文档内容
综合与实践 音乐与数学
1.探究音乐律制数学原理，理解数学对音乐发展的支撑作用.
2.学会用函数、坐标系分析乐谱，提升数学建模与应用能力.
3.体会数学与音乐融合，增强跨学科探究及团队协作素养.
重点：音乐律制数学原理探究、乐谱的数学分析方法.
难点：十二平均律“密率”理解及乐谱函数化刻画.
知识链接：复习函数概念、平面直角坐标系、频率与周期关系，为
音乐数学分析奠基.
创设情境——见配套课件
探究点一：探究音乐律制中蕴含的数学原理（活动一任务）
以三分损益法为例，结合资料，分析其生成“宫、商、角、徵、
羽”的数学计算（如弦长比例），对比五度相生律，找共通数学逻
辑（如频率、比例关系），解释“不能回归本律”的数学原因（如
比例无法整除）.
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解：三分损益法以宫音为基准，通过交替“三分损一”（弦长× ）
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和“三分益一”（弦长× ）生成五音.具体计算为：宫（1）→徵（
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）→商（ ）→羽（ ）→角（ ）.其数学逻辑与五度相生律一
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致，均以纯五度频率比3∶2为核心，通过等比数列推导音高.二者
无法回归本律的根本原因在于：每次生律均基于3∶2的比例，经过
3
12次运算后，理论频率比为（ ）12≈129.746，而实际需满足27＝
2
128的整数倍关系，分数累积导致无法整除.归纳总结：音乐律制依托数学比例、频率计算生成音阶，三分损益
法等因数学运算特性，存在转调困难，体现数学对音乐律制的基础
支撑.
探究点二：从函数角度分析乐谱（活动二任务）
以《保卫黄河》片段为例，明确五线谱中“音高对应纵坐标、
时间对应横坐标”，分析音符位置与坐标的映射（如高音（do）对
应特定坐标），尝试用函数刻画音高随时间变化（若音高不变，为
常函数；若变化，分析规律），绘制旋律曲线.
解：以《保卫黄河》“风在吼”片段为例：设高音谱表横坐标x为
时间（每拍x＋1），纵坐标y为音高（中音do＝2，re＝3，mi＝4，
sol＝6）；“风”（中音mi，1拍）：y＝4（常函数）
（0≤x≤1）；“在”（中音sol，1拍）：y＝6（常函数）
（1≤x≤2）.旋律曲线由水平线段衔接，音高变化呈阶梯式跳跃，
对应坐标点连线即可呈现.
归纳总结：五线谱可转化为平面直角坐标系模型，音高是时间的函
数，通过确定横纵轴意义、映射音符坐标，实现乐谱的数学刻画.
探究点三：乐器的分析与制作（活动三任务）
尝试自制水瓶乐器，对比音准，解释数学对乐器制作的作用
（如比例、频率计算保障音准）.【知识背景】兴趣小组计划（用同
种型号的玻璃瓶）制作一组水瓶乐器.根据物理学中的振动频率和音
调的关系可知，在敲击玻璃瓶时，瓶中水位高度不同，声音的振动
快慢（频率）也不同：水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，
振动越快，音调越高.
【数据记录】兴趣小组成员进行了多次实验，发现频率f随水位高
度h的变化是均匀的，并记录了水瓶不同水位高度对应的振动频率，
经整理得到数据如表：
水位高度h（cm） 5 10 15 20 25
频率f（Hz） 260 290 320 350 380通过查阅资料，列出以下音名与频率对照表（部分），一种音名代
表一个水瓶.
音名 A4 C4 D4 E4 F4 G4
频率f（Hz） 440.0 261.6 293.7 329.6 349.2 392.0
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出该种水瓶乐器的频率f关于水位高度h的函数解析式；
（不需写出自变量h的取值范围）
（2）已知水瓶乐器中的水量是随水位高度均匀变化的：当水位高度
为5cm时，所使用的水量为100mL.若进行演奏音名A4，请求出演
奏A4时所使用到瓶子中的水量.
解：（1）频率f与水位高度h的之间为一次函数关系，可设频率f
关于水位高度h的函数解析式为f＝kh＋b.
{5k＋b=260， {k=6，
由条件可得 解得
10k＋b=290， b=230.
∴频率f关于水位高度h的函数解析式为f＝6h＋230.
（2）由条件可知当f＝440.0时，有6h＋230＝440.0，解得h＝35.
即演奏A4所使用到的瓶子的水位高度为35cm.
∵水瓶乐器的水量与水位是均匀变化的，当水位高度为5cm时，所
使用的水量为100mL，
∴演奏A4所使用到的瓶子的水量为35÷5×100＝700（mL）.
归纳总结：乐器制作依赖数学知识（如长度、频率比例），通过分
析、实践，理解数学在乐器设计与音准控制中的关键价值.
【问题情境】排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成.如
图①，现要利用若干根长为200mm的相同吸管制作简易排箫.【实验操作】将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关仪器测
得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表：
不同长度吸管吹出声音的频率
长度x（mm） 200 150 120 100 80 60 50
振动频率y
435 580 725 870 1087.5 1450 1740
（Hz）
【探索发现】
（1）通过上表数据发现，吸管越短，振动频率越 高 （填“高”
或“低”）；
（2）请你根据上表中的数据在图②中描点、连线.观察图象可知，
振动频率y与吸管长度x之间的关系 不是 （填“是”或“不
是”）一次函数关系.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
