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24.2 数据的离散程度
第1课时 方差
1.理解离差平方和与方差概念的产生和形成的过程，体会方差在实
际生活中的应用价值.
2.会求一组数据的方差，会根据计算结果比较两组数据的波动大小.
3.感悟到方差是一种描述数据离散程度的统计量，能根据方差的大
小对实际问题做出评判.
重点：对离差平方和与方差意义的理解及应用，用样本方差估计总
体方差.
难点：运用方差知识解决实际问题.
知识链接：上节课我们学习了平均数、中位数和众数的应用，回顾
一下相关知识.
创设情境——见配套课件
探究点：方差的概念
问题1：（教材P168问题）某农业科学院专家为某地选择合适的甜
玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心
的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块
自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单
位：t）如下表：
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？
分析：（1）计算出两组数的平均数，你有什么发现？
x ＝7.537，x ＝7.515，
甲 乙说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大，由此估
计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大.
（2）画出甲、乙两种甜玉米的产量统计图.
（3）观察（2）题图，你发现了什么？
比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多
个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，
较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产
量稳定性更好.
思考：如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？
当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分
布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小.反过来也成立.这样，
为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异
来刻画.
概念引入：一般地，有n个数据x ，x ，…，x ，用x表示它们的平
1 2 n
均数，我们把x－x（i＝1，2，…，n）叫作x 关于平均数x的离差或
i i
偏差.
思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？
用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由（x －x）＋（x －x
1 2
）＋…＋（x －x）＝x ＋x ＋…＋x －nx＝0可知，一组数据的离差
n 1 2 n
和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异.为了避
免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然
后求和.
概念引入：我们把（x －x）2＋（x －x）2＋…＋（x －x）2叫作这个
1 2 n
数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”.把离差平方和的平均数（x －x）2＋（x －x）2＋…＋（x －x）2
1 2 n 叫作这组数据的方差.记作
n
“s2”.方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反
映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.方差越
大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小.
解：利用公式求出甲、乙两种甜玉米产量的两组数据的方差：
1
s2 ＝ ×[（7.65－7.537）2＋…＋（7.41－7.537）2]≈0.010.
甲 10
1
s2 ＝ ×[（7.55－7.515）2＋（7.56－7.515）2＋…＋（7.49－
乙 10
7.515）2]≈0.002.
由s2 ＞s2 ，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产
甲 乙
量波动较小，稳定性较好.∴这个地区比较适合种植乙种甜玉米.
问题2：（教材P170思考）用离差平方和是否可以刻画数据的离散
程度？和方差比较，有什么不足？
离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.在比较两组数据的离散程
度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这
个限制.
【对应训练】教材P171练习第1题.
（教材P170例1）甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10
次射击成绩了（单位：环）如表所示.
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
哪名射击运动员的发挥更稳定？
9+7+…+10
解：两名运动员射击成绩的平均数分别为x ＝ ＝8.7，x
甲 10 乙
9+10+…+9
＝ ＝8.6.
10
两名运动员射击成绩的方差分别为（9－8.7）2＋（7－8.7）2＋…＋（10－8.7）2
s2 ＝ ＝2.41，
甲 10
（9－8.6）2＋（10－8.6）2＋…＋（9－8.6）2
s2 ＝ ＝1.04.
乙 10
由s2 ＞s2 可知，乙射击运动员的发挥更稳定.
甲 乙
使用计算器计算方差的步骤见配套课件（教材P171）.
【对应训练】教材P171练习第2题.
1.下列各组数据中方差最大的一组是（ D ）
A.6，6，6，6，6 B.5，6，6，6，7
C.4，5，6，7，8 D.3，3，6，9，9
1
2.在方差计算公式s2＝ [（x －20）2＋（x －20）2＋…＋（x －
10 1 2 10
20）2]中，数20表示这组数据的 平均数 .
3.定义：一组数据x ，x ，…，x 的平均数为x，那么称这n个数据
1 2 n
与平均数的差的平方和叫作这n个数据的离差平方和，记作d2＝（x
1
－x）2＋（x －x）2＋…＋（x －x）2.数据1，2，3，4，5的离差平
2 n
方和为 1 0 .
4.已知一组数据10，8，9，x，5的众数是8，那么这组数据的方差
是 2 . 8 .
5.甲、乙两人进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统计
如下：
命中环数/环 7 8 9 10
甲命中的频数/次 2 2 0 1
乙命中的频数/次 1 3 1 0
（1）甲、乙两人射击成绩的平均数、方差分别是多少？
（2）谁的射击成绩波动较小？1 1
解：（1）x ＝ ×（7×2＋8×2＋10）＝8（环），x ＝ ×（7＋
甲 5 乙 5
1
8×3＋9）＝8（环）；s2 ＝ ×[2×（7－8）2＋2×（8－8）2＋（10
甲 5
1
－8）2]＝1.2，s2 ＝ ×[（7－8）2＋3×（8－8）2＋（9－8）2]＝
乙 5
0.4，
∴甲射击成绩的平均数是8，方差是1.2，乙射击成绩的平均数是
8，方差是0.4.
（2）∵x ＝x ，s2 ＞s2 ，∴乙的射击成绩波动较小.
甲 乙 甲 乙
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
