文档内容
20.1（第 1 课时）勾股定理（原卷版）
目 录
类型一、用勾股定理解三角形..................................................................................................................................1
类型二、两点间的距离公式......................................................................................................................................7
类型三、勾股数问题..................................................................................................................................................9
类型四、勾股定理与折叠问题................................................................................................................................10
类型五、勾股定理的证明方法................................................................................................................................13
类型一、用勾股定理解三角形
1．如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板宽度 为 ，支架脚 的长度
为 ，当 且 平分 时，则点 到 的距离是( )
A． B． C． D．
2．如图，在 中， ， ，作 的中垂线 交 于点 ，连接 ，若 ，
则 的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
3．《算法统宗》中有一道题目，大致意思是：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽
及其对角线之和为50步，求该田有多少亩．”若设长方形田的宽为x步，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图， 中， ，其中点D为 的中点．若 ，则阴影部分的面积是（ ）A．30 B．35 C．60 D．65
5．如图，在 中， 于点D，且 ，则 的长为（ ）
A．30 B．24 C．18 D．32
6．如图，四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，且 ．若 ， ，则
的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在 中， ， ，中线 ，则BD长为（ ）
A．3．5 B． C． D．4
8．一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，则它的斜边长为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
9．如图，在直角坐标系中， 是等边三角形，若B点的坐标是 ，则A点的坐标是（ ）A． B． C． D．
10．在 中， ， ， ， ， 平分 ，则 的值为（
）
A． B． C． D．
11．如图，在 中， ， ， ， ，则 长（ ）
A．2 B．6 C．7 D．8
12．已知一个直角三角形的两直角边长分别为1和2，则第三边长是（ ）
A．3 B． C． D．1
13．小明画了一个如图所示的四边形 ，若 ， ，连结 ， ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．
14．若一个三角形三个内角度数之比为 ，则此三角形的三条边之比为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在 中， ，若 ， ，则 的长是（ ）A．18 B． C．12 D．8
16． 为等边三角形，如图，以点 为坐标原点， 所在直线为 轴，过点 作 的垂线为 轴，
建立平面直角坐标系，若 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在四边形 中， 平分 ， ， ， ．则 的长为
．
18．如图，在 中， 的平分线交 于点E，过点C作 ，
垂足为D，连接 ，则 的面积是 ．
19．如图，在 中， ， 边的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，若 ，
，则 的周长为 ．20．在 中， ， 是斜边 上的高， ， ，则 的长为 ．
21．如图， 在 中， ， ， ，求 的长．
22．如图，在 中， ， ， 的垂直平分线 交 于点D，连接 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
23．如图，等腰直角三角形 中，点 在斜边 上，以 为直角边作等腰直角三角形 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，求 ．
24．如图，已知 中， ， ， ， 、 是 边上的两个动点，其中点
从点 开始沿 方向运动，且速度为每秒 ，点 从点 开始沿 方向运动，且速度为每秒
，它们同时出发，设出发的时间为 秒．
(1)当 秒时，求 的长（不要求化简）；(2)求出发时间为几秒时， 是等腰三角形？
(3)若 沿 方向运动，则当点 在边 上运动时，求能使 成为等腰三角形的运动时间．
25．已知直角三角形的两边 ， 满足 ．
(1)求 ， 的值；
(2)求这个直角三角形第三边的长度．
26．如图，在 中， ， ．
(1)尺规作图：在边 上作一点D，使得点D到边 与边 的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若 ，求 的长．
27．如图， 是 的高， ， 求 ．
28．已知：如图，在 中， ， ，垂足为 ．若 ， ，求 的长．
29．综合与实践
如图，在平面直角坐标系中，点 ，直线 经过点 ，且 满足 ，
连接 ．
(1)求点 的坐标．
(2)试判断 的形状，并说明理由．
(3)若动点 在直线 上运动，当 与 的面积之比为 时，直接写出点 的纵坐标．30．已知：如图，在 中， ，点 是高 上一点， ．若 ， ，
求 的长．
类型二、两点间的距离公式
31．若点 ， 可知 ，则 的最小值为
（ ）
A．4 B．5 C．2 D．3
32．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，点 是 的中点，若点
在 轴上，且 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
33．点 离原点的距离是（ ）
A．4 B．7 C．3 D．5
34．已知点 和 ，则线段 的长度为 ．
35．在坐标系中，点A，B，C的坐标分别为 ， ， ，那么点C到直线 的最短距离是
．
36．已知点A坐标为 ，则点A到原点的距离为 ．
37．如图， 的顶点 分别在第一，二象限内， ，则n的值为 ．38．点 到原点的距离是 ．
39．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，连接 ，以点 为圆心，
