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第 21 课 弧、弦、圆心角、圆周角
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课程标准
(1)了解圆心角、圆周角的概念；
(2)理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；
(3)掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它
两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．
知识精讲
知识点01 弧、弦、圆心角的关系
1．圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样 叫做圆心角．
2．定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等．
3．推论：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，所对的 也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 相等，所对的 也相等．
【注意】
(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.
(2)注意定理中不能忽视“ ”这一前提.
知识点02 圆周角
1．圆周角定义
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在 ，并且两边都与圆 的角叫做圆周角．2．圆周角定理
在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 ．
3．圆周角定理的推论
半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 ．
【注意】
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在 中.
4．圆内接四边形
(1)定义: 圆内接四边形： ，叫圆内接四边形．
(2)性质：圆内接四边形 ，外角等于 (即它的一个外角等于它相邻内角的对角)．
5．弦、弧、圆心角、弦心距的关系
在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等。
(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。如果
它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。
能力拓展
考法 圆心角、弧、弦之间的关系及应用
【典例1】下列命题中，正确的是( )
A．和半径垂直的直线是圆的切线 B．平分直径一定垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．垂直于弦的直径必平分弦所对的弧
【即学即练】下列四个命题中，真命题是( )
A．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等
B．圆是轴对称图形， 任何一条直径都是圆的对称轴
C．平分弦的直径一定垂直于这条弦
D．等弧所对的圆周角相等
【典例2】如图，⊙O的半径为9cm，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点
D，则AB的长为( )A．2 B．3 C．4 D．6
【即学即练】如图，AB是⊙ 的直径，点D是弧AC的中点，过点D作 于点E，延长DE交⊙
于点F，若 ，⊙ 的直径为10，则AC长为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【典例3】如图， 为 的直径， 是弦，且 于点E．连接 、 、 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求弦 的长．
【即学即练】如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
(1)如图1，若 为120°， 为50°，求∠E的度数；
(2)如图2，若AE＝DE，求证：AB＝CD．
分层提分
题组A 基础过关练1．圆的一条弦把圆分为度数比为 的两条弧，则弦心距与弦长的比为( )
A． B． C． D．
2．下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于弦；④三角形的外心到
三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是 的中点，则∠D的度数是( )
A．70° B．60° C．40° D．35°
4．如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为E，则下列结论中错误的是( )
A．AE=BE B．CE=DE C．AC=BC D．AD=BD
5．如图，AB是⊙O的弦，点C是 的中点，OC交AB于点D．若 ，⊙O的半径为5，则 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂足分别为M、N，BA、DC的延长线交
于点P，连接OP．下列四个说法：① = ；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO；正确的个数是
( )A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC______2CD(填“＞”、“＜”或
“＝”)
8．如图，在⊙O中， ，∠1＝45°，则 的度数为 ___．
9．已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD
10．如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，
连接DE．
(1)若∠ABC=20°，求∠DEA的度数；
(2)若AC=3，AB=4，求CD的长．
题组B 能力提升练
1．如图，BD是 的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若 ， ，则 的度
数为( )
A．98° B．103° C．108° D．113°2．将一张正方形的透明纸片ABCD和 按如图位置叠放，顶点A、D在 上，边AB、BC、CD分别与
相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是( )
A． B．
C． D．
3．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且 ，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是( )
A． B． C． D．
4．下列命题是真命题的是( )
A．相等的弦所对的弧相等
B．圆心角相等，其所对的弦相等
C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等
D．弦相等，它所对的圆心角相等
5．如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是弧 AC 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，延长 DE 交⊙O 于
点 F，若 AC＝12，AE＝3，则⊙O 的直径长为( )
A．7.5 B．15
C．16 D．18
6．如图， 是 的直径，且 ，点 ， 在 上， ， ，点 是线段 的
中点，则 ( )A．1 B． C．3 D．
7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠BAC=42°，OD⊥BC于点E，则∠BDE为_____°．
8．如图，⊙O的半径为 ，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，垂足为E，且BC=2AD，则AD+BC的
值为_______．
9．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD//BC，求证：D为 的
中点．
10．如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM
＝CN．
(1)求证：AB＝AC；
(2)联结OM、ON、MN，求证： ．
题组C 培优拔尖练1．如图，AB，CD是 的弦，延长AB，CD相交于点P．已知 ， ，则 的度数是
( )
A．30° B．25° C．20° D．10°
2．有一直径为 的圆，且圆上有 、 、 、 四点，其位置如图所示．若 ， ， ，
， ，则下列弧长关系何者正确？( )
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是 的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面
积为( )
A．25 B．25 C． D．
4．如图，在半径为5的 中，弦BC，DE所对的圆心角分别是 ， ．若 ，
，则弦BC的弦心距为( ).
A． B． C．4 D．35．如图，直线l∥l，点A在直线l 上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l，l 于B，C两
1 2 1 1 2
点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D(不与点B重合)，连接AC，AD ，BC，CD，其中
AD交l 于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是( )
2
A．∠ABC =70° B．∠BAD =80° C．CE =CD D．CE =AE
6．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，OB＝5， ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB
上的一动点，下列结论：① 的长度是 ；②∠CED＝ ∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值
是10，上述结论中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，点A、B、C、D、E都是圆O上的点， ，∠B＝116°，则∠D的度数为______度．
8．如图，在扇形BOC中， ，OD平分 交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若
，则 长的最小值为______．
9．如图， 上依次有 ， ， ， 四个点，弧 弧 ，连接 ， ， ，延长 到点 ，使 ，连接 ， 是 的中点，连接 ，求证： ．
10．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
(1)如图①，连接AC，AD，OD，求证：OD AC；
(2)如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为2，
求AC的长．
