文档内容
八下期末真题百题大通关（113 题 6 题型）（压轴版）
选填小压轴 解答压轴
题型一 面积问题 题型五 几何证明与计算大综合
题型二 多解问题 题型六 坐标系中的综合题
题型三 最值问题
题型四 多结论问题
题型一 面积问题
1．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图1，四边形 中， ， ，点 从点 出
发，以每秒 个单位长度的速度，沿路线A-B-C-D运动.设 点的运动时间为 ， 的面积为 ，当 运
动到 的中点时， 的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有 的全等三角形
纸片（如图① ）拼成一个正三角形 （如图②），即 ．
连接 ， ， ，若 长是2， 的面积是 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图， 中， ．分别以
为边在 的同侧作正方形 ，四块阴影部分的面积分别为，则 等于 ．
4．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图， 的面积为12，将 沿 方向平移到 处，
使点 与C重合，连结 交 于点D，则 的面积为 ．
5．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在 中，过 上的点 作 ， ， 、 、
、 均在平行四边形的边上，且 ， ，则四边形 的面积为 ．
6．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在六边形 中，已知 ， ，
， ，六边形 的面积
为 ．
7．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在正方形 中， ， ， ，
则 ．8．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在正方形 中，E是边 上一点，F是边 延长线上一点，
连接 ， ， ，若 ， ， ，则 的面积为
9．（24-25八年级上·重庆·期末）如图， ，射线 交线段 于点
于点 于点 平分 交 的延长线于点 ，连接 并延长交 的延长线于点 ．
若将点 沿 翻折，点 刚好落在 点处，此时 ，连接 ，则 的面积为
．
10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图 ，在平面直角坐标系中，等腰 在第一象限，且
轴，直线 从原点 出发沿 轴正方向平移，在平移过程中，直线被 截得的线段长度 与直线在
轴上平移的距离 的函数图象如图 所示，那么 的面积为11．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，点 在直线 上，过点 作 轴，交直线
于点 ，以点 为直角顶点， 为直角边在 的右侧作等腰直角 ，再过点 作
轴，分别交直线 和 于 、 两点，以点 为直角顶点， 为直角边在 的右侧
作等腰直角 ，…，按此规律进行下去．
（1）等腰直角 的面积为 ，
（2）等腰直角 的面积为 ．
题型二 多解问题
12．（24-25八年级上·河南郑州·期末）在直角三角形 中， ， ， ， ，
点 是 边上的一点（不与 、 重合），连接 ，将 沿 折叠，使点 落在点 处．当
是直角三角形时， 的长为 ．
13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为
该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边 分别在坐标轴上，点 的
坐标是 ．在正方形 的边上找一点 ，使得 是 边上的“完美三角形”，点P的坐标为
．
14．（22-23八年级上·江西吉安·期末）如图，直线 与 轴和 轴分别交与A、 两点，射线
于点A，若点 是射线 上的一个动点，点 是 轴上的一个动点，且以 、 、A为顶点的三
角线与 全等，则 的长为 ．
15．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 ：
交于点A，直线 与x轴交于点B，直线 ： 过点 ，点C是横轴上任意一点，满
足： 是等腰三角形的点C坐标是 ．16．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，
．给出如下定义：若点 先向上平移 个单位（若 ，即向下平移 个单位），再
向右平移3个单位后的对应点Q在 的内部或边上，则称点P为 的“平移关联点”．若直线
上的一点P是 的“平移关联点”，且 是等腰三角形，则点P的坐标为 ．
17．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的四个顶点都在坐标
轴上，其中 ， ，对角线 相交于原点 ，若一次函数 的图象将菱形
分成面积之比为 的两个平行四边形，则直线的解析式为 ．
18．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在 中， ， ，点D是直线
上一点，连接 ， ，点E是线段 的中点，连接 ，以 为边作正方形 （点
C，E，F，G按逆时针方向排列），则 的面积为 ．
题型三 最值问题
19．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 分别交 轴、
轴于 、 两点，若 为 轴上的一动点，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
20．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与
轴交于点 ，点 是线段 的中点，点 是 轴上的一个动点，连接 ，以 为直角边，点 为直角
顶点作等腰直角 ，连接 ．则 长度的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
21．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为 ，
底面周长为 ，在盒子外壁离上沿 的点 处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部 的点 处有
一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点 处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（ ）
A． B． C． D．