长为半径画弧交 轴负半轴于点 ，则点 的横坐标为 ．
40．已知点 ， ，点 是 轴上一动点，则 的最小值为 ．
41．在平面直角坐标系 中，若点P的坐标为 ，则 的长为 ．
∵ ，
∴ ．
故答案为：5．
42．在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ，则线段 的长为 ．
43．如图，已知 ， 两点的坐标分别为 、 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 轴负
半轴于点 ，则点 的坐标为 ．44．已知点 ，点 ，
(1)若点B在第四象限，求b的取值范围；
(2)若 ，求 的长；
(3)若 ，求b的值．
45．如图，在 中， ， ， ，点 是线段 的垂直平分线与 的交点，连
接 ．
(1)求 的长度；
(2)求 的长度．
46．在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ， ．
(1)在图中作出 关于y轴对称 ，点A，B，C的对应点分别为点 ， ， ；
(2)求 的周长．
类型三、勾股数问题
47．下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．7， 8，9 B．1， 1， 2 C．9， 12， 15 D．2， 3，4
48．当n为正整数时，下列各组数：① ， ， ；②5，6，7；③ ， ， ，其中是勾股数的是
（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
49．在下列各组数中，是勾股数的一组是( )
A．1，2，3 B．5，6，7 C． ， ， D．5，12，13
50．下列各组数中，是勾股数的一组为（ ）
A． ， ， B．1， ，2 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，10
51．下列各组数是勾股数的是（ ）A．1，1， B． ， ， C．2，12，14 D．8，15，17
52．下列四组数是勾股数的一组是（ ）
A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．5，12，13 D．1， ，3
53．下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）．
A．3，4，5 B．7，24，25
C．8，15，17 D．1，2，3
54．在下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，1， B．6，8，12 C．7，40，41 D．5，12，13
55．下列各组中的3个数是勾股数的是（ ）
A．4，5，6 B．0.3，0.4，0.5 C． ， ， D．3，4，5
56．下面各组数中，是勾股数的是 （填序号）．
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
（3） ， ， ；
（4） ， ， ．
57．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，
不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股
数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥
组勾股数为 ．
类型四、勾股定理与折叠问题
58．如图，在长方形 中， ， ，将此长方形沿 折叠，使点 与点 重合，则 的
长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
59．如图，长方形 中， ， ，把这个长方形折叠，使点 B 与点 D 重合， 是折痕，
的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
60．如图，在长方形 中， ， ，点 在 上，连接 ，将 沿着 翻折得到
，点 刚好落到长方形 的对角线 上，点 是 上一点，连接 ， ，若 ，
则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
61．如图，在长方形 中，E，F分别是 边上的点，将 沿 折叠，点B的对应点G恰
好落在 边上．若 ，则 的长为（ ）
A．1 B． C． D．
62．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 ， ，现将 折叠，使点B与点A重
合，折痕为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
63．如图所示的三角形纸片中， ．现将纸片进行折叠，使得顶点B落在 边上
的点D处，折痕为 ，则 的长为（ ）A．2.4 B．2.5 C．2.8 D．3
64．如图，已知ABCD是长方形纸片， ，在CD上存在一点E，沿直线AE将 折叠，D恰好落
在BC边上的点F处，且 ，则 的面积是（ ）．
A． B． C． D．
65．如图，长方形纸片ABCD， ，将长方形纸片折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，折
痕为 ，若 ， ，则 的长为 ．
66．在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点M是y轴上一点，将 沿
折叠，点B恰好落在x轴上的点 处，则点M的坐标为 ．
67．如图，在 中， ，点D在边 上．将 沿 折叠，使点C落在点
处，连接 ，则 的最小值为 ．68．如图，在长方形 中， ，在 上任取一点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
将 沿 折叠，当点 恰好落在 边上的点 处时，则 的长为 ．
69．如图，已知 中， ．现将 进行折叠，使顶点 重合．则
线段 ．
70．如图，在长方形 中， ，将 沿 翻折，得到 ，其中， 与 相交
于点 ，则 为
类型五、勾股定理的证明方法
71．我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一
个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于下列哪部著
名数学著作中（ ）A． B． C． D．
72．如图，以 的斜边 为直角边作等腰直角三角形 ，再作 ，交 的延长线于点
E．请利用面积相等证明勾股定理．
73．小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在 中，若 ， ， ，
，如图，根据勾股定理，则 ．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现
在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股
定理，试猜想 与 的关系，并证明你的结论．（下图备用）
74．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第 页的部分内容．
把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点 、 、 在同一条直线上，
利用此图的面积表示式证明勾股定理．
(1)请结合图①，写出完整的证明过程；(2)如图②，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，AB=2 ，P是射线BC上一点，以AP为直角边在AP边的
