文档内容
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第3课时 利用勾股定理作图与计算
教学设计
课题 20.1第3课时 利用勾股定理作图与计算 授课人
1.会运用勾股定理在数轴上画出并表示无理数，进一步理解感受数轴上的点
与实数一一对应；了解利用勾股定理证明HL定理.
教学目标 2.进一步理解数学中的数形结合思想，转化思想，学会运用勾股定理解决实
际问题.
3.培养学生的思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值.
教学重点 运用勾股定理在数轴上标出表示无理数的点，运用勾股定理解决实际问题.
教学难点 无理数也能在数轴上表示出来，理解数轴上的点与实数是一一对应的.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长 通过回顾
为c，那么 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ． 旧知为学
习新知做
填空：在Rt△ABC中，∠C＝90°．
好准备.
1．若a＝3，b＝4， 则c ＝ 5 ；
2．若a＝2，c＝3， 则b ＝ √5 ；
3．若c＝13，b＝5，则a ＝ 1 2 ．
如图，已知点 A(4，5)，则OA＝ √41
；以点 O为圆心，OA为半径作弧，则这
条弧与x轴正半轴的交点坐标为 （ √41
， 0 ） ．
探究新知 1.数轴上的无理数 对“斜边
直角边”
在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角
判 定 定
边分别相等的两个直角三角形全等．学
理，从画
习了勾股定理后，你能证明这一结论
图感知上
吗？
升到严谨
证明，感
已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′
受勾股定
中， ∠C =∠C′ = 90°，AB = A′B′，AC
理在几何证明中的
= A′C′．
作 用 . 通
求证：△ABC≌△A′B′C′． 过勾股定
理构造适
证明：在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°， 当的直角
三角形，
根据勾股定理得,
其斜边长
BC= √AB2 −AC2B'C' = √A'B¿ −A'C¿ 表示某个
无理数，
∵ AB=A′B′，AC=A′C′
进而可以
∴ BC=B′C′ 将其表示
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS) 在 数 轴
上．感受
勾股定理
在数学中
应用的广
点A表示的数字为－2 点B表示的数字为－1
泛性，培
点C表示的数字为1 点D表示的数字为2 养学生发
现和提出
实数 数轴上的点 问题的能
力.
那么如何在数轴上表示无理数呢？
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在
数轴上画出表示√13的点吗？
能画出长为√13的线段，就能在数轴上画出表示√13的点．
能否用勾股定理解决这个问题？
（1）长为√13的线段可以是直角边长为正整数的直角三角形的斜
边吗？
（2）如果可以，直角边的长分别为多少？
直角边的长分别为2，3．
步骤：
1.在数轴上找到点A，使OA＝3；→定点A
2.作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB＝2；→作垂线，定点B
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则
点C即为表示√13的点．→画弧，定点C类比上面的方法，在数轴上画出表示√2，√3，√4，√5的点．
画长为√n的线段
当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长为√2，
即12＋12＝(√2) 2， 依此类推，可以画出长为√3，√4，√5，√6，
⋯的线段．
利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法：
1.利用勾股定理把一个无理数表示成直角边的长为正整数的直角
三角形的斜边；
2.以原点为圆心，以无理数斜边为半径画弧与数轴存在交点，弧
与数轴的交点即为表示无理数的点．
教师提醒：原点左边的点表示负无理数，原点右边的点表示正无
理数．
（链接例1）
2.网格中的无理数
（链接例2）
3.勾股定理的综合应用（链接例3）
折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
1．设一条未知线段的长为x（一般设所求线段的长为x）；
2．用已知数或含x的代数式表示出其他线段长；
3．在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；
4．解这个方程，从而得到所求线段长．
典例精析 【例1】 在数轴上作出表示√17的点． 例题的层
层递进，
【解】如图，在数轴上找到点 A，使 OA＝4.
一方面是
作直线 l 垂直于 OA，在 l 上取点 B，使 AB＝1. 对本节课
重点知识
以原点 O 为圆心，以 OB 长为半径作弧，弧与数轴的交点 C
的考察与
即为表示√17的点．
巩固，另
一方面是
对所学知
识的拓展
与灵活运
用.
【例 2】在如图所示的 6×8 的网格中，
每个小正方形的边长都为 1，写出格点
△ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形
的周长．
【解】由题图得 A(2，2)，B(－2，－1)，
C(3，－2)．
由勾股定理得AB=√32+42=5,
AC=√12+42=√17,
BC=√12+42=√26,
∴△ABC的周长为5+√17+√26
【例3】 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC
.
边的F点处，若AB＝8 cm，BC＝10 cm，求EC的长．
【解】在Rt△ABF中，由勾股定理得：
BF2＝AF2－AB2＝102－82＝36，
∴BF＝6 cm． ∴CF＝BC－BF＝4 cm．
设EC＝x cm，则EF＝DE＝(8－x)cm ，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得x2＋42＝(8－x)2
，
解得 x＝
3．即EC的长为3 cm．
教师提醒：用到了方程思想
随堂检测 1．如图，A(8，0)，C(－2，0)，以点 A 通过设置
为圆心，AC 长为半径画弧，交 y 轴正半 随 堂 检
轴于点B，则点B的坐标为（ D ） 测，及时
获知学生
A．(0，5) B．(5，0)
对所学知
C．(6，0) D．(0，6) 识的掌握
情况，明
2．如图，正方形网格中的每个小方格的
确哪些学
边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格
生需要在
点，请你以格点为顶点，画一个三边长分
课后加强
别为4，√5，√13的三角形，并求出此三角
辅导，达
形的面积．
到全面提
【解】∵ (√5) 2 ＝22＋12， 高 的 目
的.
∴√5可以看作是直角边长为1，2的直角三
角形的斜边长．
∵ （√13） 2 ＝22＋32，
∴√13可以看作是直角边长
为2，3的直角三角形的斜边长．
如图，三角形ABC即所要画的三角形，面积为1
×2×4＝4．
2
3.如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸
片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的
B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求
AM的长．
【解】连接BM，MB′．设AM＝x，
在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2．
在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2＝MB′2．
∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，
即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2．
即AM＝2．
课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 巩固所学
知识，加
小结：
深对本节
1．勾股定理与数轴 知识的理
解.
作业布置
板书设计 20.1 第3课时 利用勾股定理作图与计算1.数轴上的无理数
2.网格中的无理数
3.勾股定理的综合应用
教学反思
