文档内容
第二十三章 一次函数
综合与实践 音乐与数学
【素养目标】
1.探究音乐律制数学原理，理解数学对音乐发展的支撑作用.
2.学会用函数、坐标系分析乐谱，提升数学建模与应用能力.
3.体会数学与音乐融合，增强跨学科探究及团队协作素养.
重点：音乐律制数学原理探究、乐谱的数学分析方法.
难点：十二平均律“密率”理解及乐谱函数化刻画.
【复习导入】
我们常说，丝竹之声，天籁之音，是指音乐能给人听觉上的享受，唐代诗人白居易在
千古名篇《琵琶行》中，对琵琶女弹奏琵琶有过精彩的描述：
大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私语.
嘈嘈切切错杂弹，大珠小珠落玉盘.
间关莺语花底滑，幽咽泉流冰下难.
冰泉冷涩弦凝绝，凝绝不通声暂歇.
别有幽愁暗恨生，此时无声胜有声.
银瓶乍破水浆迸，铁骑突出刀枪鸣.
曲终收拨当心画，四弦一声如裂帛.
如何用数学描述音乐呢？
活动准备
1. 查阅资料，了解乐音的四个基本要素—音强、音高、音值、音色.
2. 乐音的音高与声波的振动频率有关，查阅资料，了解这两者之间的关系.
3. 了解弦的振动频率与弦长的关系.
【合作探究】
第 1 页探究1：探究音乐律制中蕴含的数学原理
任务1 我们知道，有些声音混合在一起，听上去十分悦耳，也有些声音混合在一起
听着非常刺耳，查阅资料回答什么样的声音合奏起来比较和谐，你能从数学角度解释
吗？
任务2 古代音律学家很早就知道声音悦耳的秘密，由此，音乐家发明了各种制定音
乐律制的方法，著名的有中国古代的三分损益法，利用这种方法可以生成“宫、商、
角、微、羽”五声音阶，而西方的五度相生律可以生成被命名为“毕达哥拉斯音阶”
的七声音阶，查阅资料了解这两种音乐律制的制谱方法，它们有什么共通之处吗？
任务3 三分损益法、五度相生律这一类制谱方法有个共同的问题：它们所生成的音
阶都不能回归本律，即质得到的音和最初的音不能形成八度关系，这给音乐作品的转
调带来了困难以三分损益法为例，你能从数学角度解释为什么存在上述不足吗？
任务4 为了弥补上迷不足，中国历代音律学家不断探索，直到明代律学家朱载堉
(1536一1611) 创立了十二平均律，上述问题才得以彻底、完整的解决.
第 2 页(1) 查阅资料，了解十二平均律的制谱方法.
(2) 由前面的研究可知，十二平均律中相邻两个音的频率之比相等，朱载棛称之为“密
率”(见《律吕精义》)，事实上，“密率”是一个无理数，朱载堉通过他自制的一个
81 档双排位大算盘（图1）成功地算出了“密率”的估计值，将其精确到了 25 位有
效数字，这在当时条件下是难以想象的，他是世界历史上将数学与音乐完美结合的杰
出律学家，试列式计算十二平均律中相邻两个音的频率之比的值.
例1 以《保卫黄河》片段为例，明确五线谱中“音高对应纵坐标、时间对应横坐
标”，分析音符位置与坐标的映射 (如高音 (do) 对应特定坐标)，尝试用函数刻画音
高随时间变化 (若音高不变，为常函数；若变化，分析规律)，绘制旋律曲线.
归纳总结：五线谱可转化为平面直角坐标系模型，音高是时间的函数，通过确定横纵
轴意义、映射音符坐标，实现乐谱的数学刻画.
探究2：从函数角度分析乐谱
例2 尝试自制水瓶乐器，对比音准，解释数学对乐器制作的作用（如比例、频率计
第 3 页算保障音准）.
【知识背景】兴趣小组计划（用同种型号的玻璃瓶）制作一组水瓶乐器.根据物理学中
的振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃瓶时，瓶中水位高度不同，声音的振动快
慢（频率）也不同：水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越
高.
【数据记录】兴趣小组成员进行了多次实验，发现频率 f 随水位高度 h 的变化是均
匀的，并记录了水瓶不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如表：
水位高度h（cm） 5 10 15 20 25
频率f（Hz） 260 290 320 350 380
通过查阅资料，列出以下音名与频率对照表（部分），一种音名代表一个水瓶.
音名 A4 C4 D4 E4 F4 G4
频率f（Hz） 440.0 261.6 293.7 329.6 349.2 392.0
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出该种水瓶乐器的频率f关于水位高度h的函数解析式；（不需写出自变量 h
的取值范围）
（2）已知水瓶乐器中的水量是随水位高度均匀变化的：当水位高度为 5cm时，所使用
的水量为100mL.若进行演奏音名A4，请求出演奏A4时所使用到瓶子中的水量.
归纳总结：乐器制作依赖数学知识（如长度、频率比例），通过分析、实践，理解数
学在乐器设计与音准控制中的关键价值.
当堂反馈
【问题情境】排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成.如图①，现要利用若
第 4 页干根长为200mm的相同吸管制作简易排箫.