22．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知 和 四点在同一条直线上，
，且 ，现将 沿直线 方向左右平移，则平移过程中
的最小值为（ ）A． B． C． D．
23．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在 中， ， ， ．如果D、E
分别为 、 上的动点，那么 的最小值是（ ）
A． B．5 C． D．6
24．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点
A，点 在第一象限，线段 上有一点 ，点P为x轴上一动点，连接 ， ，当
的值最小时，点P的坐标为 ，此时 的最小值为 ．
25．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线 分别与x轴、y轴相交于点M，N．点P在平面
内． ，点 ，则 长度的最大值是 ．26．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，等腰 的底边 ，面积为189，点 在边 上，
且 ， 是腰 的垂直平分线，若点 在 上运动，则 周长的最小值为 ．
27．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）如图，在 中， ， ， 平分 ，
若 、 分别是 、 上的动点，则 的最小值是 ．
28．（23-24八年级上·四川成都·期末）在 中， ， ， ， ， 分别为射
线 与射线 上的两动点，且 ，连接 ， ，则 最小值为 ； 的最
大值为 ．
29．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在 中， ， ， ，点 是
边 上两动点，连接 ，CE．若 ，则 周长的最小值为 ．
30．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在菱形 中， ， ，E，F分别为边
和 的中点，连接 ，点P是 上一动点，则 的最小值为 ．31．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，对折长方形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，
把纸片展平后再次折叠，使点A落在 上的点 处，得到折痕 ， 与 相交于点N．若直线
交直线 于点O， ， ，点Q是折痕 上的一个动点，则 的最小值为 ．
32．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形 中， ， ， ，点
、 分别是边 、 上的动点．连接 、 ，点 为 的中点，点 为 的中点，连接 ，
则 的最小值为 ．
33．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ，C为平面内一点且
，连接 ，点P为 的中点，则 的最大值为 ．
34．（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，在平行四边形 中， ， ，点 是 边
上的动点，连接 ， ， 是 的中点， 是 的中点，则 的最小值是 ．
35．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系 中，平行于x轴的直线 ， 分别交
轴于 ， 两点．若 的三个顶点分别在 和 轴三条直线上，且满足 ，，则线段 的最大值为 ；当点 在 轴上时，取 的中点 ，点 的坐标为 ，
连接 ，则 的最小值为 ．
36．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，若点 是某个正方形的两个对角顶点，则称 互
为“正方形关联点”，这个正方形被称为 的“关联正方形”，已知点 ，点 在直线
上，正方形 是点 的“关联正方形”， 顶点 到直线 的距离分别为
，则 的最小值为 ．
37．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图，在 中， 是
的平分线．若点 是线段 上的一个动点，连接 ，则 的最小值是 ．
38．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图， 为等边三角形，点P为 边上一动点，以 为边在
的右侧作等边 ，连接 ，点 是边 的中点，连接 ．若 ，则 的最小值为
．39．（24-25八年级上·全国·期末）如图， ，以 为斜边作直角 ，以 的各边为边分别
向外作正方形， 于M， 于N，则图中阴影面积和的最大值为 ．
40．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，矩形 中， ， ， 为 上一点，以
为边构造等边 （ 、 、 按逆时针方向排列），连接 、 ，则 的最小值为
．
41．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，正方形 边长为1， 为对角线 上的一个动点，过
作 的垂线并截取 ，连接 ， 周长的最小值为 ．
42．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在 中， ，P为 上任意一点，
于F， 于E，则 的最小值是 ．43．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点A是y轴正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上， ，
以 为边在第一象限作正方形 ，连接 ，则 的最大值为 ．
44．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，矩形 中， ， ，点 从 点沿 向 点
移动，若过点 作 的垂线交 于 点，过点 作 的垂线交 于 点，则 的长度最小为
．
45．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠， ， ．
点 是线段BD上一点．则 的最小值为 ．
题型四 多结论问题
46．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形 中，对角线 和 相交于点O，点E
在 上，连接 ，过点E作 的垂线交 于点F，连接 ，过点E作 垂足为点H，以
为边作等边三角形 ，连接 交 于点M，下列四个命题或结论：① ；② ；③
