C. 12√3 D. 30
第1题图 第2题图
2. 如图，A(12,0) ，C(−1,0) ，以点 A 为圆心，AC 长为半径画弧交 y 轴正
半轴于点 B ，则点 B 的坐标为 ( )
A. (0,2) B. (0,3) C. (0,4) D. (0,5)
3. 如图，长方形 OABC 的边 OA 长为2，边 AB 长为 1 , OA 在数轴上，以原
点 O 为圆心，对角线 OB 的长为半径画弧，交数轴上原点右侧于一点，则这个
点表示的实数是 _______ .
第 6 页参考答案
探究点1：勾股定理的认识与证明
思考：证明：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∠C′= 90∘ ，
根据勾股定理，BC= √AB2 −AC2, B′C′= √A′B′2 −A′C′2.
又 AB = A′B′,AC = A′C′ , ∴ BC = B′C′ .
∴ △ABC≌△A′B′C′ (SSS) .
问题1: 如下图所示
问题2： 1 √5
问题3: 长为 √13 的线段能是直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？
思考：如图所示
作法：
1. 在数轴上找到点 A ，使 OA = 3 ;
2. 作直线 l⊥OA ，在 l 上取一点 B ，使 AB = 2 ;
3. 以原点 O 为圆心，以 OB 为半径作弧，弧与数轴交于 C 点，则点 C 即为
表示 √13 的点。
问题4:
例1 解：∵ 图中的直角三角形的两直角边长为 1 和 2,
∴ 斜边长为 √22+12=√5 ，即 -1 到 A 的距离是 √5 ，
∴ 点 A 所表示的数为 √5−1 .
【练一练】 1. C.
2.
第 7 页例2
【练一练】 解：由题图得 A(2,2),B(−2,−1) , C(3,−2) .
由 勾 股 定 理 得 AB = √42+32 = 5 ,
AC = √12+42 = √17 , BC = √12+52 = √26,
∴ △ABC 的周长为 5+√17+√26 .
例3 解：在Rt △ABF 中，由勾股定理得 BF2=AF2 −AB2=102 −82=36 ,
∴BF = 6cm.∴CF = BC−BF = 4cm . 设 EC= x cm ， 则
EF = DE = (8− x) cm ,
在Rt △ECF 中，根据勾股定理得 x2+42 = (8− x) 2 ，解得 x = 3 .
即 EC 的长为 3cm .
【变式题】解：连接 BM , MB′. 设 AM = x ，
在Rt △ABM 中， AB2 + AM 2 = BM 2 .
在Rt △MDB′ 中， MD2+DB′ 2=MB′ 2 .
∵MB = MB′ ,∴ AB 2+AM 2 = MD 2 + DB′ 2 ,
即 922+x2 = (9− x) 2+(9−3) 2 ，解得 x = 2 . 即 AM = 2 .
当堂反馈
1. D. 30
2. D. (0,5)
3. √5 .
第 8 页
