文档内容
第 20 章 勾股定理
数学活动 利用勾股定理绘制图案
【素养目标】
1.理解勾股定理在图案绘制中的应用原理.(重点)
2.掌握利用勾股定理创作图案的方法。(难点)
3.提升数学审美与实践创新素养。
【情境导入】
欣赏配套课件视频中的图形，思考一下它有什么特点
【合作探究】
探究1：利用勾股定理绘制图案
探究 利用勾股定理，可以绘制出各种不同的图案，下图中的图案均与勾股定理
有关，不仅体现出勾股定理在图案设计中的应用，还彰显出数学的“无限” 之
美，这些图案是如何利用勾股定理绘制的呢？
问题1: 图(1)是如何绘制的呢？
图(1)形如一棵树，有人称之为“勾股树”，绘制这个图案，需要先画一个
如图(2)所示的图形
再以图形中的两个较小的正方形为基础，在两个小正方形的上方，分别作
出两个形状与图 (2) 相同的图形，如图 (3) 所示。如此重复下去，最后填充颜
第 1 页色，就可以得到类似于 图(1)的“勾股树”。
像上面这样，按照相同的方法画图，并在新生成的图形上多次重复这个过
程，就形成一幅无限生长的树形图案。
观看配套课件几何画板文件：“勾股树”
探究点2: 图案的绘制逻辑
问题2: 你知道下图是如何利用勾股定理绘制的吗？
第 2 页当堂反馈
1. 如果用 a , b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则
___________
(用含有a , b 和 c 的式子表示三者之间的等量关系).
2. 如图以直角三角形的三边为边或直径， 分别向外部作半圆等边三角形，这
三个图形中面积关系满足_____________.
3. 如图所示， 分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图
中阴影部分)的面积分别为 S , S ，直角三角形面积为 S ，请判断
1 2 3
S , S , S 的关系并说明理由。
1 2 3
4. 有一个边长为 1 的正方形，经过 1 次 “生长” 后， 在它的左右肩上长
出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再
经过 1 次这样的“生长”后，如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图
2 所示的“枝繁叶茂的勾股树”请你算出“生长”了 2025次后形成的图形中所
有正方形的面积和。
第 3 页参考答案
探究1：利用勾股定理绘制图案
问题2: 解：第1个直角三角形两直角边长分别是1和1, 以第 1个直角三角形
的斜边作为直角边， 另一条外侧的直角边为 1，画出第 2 个直角三角形； 以
第 2 个直角三角形的斜边作为直角边， 另一条外侧的直角边为 1, 画出第 3
个直角三角形，
第 1 个三角形的斜边长 ,
√12+12=√2
第 2 个三角形的斜边长是 ,
√(√2) 2+12=√3
第 3 个三角形的斜边长是 ,
√(√3) 2+12=√4=2
第 n 个三角形的斜边长是 √n+1 .
以此类推即可完成构图。
当堂反馈
1. a2+b2 = c2
2. S +S = S .
1 2 3
3. 解：S +S = S . 理由如下：
1 2 3
1 a 2 1 b 2 1 c 2
∵ S +S = π ( ) + π ( ) +S − π ( ) ,
1 2 2 2 2 2 3 2 2
1
∴ S +S = π (a2 −b2 −c2)+S ,∴ a2+b2 = c2. ∴ S +S = S .
1 2 8 3 1 2 3
4. 解：由勾股定理知：“生长”1 次，“生长” 出的两个正方形面积和等于
原来正方形的面积，所有正方形面积和等于第一次“生长”出的四个正方形的
面积和等于第一次 “生长” 出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和
为 3 ; 经过 n 次 “生长” 后形成的图形中所有正方形的面积和是 n+1 ; 经
过2025 次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是2026.
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