；④若 ，则四边形MEDG的面积是 ．其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
47．（22-23八年级下·天津红桥·期末）关于函数 （ 为常数），有下列结论：①当 时，
此函数是一次函数；②无论 取什么值，函数图像必经过点 ；③若图像经过二、三、四象限，则
的取值范围是 ；④若函数图像与 轴的交点始终在正半轴，则 的取值范围是 ．其中，正确
结论的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
48．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，
甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚 出发，并且在中途停留 后，按原来速度的一半继续前进．
此过程中，甲、乙两人离A地的路程s（ ）与甲出发的时间t（ ）之间的关系如图．下列说法：①A，
B两地相距 ；②甲比乙晚到B地 ；③乙从A地刚出发时的速度为 ；④乙出发 与甲第三
次相遇．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
49．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图①， 中， ， ，两动点M，N同时
从点A出发，点M在边 上以 的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径
匀速运动，到达点B时停止运动． 的面积 与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．
有下列说法：
①点N的运动速度是 ；
② 的长度为 ；③a的值为7；
④当 时，t的值为 ．其中正确的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
50．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图， ， ，点 在边 上（与 ， 不重
合），四边形 为正方形，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ， 交 于点 ，
以 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点 坐标为 ，点 坐标为 ，给出以下结论：①四
边形 为矩形；② ；③ ；④点 的坐标 ；⑤ ．
其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
51．（23-24八年级下·重庆铜梁·期末）定义一种新运算： ，例如： ，
，给出下列说法：
；
的解集为
若点 函数 的图象上一点，则点 到 轴的距离最小值是 ．
以上说法中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
52．（23-24八年级下·重庆巫山·期末）关于 的新函数定义如下：
（1）当 时，
（2）当 是正整数， 是整数， ，且 ， 不含除1以外的公因数）时， ；（3）当 为无理数时， ．
例：当 时， ；当 时， ．
以下结论：①当 时， ；
②若 、 是互不相等且不为0的有理数，当 时，函数值记为 ，当 时，函数值记为 ，当
时，函数值记为 ，则一定有
③若 ，则对应的自变量 有且只有四种不同的取值；
④若 ，则满足 的自变量 的取值共有5个．
正确的个数有（ ）
A．①③④ B．②④ C．①④ D．②③
53．（23-24八年级下·浙江台州·期末）直线 与 的图象交于点 ，下列判断①关
于 的方程 的解是 ②当 时，关于 的不等式 的解集是 ③设
直线 ，则直线 一定经过定点 ④当原点到直线 的距离最大时，则 ．正确的是
（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④
54．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）等腰 中， ，记 ，周长为y，定义 为
这个三角形的坐标，如图所示，直线 将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，
所有正确结论的序号是（ ）
①对于任意等腰 ，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；
②对于任意等腰 ，其坐标可能位于区域Ⅳ中
③若 是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；
④图中点M所对应的等腰三角形的底边比点N所对应的等腰三角形的底边要长．
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①④
55．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，已知 是边长为3的等边三角形，点 是边 上的一点，且 ，以 为边作等边 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 ，则下列结论中①
；② ；③四边形 是平行四边形；④ ；⑤
．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
56．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在 中， ， ， ， ， ，
都是等边三角形，下列结论中：① ；② ；③四边形 是平行四边形；
④ ；⑤ ．正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
57．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）用一张正方形的纸片 按如下方式折叠：如图，先将纸片对折
得到折痕 ，再沿过点C的直线翻折纸片，得到折痕 ，使点D落在 上的点H处，连接
与 交于点I．则下列结论中正确的个数为（ ）
① ；② 为等边三角形；③ ；④ ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
58．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形 中， 的平分线 交 于点E，且
， 于点H，连接 并延长，交 于点F，连接 ．下列结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
