第51讲二项式定理（精讲）一轮复习讲义2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第 51 讲 二项式定理（精讲） 题型目录一览 ①二项展开式中的特定项问题 ②二项式系数问题 ③二项展开式中各项系数的和问题 ④三项展开式的问题 ⑤两个二项式乘积展开式的系数 ⑥赋值法 一、知识点梳理 一、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 1.二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有： ， (ab)n 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做 的二项展开式． 式中的 做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 项： ， 其中的系数 （r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， 2.二项式 的展开式的特点： ①项数：共有 项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第 项的二项式系数为 ，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 ．字母 降幂排列，次数由 到 ；字母 升幂排列，次 数从 到 ，每一项中， ， 次数和均为 ； ④项的系数：二项式系数依次是 ，项的系数是 与 的系数（包括二项式系 数）．3.两个常用的二项展开式： ① (ab)n C n 0anC n 1an1b  (1)rC n ranrbr  (1)nC n nbn （nN* ） (1x)n 1C1xC2x2 Crxr xn ② n n  n  4.二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： 公式特点：①它表示二项展开式的第 项，该项的二项式系数是C n r ； ②字母 的次数和组合数的上标相同； ③ 与 的次数之和为 ． Cranrbr Crbnrar 注意：①二项式 的二项展开式的第r+1项 n 和 的二项展开式的第r+1项 n 是有 区别的，应用二项式定理时，其中的 和 是不能随便交换位置的． T (1)rCranrbr ②通项是针对在 这个标准形式下而言的，如 的二项展开式的通项是 r1 n （只 需把 看成 代入二项式定理）． 二、二项式展开式中的最值问题 1.二项式系数的性质 ①每一行两端都是 ，即 ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 ． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 ． ③二项式系数和令 ，则二项式系数的和为 ，变形式 ． ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令 ， 则 ， 从而得到： ． ⑤最大值：如果二项式的幂指数 是偶数，则中间一项 的二项式系数 最大； 如果二项式的幂指数 是奇数，则中间两项 ， 的二项式系数 ， 相等且最大． 2.系数的最大项 求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为 ，设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来． 三、二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例： abn C0an C1an1bC2an2b2 Cranrbr  Cnbn （1）设 n n n  n  n ， 二项式定理是一个恒等式，即对 ， 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取 ， 的 值． ①令 ab1 ，可得： 2n C n 0 C n 1   C n n 0C0C1C2C3 1nCn ②令 ，可得： n n n n n，即： C n 0 C n 2   C n n C n 1 C n 3  C n n1 （假设 n 为偶数），再结合①可得： C0 C2  Cn C1 C3 Cn1 2n1 n n  n n n  n ． （2）若 ，则 ①常数项：令 ，得 ． ②各项系数和：令 ，得 ． 注意：常见的赋值为令 ， 或 ，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 【常用结论】 奇数项的系数和与偶数项的系数和 ①5当 为偶数时，奇数项的系数和为 ；偶数项的系数和为 ． （可简记为： 为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） ②当 为奇数时，奇数项的系数和为 ； 偶数项的系数和为 ． （可简记为： 为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若 ，同理可得． 二、题型分类精讲 题型 一 二项展开式中的特定项问题 策略方法 形如(a＋b)n的展开式问题 二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项 展开式中的特定项的关键点如下： ①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式T ＝Can－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项． r＋1 ②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式 (组)． ③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项． 【典例1】（单选题）已知 的展开式中的常数项为 ，则实数 （ ） A．2 B．-2 C．8 D．-8 【典例2】（单选题）二项式 展开式中含x项的系数是（ ） A． B． C． D． 【题型训练】 一、单选题1．在 的展开式中，第四项为（ ） A．160 B． C． D． 2． 展开式中的常数项为－160，则a＝（ ） A．－1 B．1 C．±1 D．2 3． 的展开式中 的系数为（ ） A．40 B． C．80 D． 4．已知 的展开式中的常数项是672，则 （ ） A． B． C．2 D．1 5．二项式 的展开式中的常数项为（ ） A．1792 B．－1792 C．1120 D．－1120 6．若 展开式中含有常数项，则n的最小值是（ ） A．2 B．3 C．12 D．10 7． 的展开式中 的系数是126，则 （ ） A．2 B．4 C．1 D．3 二、填空题 8．二项式 的展开式中的常数项为 . 9． 的展开式的第8项的系数为 （结果用数值表示）. 10．二项式 的展开式中的常数项是 .11．若在 的展开式中，第4项是常数项，则 ． 12．设常数 ，若 的二项展开式中 的系数为144，则 ． 13．已知 的展开式中 的系数是 ，则 . 题型二 二项式系数问题 策略方法 二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝2n． 【典例1】（单选题） 展开式中的各二项式系数之和为 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（单选题）若 二项展开式中的各项的二项式系数只有第 项最大，则展开式的常数 项的值为（ ） A． B． C． D． 【题型训练】 一、单选题 1． 的展开式中二项式系数最大的项是（ ） A．160 B．240 C． D． 2．已知二项式 的展开式中仅有第 项的二项式系数最大，则 为（ ） A． B． C． D． 3．已知 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的 项的系数为（ ）A．―4 B．