【实验操作】将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关仪器测得吸管另一出口发
出声音的振动频率，部分数据如下表：
不同长度吸管吹出声音的频率
长度x（mm） 200 150 120 100 80 60 50
振动频率y（Hz） 435 580 725 870 1087.5 1450 1740
【探索发现】
（1）通过上表数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）；
（2）请你根据上表中的数据在图②中描点、连线.观察图象可知，振动频率y与吸管
长度x之间的关系 （填“是”或“不是”）一次函数关系.
参考答案
探究1：探究音乐律制中蕴含的数学原理
任务1
当两个或多个声音的频率比为简单整数比时，听起来会比较和谐.
第 5 页原理：简单整数比的声波叠加后，波形的周期更短、规律更强，人耳会感知到稳定、
悦耳的效果.
典型和谐音程：
纯八度：频率比为 2 : 1；
纯五度：频率比为 3 : 2；
纯四度：频率比为 4 : 3；
刺耳的声音：频率比为复杂无理数 (如 1 : 2) 时，声波叠加后的波形无明显周期，人
耳会感知到混乱、不和谐的效果.
任务2
1. 三分损益法（中国）
制音逻辑：以基准弦长为基础，通过 “三分损一”
(弦长 ×2/3 )和 “三分益一”(弦长×4/3 )交替运算生成新音.
生成五声音阶步骤：从宫音（弦长 81）出发，依次得到徵 (81×4/3 = 108)、商
(108×2/3 = 72)、羽(72×4/3 =96)、角(96×2/3 = 64).
核心比例：生成的音程对应频率比为 3/2（纯五度）、 4/3（纯四度）等简单整数比。
2. 五度相生律（西方）
制音逻辑：以纯五度（频率比 3 : 2）为基础，从基准音出发，连续向上相生 11 次生
成 12 个音，最终得到七声音阶（毕达哥拉斯音阶）.
生成步骤：从 C 音出发，每次向上纯五度得到 G、D、A、E、B 等音，再通过向下
纯五度得到 F 等音，形成完整音阶.
1.C ( f ) 2.向上纯五度 → G [ f×3/2 ]
3.向上纯五度 → D [ f×(3/2)²] 4.向上纯五度 → A [ f×(3/2)3 ]
5.向上纯五度 → E [ f×(3/2)4 ] 6.向上纯五度 → B [ f×(3/2)5 ]
7.向下纯五度 → F (f×2/3)
答：共通之处:
核心音程一致：两者均以纯五度 (频率比 3 : 2) 为核心相生音程，本质是基于相同的
整数比例关系.
数学基础同源：都依赖 “弦长与频率成反比” 的物理规律，通过弦长的整数比例运
算生成新音.
局限相同：都存在 “十二律无法闭合” 的问题，即连续相生 12 次后无法回到初始
音的高八度，导致转调受限.
任务3
三分损益法的生律操作基于两个核心比例：
三分损一：弦长变为原来的2/3，对应频率变为原来的3/2（纯五度音程）.
三分益一：弦长变为原来的4/3，对应频率变为原来的3/4（纯四度音程）.
十二次生律后的结果:
当按 “损一、益一” 交替的方式生律 12 次后，最终得到的频率是初始基音频率的：
(3/2)^7×(3/4)^5=312/219≈1.0136
这个值不等于 2n ( n为整数，代表八度倍数)，说明最终音高与初始基音无法构成精确
的八度关系.
根本原因:
从数学上看，(3/2)^12与 27 并不相等；
(3/2)^12=531441/4096≈130.18
27 = 128
第 6 页二者的比值约为 1.0136，这就是“古代音差”，导致无法回归本律。
任务4
(1) 十二平均律的制谱方法：
十二平均律是将一个八度（频率比为 2:1）等分为 12 个半音的律制.
从一个基音出发，每相邻两个音的频率比为一个固定的 “密率”.
无论从哪个音开始，经过 12 个半音后，都能精确回到高八度的音，完美解决了三分
损益法 “不能回归本律” 的转调难题.
(2)设相邻两个音的频率比为 r，一个八度包含 12 个相邻音程，频率比为 2，则
r12＝2
解得：r＝√(12&2)≈1.059463
这个值就是朱载堉所说的“密率”，是一个无理数.
例1解：以《保卫黄河》“风在吼”片段为例：
设高音谱表横坐标 x 为时间(每拍 x＋1)，
纵坐标 y 为音高(中音do＝2，re＝3，mi＝4，sol＝6)；
“风”(中音mi，1拍)：y＝4(常函数)(0≤x≤1)；“在”(中音sol，1拍)：y＝6(常函数)
(1≤x≤2).
旋律曲线由水平线段衔接，音高变化呈阶梯式跳跃，对应坐标点连线即可呈现.
例2解：（1）频率f与水位高度h的之间为一次函数关系，可设频率f关于水位高度h
的函数解析式为f＝kh＋b.
{5k＋b=260， {k=6，
由条件可得 解得
10k＋b=290， b=230.
∴频率f关于水位高度h的函数解析式为f＝6h＋230.
（2）由条件可知当f＝440.0时，有6h＋230＝440.0，解得h＝35.
即演奏A4所使用到的瓶子的水位高度为35cm.
∵水瓶乐器的水量与水位是均匀变化的，当水位高度为 5cm 时，所使用的水量为
100mL，
∴演奏A4所使用到的瓶子的水量为35÷5×100＝700（mL）.
当堂反馈
1. (1)高(2)不是
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