59．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ， ，
， ， 分别是 ， ， 的中点，连结 、 、 ， 交 于点 ．以下结论：①
；② ；③ 平分 ；④ ．其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
60．（22-23八年级上·四川达州·期末）如图，正方形 中，在 的延长线上取点E，F，使 ，
，连接 分别交 于H，G下列结论，下列结论：① ；② ；
③ ；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
61．（24-25八年级上·北京西城·期末）如图， 于点D， 交 于
点E，延长 交 于点F．有以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中
所有正确结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
62．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在 中， ， ， 平分 ，点
是 的中点，过点 作 的垂线与 的延长线相交于点 ，则下列结论中正确的个数 ；
； ； ．A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
63．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行
米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发 分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离 （米）
与甲出发的时间 （分）之间的关系如图所示，下列结论： 甲步行的速度为 米/分； 乙走完全程用
了 分钟； 乙用 分钟追上甲； 乙到达终点时，甲离终点还需要走 分钟．其中正确的结论有 ．
（填序号）
64．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）公路旁依次有 、 、 三个村庄，小明和小红骑自行车分别从
村， 村同时出发匀速前往村（到了 村不继续往前骑行，也不返回），如图所示， 、 分别表示小明
和小红与 村的距离 和骑行时间 之间的函数关系，下列结论：① ， 两村相距 ；②小明
每小时比小红多骑行 ；③出发 后两人相遇；④图中 ．其中正确的是 ．（填序号）
65．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小亮家、小刚家、体育馆顺次在同一条直线上，周末小亮从家匀速
步行去体育馆打羽毛球．小亮出发4分钟经过小刚家时，小刚跟随小亮一起前往体育馆，两人走了4分钟
后，小刚发现自己忘记带装备，于是小刚加速返回家，取了装备后（取装备用了一段时间）又以返回家时
的速度赶往体育馆；小亮仍以原速度前行，结果小刚比小亮提前1分钟到达体育馆．若小亮与小刚两人和
体育馆之间的距离 （米）与小刚出发的时间 （分钟）之间的函数图象如图所示，则以下说法正确的是
（填写序号）．①小刚返回家的速度为250米/分钟； ②小亮与小刚家相距600米；
③小亮用了24分钟到达体育馆； ④小刚回家后用了0.6分钟取装备；
⑤小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家2725米．
66．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰 中， ， ， 是 边上中
线，点D、E分别在 边上运动，且保持 ．连接 ．在此运动变化的过程中，
下列结论：① 是等腰直角三角形；②四边形 的面积保持不变；③ 长度的最小值为2；④
．其中正确结论的序号是 ．
67．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图，在 中， ， ， 是 的中点，
， 分别是线段 ， 上的动点（点 不与点 ， 重合），且满足 ，给出下面四个结论：
① ；
② ；
③四边形 的面积为 ；
④点 到点 距离的最小值为 ．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
68．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在菱形 中， ， ，对角线 相
交于点O，P是对角线 上的一动点，则① ；② ；③若M为 上的一个动点，则
的最小值为 ；④若 于点M， 于点N，则 ．其中正确的有 （填序号）．
69．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形 中， ， ．点E、F分别在边 、
上（点E不与A、D重合）且 ， 于点P，交 于点Q， 于点M，交 于
点N．给出下面四个结论：① ；② ；③四边形 是矩形；④ 平分四边形
的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
70．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）直线 为常数， ，且 与直线
为常数，且 交于点 ．下列四个结论：
① ；
②关于 的方程 的解为 ；
③ 随着 的增大而减小；
④直线 沿 轴平移后得到直线 ，直线 交直线 于点 ，若点 的纵坐标为 ，则不等式 的解
集是 ．
其中正确的结论是 ．（填写序号）
71．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）小明同学在研究函数 （ 为常数）时，得到
以下四个结论：①当 时， 随 的增大而增大；②当 时， 有最小值0，没有最大值；③该
函数的图象关于 轴对称；④若该函数的图象与直线 （ 为常数）至少有3个交点，则 ．其
中正确的结论是 ．（请填写序号）
72．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的边长为 ，
． 点 是边 上一动点，点 在 上，且 ．有下列结论：
①点 的坐标为 ；
② ；
③四边形 的面积为定值；④当 为 的中点时， 的面积和周长最小．
其中正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
73．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，矩形纸片 ， ， ，点 、 分别在矩形