右侧作△APD，使∠APD=90°，AP=PD．过点D，作DE⊥BC于点E，当DE=4时，则BD=______．
75．综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三
角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于 ，另一种是等于四
个直角三角形与一个小正方形的面积之和．即 ，从而得到等式 ，化
简便得结论 ．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求
法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，
向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形 和 如图2放置，其三边
长分别为a，b，c， ，显然 ．
（1）请用a，b，c分别表示出四边形 ，梯形 ， 的面积，再探究这三个图形面积之间
的关系，证明勾股定理 ．
【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个
顶点，可得 ，直接写出 边上的高为 ；
（3）如图4，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 ，求x的值．1．如图，在 中， ， ，点D为 的中点，点E为 边上一点，将 沿
翻折，点A的对应点为 ，当 落在 内部（不包括边上）时， 的取值范围是______．（
）
A． B． C． D．
2．如图①，直角三角形的两个锐角分别是 和 ，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由
两个小正方形向外分别作锐角为 和 的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作
正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉
斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（ ）．
A．16 B．30 C．48 D．60
3．如图，在长方形 中， ， ，点 在 上，连接 ，将 沿着 翻折得到
，点 刚好落到长方形 的对角线 上，点 是 上一点，连接 ， ，若 ，
则 的值为（ ）A． B． C．1 D．
二、填空题
4． 是等边三角形，D是 边上的动点，以 为边在 右侧作等边 连接 ，F是 的
中点，连接 ，若 ，则 的最小值是 ．
1． 中， ， ，点D为直线 上一动点（点D不与B，C重合），以 为边在
右侧作四边形 ，使 ， ，连接 ．
(1)观察猜想
如图1，当点D在线段 上时，
① 与 的位置关系为 ；
② ， ， 之间的数量关系为 ；
(2)数学思考
如图2，当点D在线段 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请
你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸
如图3，当点D在线段 的延长线上时，延长 交 于点G，连接 ．若已知 ， ，
请求出 的长．
2．如图①，含 和 角的两块直角三角板 和 ， ，它们的斜边 与 重合
且 ，点 为 （ ）的中点，直角边 与 相交于点 ．(1)求 的长；
(2)当 绕着点 以每秒 的速度逆时针旋转 （ ）（如图②，直角边 与
的斜边 交于点 ，设旋转时间为 秒，当 为何值时， 为等腰三角形．
(3)在（2）的旋转过程中直角边 与 的斜边 交于点 ，求点 移动路径长．
3．如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点B在x轴负半轴上，且 ．
(1)点B的坐标为 ；
(2)如图2，在线段 上作出一点D（用直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）使点D到 的距离
等于 ，并求出点D的坐标；
(3)如图3，若点E为边 的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段 向点A匀速运
动，设点M运动的时间为t(秒)，在点M运动的过程中， 能否成为直角三角形？若能，求出此时t的
值，并写出相应的点M的坐标；若不能，请说明理由．
4．勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学
习了勾股定理之后，进行了如下探究．
【问题提出】
（1）如图①，在 中， ，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记
为 ， ， ，如果 ，求阴影部分的面积；
【深入探究】
（2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，
Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积；
【应用】
（3）如图③，在四边形 中， ，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，
若 ， ，求 的值．5．如图，长方形 中， ，点 分别在边 上，沿着 折叠长方形 ，
使点 分别落在 处．
(1)如图1，当 落在线段 的中点位置时，则 ；
(2)如图2，若点 与点 重合，连接 ，当线段 的值最小时， 的长度为 ．
6．已知点 ， 分别在矩形纸片 的边 、 所在直线上，连接 ，将矩形纸片 沿 折
叠，点 落在 处，点 落在 处．当 ， 时，请解决下列问题：
(1)如图 ，若点 恰好与点 重合， 与 相交于点 ，连接 、 ，求 的长；
(2)如图 ，若点 恰好在边 上时， 交 于点 ，且满足 ，求证： ；
(3)若点 在边 所在直线上，且满足 ，求 的长．
7．（1）如图，一条竹竿 长10米，斜靠在竖直的墙 上，这时竹竿的顶端到墙地面的距离为6米（
米），求 的值．
（2）在（1）的条件下，杆子的长度不变，杆子顶端下滑了1米（即 米），求杆子底部滑动的距离
（ 的长度）．
（3）如图， ，点 在 边上，点 在 边上，连结 和 ．求证：
．（4）如图，四边形 中， ，求 的值．
8．我们知道八年级教材中勾股定理的证明是借助“赵爽弦图”结合着图形的割补，并利用代数运算的方
式获得的，而在引发定理的思考时，引用了七年级教材中的内容，即在等腰直角三角形的情况下，可以将
以两直角边为边长的两个正方形作分割后直接填满在以斜边为边长的正方形中，进而猜测得到勾股定理的．
显然在证明与引例之间，思路上并不一致．由此引发了小明同学的思考：是否可以对任意的直角三角形，
也用引例中分割后直接填满的方法来证明勾股定理呢？
为了探究这个问题，小明制订了如下的探究方案：
1．设定直角三角形的较小直角边长为1，另一直角边长记为 ，则 ；
2．考虑一些特殊情况，如引例中 取1，可以再取 为2、3等；
3．设法获得一些经验或找到一些规律，进而探索 的一般情况：
4．获得完整的结论，并反思前面的探索证明中有无漏洞．
下面，请你和小明一起来探究吧．可仿照上述“分割并填满”的方式，在下列图示进行分割并标注清相应
区域的编号．
(1)如图1，此时 为2，设法将两个小正方形分割，再填满到大正方形中；
(2)如图2，此时 为3，设法将两个小正方形分割，再填满到大正方形中；
(3)如图3，此时 为大于3，设法将两个小正方形分割，再填满到大正方形中；(4)如果你完成了上述问题，你觉得是否对任意 的情况都作了证明吗？如果是，就此结束；如果不是，
那么还需要作哪些完善？
