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20.1 勾股定理及其应用
第3课时 利用勾股定理作图或计算
1.理解直角三角形三边的关系，会应用勾股定理解决直角三角形全
等判定定理的证明.
2.利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点.
3.在数学活动中培养学生的探究意识和合作交流的习惯，并让学生
体会勾股定理的应用价值.
重点：利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.
难点：理解实数与数轴上的点一一对应关系，在比较复杂的图形中
利用勾股定理进行计算.
知识链接：上节课我们学习了勾股定理的应用，回顾一下相关知识.
创设情境——见配套课件
探究点一：利用勾股定理证明“HL”定理
问题1：（教材P28思考）在八年级上册中，我们曾经通过画图得到
结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.学习了勾
股定理后，你能证明这一结论吗？（师生共同画图，写出已知、求
证，学生加以证明）
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AB＝
A'B'，AC＝A'C'.求证：△ABC≌△A'B'C'.
分析：要证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C'，难以找到锐角对应相等，只有找
第三边相等，发现可以根据勾股定理得到BC＝ √AB2－AC2 ，
B'C'＝ √A'B'2－A'C'2 ，容易得到BC＝B'C'.证明：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，
根据勾股定理，BC＝√AB2－AC2，B'C'＝√A'B'2－A'C'2.
又AB＝A'B'，AC＝A'C'，∴BC＝B'C'.
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）.
探究点二：利用勾股定理在数轴上表示实数
问题2：（教材P28探究）我们知道数轴上的点有的表示有理数，有
的表示无理数，你能在数轴上画出表示√13的点吗？
（1）如果能画出长为√13的线段，就能在数轴上画出表示√13的点.
想一想，你能画出长为√2的线段吗？怎么画？说说你的画法.
画一个两条直角边的长都为1的直角三角形，它的斜边长就是√2.
（2）长为√13的线段能否是直角边长为正整数的直角三角形的斜边
呢？
设斜边c＝√13，两直角边分别为a，b，根据勾股定理有a2＋b2＝c2
＝13，若a，b为正整数，则13必须分解为两个完全平方数的和，
即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，则a＝2，b＝3，所以长为√13的线段是
直角边长分别为正整数2和3的直角三角形的斜边长，如图所示.
（3）在数轴上画出表示√13的点.
①如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝3；
②过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB＝2；③以原点O为圆心，以OB长为半径作弧，弧与数轴的交点C即为
表示√13的点.
（4）我们知道了怎么画出斜边长为√2的直角三角形，那么怎么画出
斜边长为√3的直角三角形呢？
根据（√2）2＋1＝3＝（√3）2，先画出长为√2的线段，再以√2和1为
直角边的长画直角三角形，则斜边长为√3.
（5）你能画出斜边长为√n（n是正整数）的直角三角形吗？你能在
数轴上画出表示√n的点吗？
类似地，利用勾股定理，可以作出长为√2，√3，√5，…的线段.
按照同样方法，可以在数轴上画出表示√1，√2，√3，√4，√5，…的
点.
归纳总结：利用勾股定理表示无理数的方法：
①利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正数的直角三角
形的斜边.
②以原点为圆心，以无理数的斜边长为半径画弧找到与数轴的交点，
即可在数轴上找到表示该无理数的点.
【对应训练】教材P29练习.
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，分别以点
A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，
BD，则△ABD的周长为（ D ）
A.18 B.24 C.12√3 D.30第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，A（12，0），C（－1，0），以点A为圆心，AC长为半径
画弧交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ D ）
A.（0，2） B.（0，3） C.（0，4）
D.（0，5）
3.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，
以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交数轴上原点右侧
于一点，则这个点表示的实数是 √5 .
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