的边 、 上，将矩形纸片沿直线 折叠，使点 落在矩形的边 上，记为点 ，点 落在 处，
连接 ，交 于点 ，连接 ．下列结论：①四边形 是菱形；②点 与点 重合时， ；
③ 的面积 的取值范围是 ．其中所有正确结论的序号是 ．
74．（22-23八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，点 是正方形 的对角线 上一个动点，
于点 ， 于点 ，连接 ，有下列5个结论：① ；② ；③ 一
定是等腰三角形；④ ；⑤ 的最小值等于 ．其中正确结论的序号是 ．
75．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，矩形 中， ，连接 ，分别以点 为圆心，
以大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，直线 分别交 于点 ，连接 ．
下列四个结论：
①四边形 是菱形；② ；③ ； 若 ， 则 ．
其中正确的结论是 ．（填序号）题型五 几何证明与计算大综合
76．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】
如图 ，在四边形 中， ， ， ， ， 分别是 ， 上的点，
且 ，试探究图 中线段 ， ， 之间的数量关系．
【初步探索】
（1）小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：如图 ，延长 到点 ，使 ，连接 ，先证
明 ，再证明 ，则可得到线段 ， ， 之间的数量关系是________．
（2）如图 ，在等腰直角三角形 中， ， ，点 ， 在边 上，且 ，
请写出 ， ， 之间的关系，并说明理由．
【结论应用】
如图 ，在四边形 中， ， ， ，在边 和 分别有一点 和点 ，
使 的周长恰好是 长的 倍，求此时 的度数．
77．（23-24八年级上·福建宁德·期末）验证勾股定理：
课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德（ ）利用图1验证了勾股定理，你能利用它验
证勾股定理吗？(1)小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片（ ， ，
（ ）， ）拼出如图2能验证勾股定理的图形（顶点A，E重合，顶点F在
边上，连接 ， ）
解：用两种方法计算四边形 的面积，
方法1：四边形 的面积 _______，
方法2：四边形 的面积 _______，
因为这两种方法都表示四边形 的面积，可得等式：_______．
化简可得： ．
(2)请你仿造小明的思路，用两个全等的直角三角形纸片拼出一个不同于图1，图2的能验证勾股定理的图
形，画出示意图，写出验证过程．如果你没有思路，请利用图1进行验证．
78．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）已知， 点D在直线 右侧．
(1)如图1，若 请直接写出 和 之间的数量关系：
(2)如图2，若 则 和 有怎样的数量关系？证明你的结论．
(3)如图3，若 ，点E为 的中点，连接 并延长交 的延长线于点F，连接 ．
①若 ，求 的长；
② ，求 的长．79．（23-24八年级下·陕西安康·期末）【问题提出】
（1）如图 ，在 中， ， ， ， 为边 的中点，连接 ，则 的长
为____________．
【问题探究】
（2）如图 ，在四边形 中， ， ， ， ，且 为 的中点，连接 ，
求线段 的最大值．
【问题解决】
（3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某
学校计划利用学校内一块四边形空地 规划建立劳动教育综合实践基地．如图 ， 是 的中点，
把四边形分成了两部分，其中四边形 内种植油葵， 内种植豌豆， 是步行通道．为方便
种植，要让步行通道 最长．若 米， ， ，且 ，修建步行通道
每米花费 元，则学校修建步行通道 最多需要花费多少钱？（参考数据： ）
80．（23-24八年级下·内蒙古通辽·期末）已知 和 都是等腰直角三角形， ，
绕着顶点A旋转．
(1)如图1，若D点恰好落在 边上，连接 ．
①求证： ；②若G为 中点，连接 ，当点D在直线 上运动时，若 ，求线段 的最小值；
(2)若D不在 边上， 交 于点F，且 ， ．当 是直角三角形时，求 长．
（图2，图3是备用图）
81．（23-24八年级上·吉林长春·期末）解答
（1）方法原型：如图①点B、A、C在同一条直线上， ， 且 ， ，
则 ．
（2）问题解决：（1）中的 之间的数量关系为 ．
（3）拓展延伸：如图②， 中， ， ，点D为射线 上一点，以 为
直角边在 的右侧作等腰 ，使 ．
i．如图②，连结 ，当 时，求 的面积．
ii．如图③，当 时，请直接写出点E到边 的距离．
82．（23-24八年级上·四川成都·期末）在 和 中，点D在 边上， ，
．
(1)若 ．
ⅰ）如图1，当 时，连接 ，证明： ；ⅱ）如图2，当 时，过点A作 的垂线，交 边于点F，若 ， ，求线段 的长；
(2)如图3，已知 ，作 的角平分线交 边于点H，若 ， ，当 时，
求线段 的长．
83．（23-24八年级上·四川成都·期末）在四边形 中， ， ，点E是 边上一点，
连接 ，将 沿直线 翻折得到 ，射线 交边 于点G．
(1)如图1，求证： ；
(2)当 时．
（i）如图2，若四边形 的面积为24，且当点G与D重合时， ，求 的长；
（ⅱ）在 边上取一点H，连接 ，使得 ，若 的面积是 的面积的2倍，求
的长．84．（23-24八年级上·江西抚州·期末） 的 所对边分别是a，b，c，若满足 ，
则称 为类勾股三角形，边c称为该三角形的勾股边．
【特例感知】如图1，若 是类勾股三角形， 为勾股边，且 ， 是中线，求
的长；
【深入探究】如图2， 是 的中线，若 是以 为勾股边的类勾股三角形，①分别过A，B
作 的垂线，垂足分别为E，F，求证
②试判断 与 的数量关系并证明；
【结论应用】如图3，在四边形 中， 与 都是以 为勾股边的类勾
股三角形，M，N分别为 的中点，求线段 的长．
85．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知在 ， ，点P在边 上，连接 ．
(1)如图1，如果点P在线段 的垂直平分线上，求证： ；
(2)过点P作 ，交边 于点D，
①如图2，如果点P是线段 的中点，且 ，求 的度数；
②填空：如果 ， ，且 是以 为腰的等腰三角形，那么 的长等于 ．