84 C．―280 D．560 4．若 的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则 的展开式中的常数项为 （ ） A．6 B．8 C．28 D．56 5．若 的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 6．二项式 的展开式中，含 项的二项式系数为（ ） A．84 B．56 C．35 D．21 二、填空题 7．若 展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为 . 8．若 的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中 的系数为 . 9． 的展开式中含 项的二项式系数为 . 10． 的展开式中二项式系数最大的项是 . 11．已知 的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含 的系数为 . 12．已知 的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则 . 题型三 二项展开式中各项系数的和问题 策略方法 常用赋值法，参考题型六【典例1】（单选题）已知 的展开式中所有项的系数之和为256，则 （ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【题型训练】 一、单选题 1．若 的展开式中常数项等于 ，则其展开式各项系数之和为（ ） A．1 B．32 C．0 D．64 2．已知 的展开式中所有项的系数和为512，则展开式中的常数项为（ ） A．－756 B．756 C．－2268 D．2268 3．已知 的展开式中各项系数之和为0，则展开式中 的系数为（ ） A．28 B．-28 C．45 D．-45 4．已知 的二项展开式中，第 项与第 项的系数相等，则所有项的系数之和为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知 的展开式中，各项系数之和为 ，则二项式系数之和为 . 6．在 的展开式中，二项式系数和是16，则展开式中各项系数的和为 ． 7．已知 的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为 ． 8．已知 的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中 的系数为 ． 9．在 的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为 ，则二项展开式中的常数项为 .10．在 的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为 ． 题型四 三项展开式的问题 策略方法 求三项展开式中某些特定项的系数的方法 (1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． (2)两次利用二项式定理的通项公式求解． (3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式 之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量． 【典例1】（单选题） 的展开式中， 的系数为（ ） A．80 B．60 C． D． 【题型训练】 一、单选题 1． 的展开式共（ ） A．10项 B．15项 C．20项 D．21项 2．在 的展开式中， 的系数是（ ） A．24 B．32 C．36 D．40 3． 的展开式中的常数项为（ ） A．588 B．589 C．798 D．799 4． 的展开式中含 的项的系数为（ ） A． B．60 C． D．30 5．已知 展开式的各项系数之和为 ，则展开式中 的系数为（ ） A．270 B． C．330 D．6．已知 的展开式中 的系数为 ，则实数 （ ） A． B． C． D． 7． 的展开式中 的系数为12，则 （ ） A． B． C． D． 二、填空题 8． 展开式中， 项的系数为 . 9．在 的展开式中， 的系数为 ． 10． 的展开式中，含 的项的系数为 ． 11． 展开式中常数项是 .（答案用数字作答） 12．已知二项式 的展开式中含 的项的系数为 ，则 ． 13．在 的展开式中， 项的系数为 . 题型 五 两个二项式乘积展开式的系数 策略方法 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋ d)m，然后展开分别求解． (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2． (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．【典例1】（单选题） 的展开式中含 项的系数为（ ） A．10 B．12 C．4 D．5 【题型训练】 一、单选题 1． 的展开式中， 的系数为（ ） A．200 B．40 C．120 D．80 2． 的展开式中各项系数之和为 ，则该展开式中常数项为（ ） A． B． C． D． 3．已知 展开式中 的系数为48，则实数 （ ） A．1 B． C．2 D． 4． 的展开式中含 的系数为（ ） A．1872 B．792 C．495 D． 5．一组数据按照从小到大顺序排列为1，2，3，4，5，8，记这组数据的上四分位数为n，则 展开式中的常数项为（ ） A．12 B． C．8 D．10 6．已知 的展开式中 的系数为80，则a的值为（ ） A． B． C．1 D．2 7． 的展开式中 的系数为（ ） A．18 B．135 C．540 D．12158． 的展开式中 的系数为 ，则实数 （ ） A．2 B．1 C． D． 二、填空题 9．在 的展开式中， 的系数为 ． 10．在 的展开式中含 项的系数是 . 11．已知 的展开式中的常数项为240，则 ． 12．已知 的展开式中的常数项为240，则展开式中 项的系数为 . 13．已知 （ 为常数）的展开式中各项系数之和为 ，则展开式中 的系数为 ． 14． 展开式中 的系数是 . 15．在 的展开式中，系数最大的项为 . 题型六 赋值法 策略方法 赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有 关系数和题的关键点如下： ①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1,0,1等． ②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值． ③求值，根据题意，得出指定项的系数和． 【典例1】（单选题） ，则 （ ） A．41 B．40 C． D． 【题型训练】一、单选题 1． ，则 （ ） A．41 B．40 C． D． 2．若 ，则 （ ） A．1 B．513 C．512 D．511 3．若 ，则 （ ） A．1 B．-1 C．15 D．-15 4．设 ，则 （ ） A． B． C． D． 5．若 ，则 （ ） A．257 B．129 C． D． 6．若 ，且 ， 则实数 的值可以为（ ） A．1或 B． C． 或3 D． 7．若 则 （ ） A． B． C． D． 8． 的展开式中 的奇数次幂项的系数之和为64，则含 项的系数为（ ） A． B．28 C． D．35 9．已知 的展开式中 的系数为25，则展开式中 的偶次方的系数和为（ ） A．16 B．32 C．24 D．48 10．已知 ，则下列描述正确的是 （ ）A． B． 除以5所得的余数是1 C． D． 二、填空题 11．已知 ，则 ． 12．若 ，则 . 13．已知 的二项展开式中，偶数项的二项式系数之和为16，则展开式中 的系数为 ． 14．若 ，则 .（用数字作答） 15．已知 ，则 ． 16．已知 ,则 .（用数字作答） 17．记 ，则 ． 18．设 ，则 的值为 . 19．若 ， = .