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第二十三章 一次函数
23.1 一次函数的概念
【素养目标】
1.结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解
析式.
2.能辨别一次函数与正比例函数的区别与联系，感悟一般与特殊之间的关系.
3.会从实际问题中建立一次函数模型解决简单的问题.
重点：一次函数概念的理解和根据已知信息写出一次函数的解析式.
难点：从实际生活问题中建立一次函数模型.
【复习导入】
问题：什么是函数？
【合作探究】
探究点：一次函数的概念
问题1：某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员
由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃.用函数解析式表示y与x的关系，
并求当登山队员向上登高2km时，他们所在位置的气温.
问题2：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
这些函数解析式有哪些共同特征？
（1）铁的密度约为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm）的
变化而变化.
（2）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练
习本的个数n的变化而变化.
（3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高h，
再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化，
（4）把一个长10cm、宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形的面积y（单位：
第 1 页cm）随x的变化而变化.
概念引入：一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数.特别
地，当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例
函数，其中k叫作比例系数.
[练一练]
1. 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1) y＝－x－4； (2) y＝5x2－6； (3) y＝2πx；
x 2
(4) y＝－ ； (5) y＝ ； (6) y＝8x2＋x(1－8x).
2 x
[归纳总结]
1. 判定一个函数是一次函数的条件：
2. 判定一个函数是正比例函数的条件：
[典例精析]
例1 已知函数 y = (m - 1)x + 1 - m2.
(1) 当 m 为何值时，这个函数是一次函数?
(2) 当 m 为何值时，这个函数是正比例函数?
[练一练]
2. 已知 y 与 x－3 成正比例，当 x＝4 时，y＝3.
第 2 页(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
(2)求 x＝2.5 时，y 的值．
例2 一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长
2cm.
（1）求弹簧的长度y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式；
（2）当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？
[练一练]
3. 汽车油箱中原有油 50 升，如果汽车每行驶 50 千米耗油 9 升， 求油箱中剩余的
油量 y (单位：升)随行驶路程 x (单位：千米) 变化的函数关系式，并写出自变量的取
值范围，y 是 x 的一次函数吗？
当堂反馈
1.下列函数中不是一次函数的是（ ）
1
A.y＝x B.y＝2x－1 C.y＝ D.y＝1－0.5x
x
2.以下y关于x的函数中，是正比例函数的为（ ）
2 x x+1
A.y＝x2 B.y＝ C.y＝ D.y＝
x 2 2
3.某公司制作毕业纪念册的收费如下：设计费与加工费共 1000元，另外每册收取材料
费4元，则总收费y与制作纪念册的册数x的函数关系式为 ，
第 3 页该函数 （填“是”或“不是”）一次函数.
4.写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比
例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关
系；
（2）圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系；
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池内有水
ym3.
5.[高频易错]已知关于x的函数y＝（m＋1）x｜m｜＋n－3.
（1）m取何值时，该函数是关于x的一次函数？
（2）m和n取何值时，该函数是关于x的正比例函数？
参考答案
【复习导入】
第 4 页在某个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都
有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
【合作探究】
探究点：一次函数的概念
问题1：y与x的函数解析式为y＝5－6x.这个函数也可以写为y＝－6x＋5.当登山队员
向上登高2km时，他们所在位置的气温就是当x＝2时函数y＝－6x＋5的值，即y＝－
6×2＋5＝－7（℃）.
问题2：在上面的问题中，变量之间对应的关系都是函数关系，表示变量之间关系的函
数解析式分别为（1）m＝7.9V；（2）h＝0.5n；（3）m＝h－105；（4）y＝－5x＋50.
上面这些函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.
[练一练]解：(1)是一次函数，不是正比例函数；
(2)不是一次函数，也不是正比例函数；
(3)是一次函数，也是正比例函数；
(4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数．
[归纳总结]
1.① k 是常数，k ≠ 0；② x 的次数是 1.
2. ① k 是常数，k ≠ 0；② x 的次数是 1.③ b = 0.
[典例精析]
例1 解：(1) 由题意可得 m－1≠0，解得 m≠1.
即 m≠1 时，这个函数是一次函数.
(2) 由题意可得m－ 1≠0，1－m2 = 0，解得 m = －1.
即 m =－1 时，这个函数是正比例函数.
[练一练]2.解：(1) 设 y＝k(x－3)，
把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3)，
解得 k＝3.∴ y＝3(x－3).
∴ y＝3x－9，y 是 x 的一次函数．
(2) 当 x＝2.5 时，y＝3×2.5－ 9＝－1.5．
例2 解：（1）由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知，挂xkg的物体时，弹簧伸长
2xcm.
因此，y关于x的函数解析式为y＝2x＋12.
（2）把x＝5代入y＝2x＋12，得y＝2×5＋12＝22.
第 5 页因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm.
9
[练一练] 3. 解：剩余油量 y 与行驶路程 x 的函数关系式为 y＝50－ x
50
2500
自变量 x 的取值范围是 0≤ x ≤ .
9
9
函数 y＝50－ x 是 x 的一次函数.
50
当堂反馈
1. C
2. C
3. y＝4x＋1000 ； 是
4.解：（1）由题意，得y＝60x，y是x的一次函数，也是正比例函数.
（2）由题意，得y＝πx2，y不是x的一次函数，也不是正比例函数.
（3）由题意，得y＝5x＋15，y是x的一次函数，不是正比例函数.
5.解：（1）∵函数y＝（m＋1）x｜m｜＋n－3是关于x的一次函数，∴｜m｜＝1，m＋
1≠0.
∴m＝1.∴当m＝1时，该函数是关于x的一次函数.
（2）由（1）知m＝1，∵该函数是关于x的正比例函数，∴n－3＝0.∴n＝3.∴当m＝
1，n＝3时，该函数是关于x的正比例函数.
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