86．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，在 中， ， ，点 为内部一点， ，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 交 于点 ，连接
．
(1)求证： ；
(2)如图2，当点 落在 上时，求 的度数；
(3)如图3，若 为 的中点， ，求 的长．
87．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在四边形 中， ，点E在 上， 平分
， 平分 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)如图2，四边形 对角线交于点O，连接 ，
①探究 之间的等量关系，并说明理由；
②若 ， ，求 的长．
88．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）问题背景：
（1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为 的边 上一点，连接 ， ，请
探究 的面积与 面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现： 的面积等于
面积的2倍．请你写出完整的解答过程．尝试应用：
（2）如图2，长方形 中，点E为 边上一点，点F为 右侧一点， ，若
， ， ，则 的长为______；
深入思考：
（3）如图3， 中，点E为 边上一点，点F为 边上一点，连接 ， 交于点G，连接 ，
若 ，求证： 平分 ；
拓展创新：
（4）如图4， 和 中， 为锐角，点D在 边上，点B在 边上， ，垂足为
F，且 ，若 ， ， ，求 的长．
89．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践
【性质探究】
（1）如图1，在四边形 中，对角线 ， 交于点 ，且 ，求证：
．
【性质运用】
（2）如图2，在 中， ， ， ，分别以 的边 ， 为直角边
向外作等腰 和等腰 ．连接 ， ， ， 与 交于点 ，求线段 的长．
【拓展迁移】
（3）如图3，在锐角三角形 中， ， ， ，分别以 的边 ， 为边向
外作等边三角形 和等边三角形 ．连接 ， ， ， 与 交于点 ．试通过计算写出与 之间的等量关系．
90．（23-24八年级下·吉林长春·期末）教材呈现：
如图是华师版八年级下册数学教材第101页的部分内容，
如图，点 是矩形 的边 上的一个动点，矩形的两条边长 分别为8和
15，求点 到矩形的两条对角线 和 的距离之和．
问题解决：
如图①，过点 分别作 ，分别交 于点 、 ，设 与 相交于点 ，
连结 ，利用 与 的面积之和是矩形面积的 ，可知点 到矩形的两条对角线 和 的距
离之和(即 )为______．
实践应用：
（1）如图②，在 中， 为底边 上的任意一点，过点 作
，垂足分别为 ，求 的值．（2）如图③，在矩形 中，点 分别在边 上，将矩形 沿直线 折叠，使点 恰
好与点 重合，点 落在点 处．点 为 上一动点(不与 重合)，过点 分别作直线 的垂
线，垂足分别为点 和 ，以 为邻边作平行四边形 ． ，直接写出
的周长______．
91．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图1，在矩形 中， ，点 ， 分别是 ， 的
中点，连结 ，交 于点 ．
(1)当 且 时，如图2，求 的面积．
(2)若 ，求此时 的值．
(3)连结 ，请问 能否为等腰三角形，若能，求出 的值，若不能，请说明理由．92．（23-24八年级下·山西长治·期末）实践与探究
【问题情境】
数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是华东师大版八年级下册教材中我们研究过的图形，正方形
的对角线相交于点 ，点 又是另一个正方形． 的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，
那么正方形 绕点 无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．
理由如下：
证明：如图②，分别作 于点 ，
，
又 ，
，
又∵ ，
且 ，
，
，
【初步感知】
（ ）请你补全以上证明过程；
（ ）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线 经过正方形
的对称中心 ，直线 分别与 交于点 ，直线 分别与 交于点 ，且 若
正方形 的面积是 ，则四边形 的面积为______；【深入探究】
（ ）受图③的启发，探究组做了图④，若 ，求四边形
的面积；
【拓展应用】
（ ）如图④，请写出线段 与 之间的数量关系，并说明理由．
93．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．
(1)下列选项中一定是“等补四边形”的是______．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
(2)如图1，在边长为4的正方形 中， 为 边上一动点（ 不与 重合）， 交 于点 ，
过 作 交 于点 ．
①试判断四边形 是否为“等补四边形”，并说明理由；②如图2，连接 ，求 的周长；
③若四边形 是“等补四边形”，求 的长．
94．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图是李老师在一节课中的例题内容．
已知：如图，在 中，E、F是对角线 上的两点，并且 ．求证： ．
证明：∵四边形 是平行四边形，
， ．
．
又 ，
．
．
【结论应用】
如图①，在平行四边形 中，E、F是对角线 上的两点，且 ， ，连接 、 ，
请判断四边形 的形状，并证明．
【拓展提升】
如图②，点G、H是正方形 对角线 上的两点，且 ， ；E、F分别是 、
的中点，连接 与 相交于点O．
（1）则四边形 的形状为______；
（2）若 ，则 的面积为______．95．（23-24八年级下·河南许昌·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展教
学活动．
操作一：对折边长为6的正方形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：在 上选一点P，沿 折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平．
【数学思考】
（1）如图①，当点M落在 上时，则 的度数为_________.
【猜想证明】
（2）如图②，在（1）的条件下，延长 交 于点N，猜想 与 的数量关系为_________，并证
明你的猜想；
【拓展延伸】
（3）小华在以上操作的基础上继续探究，连接 ，当点M落在 上时（如图③），过点P作
于点I，请直接写出 的长．
96．（23-24八年级下·河南濮阳·期末）王老师带领同学们研究解决课本上的一个习题：
【课本再现】
人教版八年级下册 ．
如图，四边形 是正方形，点E是边 的中点， ，且 交正方形外角的平分线 于点F．求证： ．（提示：取 的中点G，连接 ．）
（1）取 的中点G，连接 ，证明如下：
在正方形 中，∵E是边 的中点，G是边 的中点
∴
∴
∵ 是正方形外角的平分线
∴
又∵
∴
∴
∴ （ ）（填写全等的理由）
∴
解决完这个问题后，王老师问同学们，若点E是边 任意一点会如何呢？因此导出了下面的问题：
【问题解决】
（2）如图（1），四边形 是正方形，点E是边 的一点， ， 交正方形外角的平分
线 于点F， 与 是否仍然相等，请给出你的证明．
【拓展探究】
（3）如图（2），四边形 是正方形，点E是直线 上一点， ，EF交正方形外角的平
分线 于点F．若 ， ，直接写出 的长．
97．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）已知：如图（1），在正方形 中，点E为边 上一点，把
沿 翻折，使点B落在点 的位置，连接 ．
(1)若点E是边 的中点，①求证： ；
②如图（2），若点F为边 的中点，沿 将正方形纸片 折叠，点D的对应点 ， 与 交
于点H， 与 交于点G．求证：四边形 为矩形；
(2)某兴趣小组根据上面的结论，进行了如下的实践操作：
如图（3），正方形 的边长为4，点E、点F分别为 边上的点，将正方形纸片 沿
折叠，使得点B落在对角线 上的点 处，点D落在对角线 上的点 处， 与对角线
的交点为点M， 与对角线 的交点为点N，分别连接 ．则四边形 的面积为
________．
98．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图 ，在正方形 中，点 是线段 上一个动点
（与点 、 不重合），过点 作线段 于点 ，且 ，连接 ，过点 作 ，交
于点 ，交 于点 ，连接 ．
(1)求证：
① ；
②四边形 是平行四边形；
(2)如图 ，点 是 延长线上一点，当点 在线段 上运动时，求证：点 始终在 的角平分线上．
99．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，M为正方形 内一点， ，连接 ， ．
(1)如图1，求 的度数；
(2)过点B作 于点G，连接 ．
①如图2，试探究 和 的数量关系，并证明；
②如图3，连接 交 于点E，若 ， ，请直接写出 的长为________．
100．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图1，正方形 的边长为4，点 在 上（不与 重
合），点 在 上（不与 重合）且满足 ，连接 并交于点 ．
(1)请问：线段 与 满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
(2)如图2，连结 ，若点 为 的中点，求 的周长．
(3)如图3，延长 至点 使 ，连结 ， ．若 ，求 的面积．
题型六 坐标系中的综合题
101．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边长为6，两边 、
在坐标轴上， 为线段 上一点，且 ，连接 、 ．(1)点D的坐标为 ；
(2)若点 从点 出发以每秒2个单位的速度沿折线 的方向运动，当与点 重合时运动停止设
点 的运动时间为 秒，连接 ，将 的面积记为 ，请用含 的式子表示 ；
(3)在（2）的条件下，当 为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
102．（22-23八年级下·河北沧州·期末）如图，已知平行四边形 ， 轴， ，点A的坐标
为 ，点D的坐标为 ，点B在第四象限，点P是平行四边形 边上的一个动点．
(1)点B的坐标为_________；点C的坐标为________；
(2)点G是 与y轴的交点，求点G的坐标；
(3)若点P在 上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线 上，求点P的坐标；
(4)若点 在折线 上，过点 作 轴的平行线 ，过点 作 轴的平行线 ，它们交于点 ，
将 沿直线 翻折，点 的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点 的坐标．
103．（23-24八年级下·云南普洱·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 、 分别在x轴、y轴上，线段
OA、OB的长（ ）是方程组 的解，点C是直线 与直线 的交点，点 在线段
上， ．(1)求点 的坐标．
(2)求直线 的解析式．
(3)当点P在直线 上运动时，在平面内是否存在点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若
存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
104．（23-24八年级下·吉林·期末）如图①，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 与x，y
轴分别交于A，B两点，正比例函数 的图象 与 交于点 ．
(1)求n、k的值；
(2)已知点D是直线 ： 上的一个动点．
①过点D作 轴，交直线 于点P，当点D，P关于x轴对称时，则点D的横坐标为______；
②连接 ，当 的面积是 面积的2倍时，求点D的坐标；
(3)如图②，设点E的坐标为 ，且 ，连接 ，以 为边向下作正方形 ．
①用含t的式子表示点M的坐标为(______，______)；
②连接 ，若 落在 的内部（含边上），则t的取值范围是______．105．（23-24八年级下·北京西城·期末）在平面直角坐标系 中，对于线段a，给出如下定义：直线 ：
经过线段a的一个端点，直线 ： 经过线段a的另一个端点．若直线 与 交于点
P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”．
(1)如图，线段a的两个端点分别为 和 ，则在点 ， ， 中，线段a的“双
线关联点”是 ；
(2) ， 是直线 上的两个动点．
①点P是线段 的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标；
②正方形 的四个顶点的坐标分别为 、 、 、 ，其中 ，当点A，B
在直线上运动时，不断产生线段 的“双线关联点”，若所有线段 的“双线关联点”中，恰有两个点
在正方形 上，直接写出t的取值范围．106．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与x轴，y轴
分别交于点A，D，直线 与直线 平行，交x轴于点 ，交 于点C．
(1)求直线 的解析式及点C的坐标；
(2)若点P是线段 上动点，当 时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且 ，
连接 ，当四边形 周长最小时，求点M的坐标；
(3)在（2）的条件下，将 绕O点顺时针旋转 得到 ，点E是y轴上的一个动点，点F是直线 上
的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F
的坐标；若不存在，请说明理由
107．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）定义：我们把一次函数 （ ）与正比例函数 的交点称为一次函数 （ ）的“亮点”．例如求 的“亮点”，联立方程： ，
解得 ，则 的“亮点”为（ ，1）．
(1)由定义可知，一次函数 的“亮点”为________．
(2)一次函数 的“亮点”为 ，求p，q的值．
(3)若直线 （ ）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线 上没有“亮点”．
①点P在x轴上，使 ，求满足条件的点P的坐标．
②点Q在直线 （ ）上，若点Q与 边上的三点能构成平行四边形，请直接写出n的取
值范围．
108．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数 的图象与y轴交于
点A，点B是第二象限一次函数 的图象上一点，且 ，点C的坐标为 ．(1)求A，B的坐标；
(2)若点D是线段 上一点，且三角形 的面积是三角形 的一半，求 的面积和点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，x轴是否存在一点P，使得 为等腰三角形．若存在，请求出点P的坐标．若不
存在，请说明理由．
109．（23-24八年级下·广西玉林·期末）已知点O为原点，矩形 的边 、 分别在y轴、x轴上，
， ，点B在第一象限，直线 分别交线段 及x轴、y轴于点D，E，F．
(1)求点D、E的坐标及三角形 的面积；
(2)如图1，P为线段 （不包括端点）上一动点，连接 ，设点P的横坐标为t， 的面积为S，求
S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)如图2，M是线段 上一动点，点N在第一象限，且在直线 上，若 是以 为直角边
的等腰直角三角形，求出点N的坐标．
110．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图1，平面直角坐标系 中，正方形 的边 在 轴上，
点 是 的中点，直线 过定点 ，交 轴于点 ．(1)求点 的坐标；
(2)如图2，当 时， 过点C作 ，交 于点F，在直线 上是否存在点 ，使得 是等
腰直角三角形，若存在，请求出所有满足条件的点P；若不存在，请说明理由．
(3)点N在直线 上，且 ，连接 ，点M为 的中点，连接 ．求线段 的长度的最大值，
并直接写出此时点N的坐标．
111．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在 中，点B在x轴上，直线 经过点 ，
且与x轴交于点C，直线 与x轴相交于点B，与 相交于点D．
(1)求直线 的表达式；
(2)在y轴上是否存在一点E，使 是等腰三角形，若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P在直线 上，在直线 上是否存在点Q，使以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．
若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
112．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图1，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，连
接 ，点 是线段 上的一点，连接 ，过点 作 ，交 轴于点 ，点 在射线 上，且
，连接 ，设点 坐标为 ．(1)若点 的坐标为 ，求 所在直线的解析式；
(2)求 ；
(3)如图2，延长 与直线 交于点 ，当 为等腰三角形时，求点 坐标．
113．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点
A，与y轴交于点B，且 ，点C的坐标为 ．
(1)直接写出点A的坐标以及直线 的解析式；
(2)如图1，点D在x轴上，连接 ，使 ，求点D的坐标；
(3)如图2，已知点 在第四象限内，直线 交y轴的负半轴于点P，过点A作直线
，交y轴于点Q，当m的值发生改变时，线段 的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，
求变化范围．
